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广东省河源市2013届高三质量检测数学理科卷2


广东省河源市 2013 届高三质量检测数学理科卷 2
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. 满足条件 M∪{1}={1,2,3}的集合 M 的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 2. 复数 z=

m ? 2i (m∈R,i 为虚数单位)在复平面上对应的

点不可能位于( 1 ? 2i



A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 3. 在(0,2π )内,使 sinx>cosx 成立的 x 取值范围为( ) A.(

D.第四象限

?
4



?
2

)∪(π ,

5? ) 4

B.(

?
4

,π )

C.(

?
4



5? ) 4

D.(

?
4

,π )∪(

5? 3? , ) 4 2

4. 根据市场调查结果,预测某种家用商品从年初开始的 n 个月内累积的需求量 Sn(万件) 近似地满足 Sn=

n 2 (21n-n -5) n=1,2,……,12). ( 90

按此预测,在本年度内,需求量超过 1.5 万件的月份是( ) A.5 月、6 月 B.6 月、7 月 C.7 月、8 月 D.8 月、9 月 5. 如果 ?A B1C1 的三个内角的余弦值分别等于 ?A2 B2C2 的三个内角的正弦值,则 1 A. ?A B1C1 和 ?A2 B2C2 都是锐角三角形 1 B. ?A B1C1 和 ?A2 B2C2 都是钝角三角形 1 C. ?A B1C1 是钝角三角形, ?A2 B2C2 是锐角三角形 1 D. ?A B1C1 是锐角三角形, ?A2 B2C2 是钝角三角形 1 6.设随机变量 ? 服从标准正态分布 N (0, ,已知 ? (?1.96) ? 0.025 , 1) 则 P(| ? |? 1.96) =( A.0.025 ) C.0.950 D.0.975

B.0.050

x2 y2 7. 已知双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b<0)的右焦点为 F, 若过点 F 且倾斜角为 60°的直线与双 a b
曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是 A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,+∞] D.(2,+∞)

8. 对于函数① f ( x) ? lg( x ? 2 ?1) ,② f (x) ?( x ? 2) 三个命题的真假: 命题甲: f ( x ? 2) 是偶函数;

2

,③ f (x) ?cos( x 2) ?

,判断如下

命题乙: f ( x ) 在 (??,) 上是减函数,在 (2, ?) 上是增函数; ? ? 命题丙: f ( x ? 2) ? f ( x) 在 (??, ?) 上是增函数. ? 能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是( A.①③ B.①② C.③ ) D.②

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9 ~ 12 题) 9. 一个单位共有职工 200 人,其中不超过 45 岁的有 120 人,超过 45 岁的有 80 人.为了调 查职工的健康状况,用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为 25 的样本,应抽取超 过 45 岁的职工________________人.[来源:Z&xx&k.Com]
2 5 10. 在二项式 ( x ? ) 的展开式中,含 x 4 的项的系数是________________

1 x

11. 设 P(3,1)为二次函数 f ( x) ? ax2 ? 2ax ? b( x ? 1) 的图象与其反函数 f ? f 图象的一个交点,则 a=________________ b=________________

?1

( x) 的

?2 x ? y ? 2 ? 12. 设变量 x、y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,则 z ? 2 x ? 3 y ? x ? y ?1 ?
的最大值为 (二)选做题(13 ~ 15 题,考生只能从中选做两题) 13. (坐标系与参数方程选做题)以直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,并在 两种坐标系中 取相同的长度单位。 已知直线的极坐标方程为 ? ?

?

? x ? 1 ? 2cos ? ( ? ? R) , 它与曲线 ? 4 ? y ? 2 ? 2sin ?

( ? 为参数)相交于两点 A 和 B,则|AB|=_______. 14. (不等式选讲选做题) 不等式 x ? 3 ? x ?1 ? a ? 3a 对任意实数 x 恒
2

成立,则

实数 a 的取值范围为_______. 15. (几何证明选讲选做题)如图,三角形 ABC 中,

A

AB ? AC ,⊙ O 经过点 A ,与 BC 相切于 B ,
与 AC 相交于 D ,若 AD ? CD ? 1 ,则⊙ O 的 半径 r ? .

