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2015-2016-1学期高三九月月考数学试题


2015-2016-1 学期高三九月月考数学试题
一、选择题: (本大题共有 12 道小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知集合 M ? {x | x 2 ? 1 ? 0} , N ? {x | A. {1} B. {?1,0}

1 ? 2 x ?1 ? 4, x ? Z } ,则 M ? N ? ( B 2
C. {?1,0,1

} D. ?

)

? ? ? 上单调递增的是 2. 下列函数中既是奇函数,又在 ? 0,
A. y ? sin x B. y ? ? x 2 ?

( C ) D. y ? e
x

1 x

C. y ? x ? 3 x
3 2

3. 给 出 两 个 命 题 : 命 题 p : 命 题 “ 存 在 x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ” 的 否 定 是 “ 任 意 ;命题 q :函数 y ? log 2 x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0 ” 题的是( C A. p ? q ) B. p ? ?q C. p ? q D. p ? ? q D )

?

x 2 ? 1 ? x 是奇函数. 则下列命题是真命

?

4.若函数 f(x)=x2-ax-a 在区间[0,2]上的最大值为 1,则实数 a 等于( A.-1 5 已知函数 f ? x ? ? B.1 C.-2 D. 2

1 2 则 f ? ? x ? 的图象大致是( A x ? cos x, f ? ? x ? 是函数 f ? x ? 的导函数, 4

)

A. B. C. D. 2 6.已知命题 p:x +2x-3>0;命题 q:x>a,且 ?q 的一个充分不必要条件是 ?p ,则 a 的 取值范围是 A.(-∞,1] B.[1,+∞) C.[-1,+∞) ( B ) D.(-∞,-3]

7.7. 已知函数 f(x)=mx2+(m-3)x+1 的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点右侧,则实数 m 的取值范围是 ( B )

A.(0,2) B.(-∞,1] C.(-∞,1) D.(0,2] x a ,x>1, ? ? 8.若 f(x)=?? a? 是 R 上的单调递增函数,则实数 a 的取值范围为( C 4- x+2,x≤1 ? ?? 2? A.(1,+∞) B.(4,8) C.[4,8) D.(1,8)

)

9. 已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的偶函数,且当 x ? 0 时,不等式 f ( x) ? x ? f ( x) ? 0 成立,
?

若 a=3

0.2

1? ? 1? ? ? f(30.2),b= (logπ2) ? f(logπ2), c= ? log 2 ? ? f ? log 2 ? ,则 a , b , c 间的 4? ? 4? ?

大小关系 A. c ? b ? a

(

A) C. b ? a ? c D. a ? c ? b

B. c ? a ? b

10. 已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增.若实数 a 满足 f( log 2 a )+f( log 1 a )≤2f(2),则 a 的取值范围是( D)
2

A.(-∞,4] 11.(文)已知 f ( x)= A..14

B. (0,4]

C. (0, ]

1 4

D. [ ,4]

1 4

1 3 x ? ax 2 ? x 是奇函数,则 f (3) ? f '(1) ? ( A ) 3
B. 12

11. (理)若函数 f ( x) ? cos x ? 2 xf '( ), 则f ( ? A. f ( ? C. f ( ?

?

C. 10

?

? ?

)? f( ) 3 3

?

6

3

)与f ( ) 的大小关系是 3

?

D.-8 (C )

B. f ( ? D.不确定

?

)? f( ) 3 3

?

)? f( ) 3 3

?

12.已知函数 y=f(x)为奇函数,且对定义域内的任意 x 都有 f(1+x)=-f(1-x).当 x∈(2,3) 时,f(x)=log2(x-1).给出以下 4 个结论:其中所有正确结论的为 ( A ) ①函数 y=f(x)的图象关于点(k,0)(k∈Z)成中心对称; ②函数 y=|f(x)|是以 2 为周期的周期函数; ③函数 y=f(|x|)在(k,k+1)(k∈Z)上单调递增; ④当 x∈(-1,0)时,f(x)=-log2(1-x). A.①②④ B.②③ C.①④ D.①②③④ 二、填空题(本大题共有 4 道小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知实数 m, n 满足 m ? n ? 0, m ? n ? ?1, 则 14. 已知 f ( x ? 1) ? x ? 1 ? e 面积为
x ?1

1 1 ? 的最大值__-4_______ m n

, 则函数 f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线 l 与坐标轴围成的三角形 .
2

1 4

15. 若函数 y ? f ( x) ( x ? R )满足 f ( x ? 2) ? f ( x) 且 x ? [?1,1] 时, f ( x) ? 1 ? x ,函数

?log 7 x (x ? 0) ? ,则函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在区间 [?7 , 7] 内零点的个数有__12_ g ( x) ? ? 1 ? ( x ? 0) ? ? x
个. 16. 存在区间 M ? [a , b] ( a ? b ),使得 { y | y ? f ( x), x ? M } ? M , 则称区间 M 为函数 f ( x) 的一个“稳定区间”.给出下列 4 个函数:
x 3 ① f ( x) = e ;② f ( x) = x ;③ f ( x) ? cos

? x ; ④ f ( x) = ln x + 1 2

其中存在“稳定区间”的函数有②__③_

.(把所有正确 的序号都填上) ..

三、解答题(本大题共有 5 道小题,每小题 12 分,共 60 分) 17.(本小题满分 12 分) 设向量 m ? (sin 2? x, cos 2? x) , n ? (cos ? ,sin ? ) ,其中 ? ?

??

?

?
2

, ? ? 0 ,函数

?? ? ? f ( x) ? m ? n 的图象在 y 轴右侧的第一个最高点(即函数取得最大值的点)为 P( ,1) , 6 5? 在原点右侧与 x 轴的第一个交点为 Q ( , 0) . 12
(Ⅰ)求函数 f