O?
D

B


C

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本题满分 12 分) 如图 A、B 是单位圆 O 上的点,且 B 在第二象限. C 是圆与 x 轴正半轴的交点,A 点的 坐标为 ? ,

?3 4? ? ,△AOB 为正三角形. ?5 5? (Ⅰ)求 sin ?COA ; (Ⅱ)求 cos ?COB .

y
B O

A( , ) C

3 4 5 5

x

第 16 题图

17. (本题满分 12 分)

2 ,甲、乙、 5 3 3 丙三人都能通过测试的概率是 ,甲、乙、丙三人都不能通过测试的概率是 ,且乙通 20 40
甲、乙、丙三人分别独立的进行某项技能测试,已知甲能通过测试的概率是 过测试的概率比丙大. (Ⅰ)求乙、丙两人各自通过测试的概率分别是多少; (Ⅱ)求测试结束后通过的人数 ? 的数学期望 E? .

18. (本题满分 14 分) 如图,已知四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是菱形,

PA ? 平面 ABCD , 点 F 为 PC 的中点.
(Ⅰ)求证: PA // 平面 BDF ; (Ⅱ)求证: BD ? 平面 PAC .

P

F

A D

B

C

19. (本题满分 14 分)已知数列 {a n }是首项为 a1 ?

1 1 , 公比 q ? 的等比数列 ,设 4 4 bn ? 2 ? 3 log1 an (n ? N *) ,数列 {cn }满足cn ? an ? bn 。
4

(1)求证: {bn } 是等差数列; (3)若 c n ?

(2)求数列 {cn } 的前 n 项和 Sn;

1 2 m ? m ? 1对 一切正整数 n 恒成立,求实数 m 的取值范围。 4

3 2 20. (本题满分 14 分) 已知函数 f ??ab ? x xx( R a . , ????b)

(1) f ? x ? 在[0, 若 2]上是增函数, ? 2 是方程 f ?x? ?0的一个实根, 求证:f ( ) ?? ; 1 2 x (2)若 f ? x ? 的图象上任意不同两点的连线斜率小于 1,求实数 a 的取值范围.

21. ( 本 题 满 分 14 分 ) 已 知 点 P ( x0 , y0 ) 为 双 曲 线 1

y

x2 y 2 ? ? 1 ( b 为正常数)上任一点, F2 为双曲线的右焦 8b 2 b 2
点,过 P 作右准线的垂线,垂足为 A ,连接 F2 A 并延长交 y 轴 1 于P . 2 (1) 求线段 P P 的中点 P 的轨迹 E 的方程; 1 2
P1 F1

P

P 2
A

O

F2

x

(2) 设轨迹 E 与 x 轴交于 B、D 两点,在 E 上任取一点 Q x1 , y1)y1 ? 0) ,直线 QB,QD 分 ( ( 别交 y 轴于 M ,N 两点.求证:以 MN 为直径的圆过两定点.

参考答案 答案:1-8CACCDCCD 9.10 10.10 11. a ? ? , b ?

1 2

5 . 2

12.18

13.

14. (??, ?1] ? [4, ??)

15.

2 14 7

一、选择题 1.答案:C 【解析】M={2,3}或 M={1,2,3} 因为 M ? {1,2,3},因此 M 必为集合{1,2,3}的子集,同时含元素 2,3. 2. 答案:A 【解析】由已知 z=

m ? 2i (m ? 2i)(1 ? 2i) 1 ( ? ? [ m-4)-2(m+1)i]在复平面对应 1 ? 2i (1 ? 2i)(1 ? 2i) 5
?m ? 4 ? 0 而此不等式组无解.即在复平面上对应的点不可能位于第 ?m ? 1 ? 0

点如果在第一象限, ? 则 一象限. 3. 答案:C

【解析】解法一:作出在(0,2π )区间上正弦和余弦函数的图象,解出两交点的横坐标

?
4



5? ,由图 1 可得 C 答案. 4

图1 图2 解法二:在单位圆上作出一、三象限的对角线,由正弦线、余弦线知应选 C.(如图 2) 4. 答案:C 【解析】n 个月累积的需求量为 Sn.∴第 n 个月的需求量为

an=Sn-Sn-1=

n n ?1 2 2 (21n-n -5)- [21(n-1)-(n-1) -5] 90 90



1 2 (-n +15n-9) 30

an>1.5 即满足条件,∴

n 2 (-n +15n-9)>1.5,6<n<9(n=1,2,3,…,12) , 90

∴n=7 或 n=8. 5.答案:D 【解析】 ?A B1C1 的三个内角的余弦值均大于 0,则 ?A B1C1 是锐角三角形,若 ?A2 B2C2 是 1 1

? ? ? ? ? sin A2 ? cos A1 ? sin( 2 ? A1 ) ? A2 ? 2 ? A1 ? ? ? ? ? ? ? sin B2 ? cos B1 ? sin( ? B1 ) , ? B2 ? ? B1 , A 锐角三角形, ? 由 得 那么, 2 ? B2 ? C2 ? , 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ?sin C2 ? cos C1 ? sin( 2 ? C1 ) ?C2 ? 2 ? C1 ? ? 所以 ?A2 B2C2 是钝角三角形。故选 D。
6.答案:C 【解析】 ? 服从标准正态分布 N (0, , ? P(| ? |? 1.96) ? P(?1.96 ? ? ? 1.96) ? 1)

? (1.96) ?? (?1.96) ? 1 ? 2? (?1.96) ? 1 ? 2 ? 0.025 ? 0.950.
7. 答案:C 【解析】双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60 o 的直线与 a 2 b2
b ,∴ a

双曲线的右支有且只有一个交点,则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率
2 a 2 ? b2 b 2 c ≥ 4 ,∴ e≥2,选 C ≥ 3 ,离心率 e = 2 ? a a a2

8.答案:D 【解析】函数① f ( x) ? lg( x ? 2 ?1) ,函数 f ( x ? 2) = lg(| x | ?1) 是偶函数;且 f ( x ) 在

(??,) 上是减函数,在 (2, ?) 上是增函数; ? ?
但对命题丙: f ( x ? 2) ? f ( x) = lg(| x | ?1) ? lg(| x ? 2 | ?1) ? lg

| x | ?1 在 x∈(-∞,0) | x ? 2 | ?1

时, lg

(| x | ?1) ?x ?1 2 ? lg ? lg(1 ? ) 为减函数,排除函数①, (| x ? 2 | ?1) 2 ? x ?1 x ?3

对于函数③, f ( x) ? cos( x ? 2) 函数 f ( x ? 2) ? cos( x ? 2) 不是偶函数,排除函数③ 只有函数② f ( x) ? ( x ? 2)2 符合要求,选 D 二、填空题 9. 答案:10

10.答案:10
r 2 5 ?r r r 10 ?3 r 【解析】对于 Tr ?1 ? C5 ( x ) ( ? ) ? ? ?1? C5 x ,对于 10 ? 3r ? 4,? r ? 2 ,则 x 4 的 r

1 x

2 项的系数是 C5 (?1)2 ? 10

11.答案: a ? ? , b ?

1 2

5 . 2

【解析】 P(3,1)为二次函数 f ( x) ? ax2 ? 2ax ? b( x ? 1) 上的点, 1 ? 9a ? 6a ? b. 又 P(3,1)为反函数上的点,则 P(1,3)在原函数上, ? 3 ? a ? 2a ? b. 联立解得 a ? ? , b ?

1 2

5 . 2

12. 答案:18 【解析】画出可行域,得在直线 2x-y=2 与直线 x-y=-1 的交点 A(3,4)处,目标函数 z 最大值为 18 13.答案: 【解析】直线的普通方程为 y ? x ,曲线的普通方程 ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 ∴ | AB |? 2 22 ? (

|1 ? 2 | 2 ) ? 14 1?1

14.答案: (??, ?1] ? [4, ??)

1 对 3 x 【 解 析 】 因 为 ?4 ? x ?3 ?x ? ?4 x ? ? a2 ? 3a ? 4即a2 ? 3a ? 0,解得a ? 4或a ? ?1
15. 答案

? 2 1 a ?

?对 任 意 x 恒 成 立 , 所 以 3 a

2 14 7

三、解答题 16. (本题满分 12 分) 解: (1)因为 A 点的坐标为 ? ,

4 ?3 4? ? ,根据三角函数定义可知 sin ?COA ? 5 ---4 分 ?5 5?
0

(2)因为三角形 AOB 为正三角形,所以 ?AOB ? 60 ,

sin ?COA ?

4 3 , cos ?COA ? , 5 5

-----------------------------6 分

所以 cos ?COB = cos(?COA ? 600 )

? cos ?COA cos 600 ? sin ?COA sin 600

-------------------------10 分

17. 解(Ⅰ)设乙、丙两人各自通过测试的概率分别是 x 、 y 依题意得:

3 ?2 ? 5 xy ? 20 , ? ? ? 3 (1 ? x)(1 ? y) ? 3 , ?5 40 ?

3 ? ?x ? 4 , ? 即? ?y ? 1. ? 2 ?



1 ? ?x ? 2 , ? (舍去)┅┅┅┅┅┅┅4 分 ? ?y ? 3. ? 4 ?

3 1 、 . ┅┅┅┅┅┅┅6 分 4 2 3 3 P (? ? 3) ? (Ⅱ)因为 P (? ? 0) ? 40 20 2 3 1 2 3 1 2 3 1 7 P(? ? 1) ? (1 ? )(1 ? ) ? (1 ? ) (1 ? ) ? (1 ? )(1 ? ) ? 5 4 2 5 4 2 5 4 2 20 17 P (? ? 2) ? 1 ? ( P0 ? P ? P3 ) ? 1 40 3 7 17 3 33 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 所以 E? = 0 ? ┅┅┅┅┅┅┅12 分 40 20 40 20 20
所以乙、丙两人各自通过测试的概率分别是 18.(本题满分 14 分) (Ⅰ)证明: 连结 AC , BD 与 AC 交于点 O ,连结 OF .…… 1 分

? ABCD 是菱形,

? O 是 AC 的中点.
…… 4 分

? 点 F 为 PC 的中点, ? OF // PA .
? OF ? 平面 BDF , PA ? 平面 BDF ,

…… 7 分 ? PA // 平面 BDF . (Ⅱ)证明: ? PA ? 平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD ,

? PA ? BD .

…… 10 分

? ABCD 是菱形, ? PA ? AC ? A ,
1 4

? AC ? BD . ? BD ? 平面 PAC .

…… 12 分 …… 14 分

n 19. 1)由题意知, a n ? ( ) (n ? N *) ? bn ? 3 log1 an ? 2, b1 ? 3 log1 a1 ? 2 ? 1

4

4

? bn?1 ? bn ? 3 log1 an?1 ? 3 log1 an ? 3 log 1
4 4 4

an?1 ? 3 log1 q ? 3 an 4

∴数列 {bn }是首项b1 ? 1, 公差d ? 3 的等差数列
n n (2)由(1)知, a n ? ( ) , bn ? 3n ? 2(n ? N *) ? c n ? (3n ? 2) ? ( ) , (n ? N *)

1 4

1 4

? S n ? 1?

1 1 1 1 1 ? 4 ? ( ) 2 ? 7 ? ( ) 3 ? ? ? (3n ? 5) ? ? ) n ?1 ? (3n ? 2) ? ( ) n , 4 4 4 4 4 1 1 2 1 3 1 4 1 n 1 n ?1 于是 S n ? 1 ? ( ) ? 4 ? ( ) ? 7 ? ( ) ? ? ? (3n ? 5) ? ? ) ? (3n ? 2) ? ( ) 4 4 4 4 4 4 3 1 1 2 1 3 1 n 1 n ?1 两式相减得 S n ? ? 3[( ) ? ( ) ? ? ? ( ) ] ? (3n ? 2) ? ( ) 4 4 4 4 4 4 1 1 n ?1 2 12 n ? 8 1 n ?1 ? ? (3n ? 2) ? ( ) . ? S n ? ? ? ( ) (n ? N *) 2 4 3 3 4

n ?1 n n ?1 (3)? c n ?1 ? c n ? (3n ? 1) ? ( ) ? (3n ? 2) ? ( ) ? 9(1 ? n) ? ( ) , ( n ? N *)

1 4

1 4

1 4

∴当 n=1 时, c 2 ? c1 ?

1 4 1 4

当 n ? 2时, cn?1 ? cn ,即c1 ? c2 ? c3 ? c4 ? ? ? cn ∴当 n=1 时, cn 取最大值是 又 cn ?
2

1 2 1 1 m ? m ? 1对一切正整数 n恒成立 ? m 2 ? m ? 1 ? 4 4 4

即 m ? 4m ? 5 ? 0得m ? 1或m ? ?5 20. (1) f' x?3 ?a () ? 2 2 x x

'x 3 ? x 0 ?x a 由题可知 f() ?2 2 ?在[0,2]上恒成立.
2 ? a? 320ax x x 23 ? ? x2 ?

当 x ? 0 时此式显然成立, a ? R ; 当 x?(0,2]时有 2 ?3 恒成立,易见应当有 2 6 a , a x a ? ? ? 3

'x 3 ? x 0 ?x a 可见 f() ?2 2 ?在[0,2]上恒成立,须有 a ? 3
又 f20 b ? ( ? ?4 ) ? a 8

? b 7? f ?? 32 ( a1 a 1 )? ? ? ?
(2)设 P ?) ( fy f ? x ? 图象上的两个不同点,则 是 ( fx Q?? x ? y ) , , ,
f ?x? ? f ? y? x? y
3 (x a??y a? ??2 b ( 3 y b x ) ??2 ) ?1? ? 1 xy ?

2 ? 2 ya y ? (? ) ( ) xyx x ? ??? 1
2 ? a ( ?1 此 式 对 于 x 恒 成 立 , 从 而 x y) y y ? ? x 2a) ( ?? ?0

? 3 2 a4 ? y a2 ? 0 2 y ?0 ? ? ?
此式对于 y 也恒成立,从而 ?? a 3) ' 0a3 ?,3 ? 2 ? ? ( ? 注:用导数方法求解略,按相应步骤给分.

( 0),( b,y0) A 21. (1) 由已知得 F2 3b, ,则直线 F2 A 的方程为: y ? ?
令 x ? 0 得 y ? 9 y0 ,即 P (0,9 y0 ) , 2

8 3

3 y0 ( x ? 3b) , b

x0 ? ? x0 ? 2 x ? x? 2 x0 2 y0 2 4x2 y2 ? ? ?1, 设 P x,y) ? ,则 ,即 ? ( y 代入 2 ? 2 ? 1 得: 2 ? 8b b 8b 25b 2 ? y ? y0 ? 9 y0 ? 5 y ? y0 ? 5 ? 0 ? ? 2
x2 y2 ?1. 即 P 的轨迹 E 的方程为 2 ? 2b 25b2

(2) 在

x2 y2 ? ? 1 中令 y ? 0 得 x 2 ? 2b2 ,则不妨设 B - 2b, ( 0),D 2b, , ( 0) 2 2 2b 25b

于 是 直 线 QB 的 方 程 为 : y ?

y1 ( x ? 2b) , x1 ? 2b

直 线 QD 的 方 程

为: y ?

y1 ( x- 2b) , x1 - 2b

则 M 0, (

2by1 - 2by1 , ),N 0, ( ) x1 ? 2b x1 - 2b
2

则以 MN 为直径的圆的方程为: x ? y (

2by1 2by1 )(y ? ) 0 , ? x1 ? 2b x1 - 2b

x2 y2 2b2 y12 2 2 y1 , ? 1 上,则 x12 ? 2b 2 ? 令 y ? 0 得: x ? 2 ,而 Q x1 , y1) 在 2? ( 2 2 25 2b 25b x1 ? 2b
2

于是 x ? ?5b ,即以 MN 为直径的圆过两定点 (?5b,0),(5b,0) .


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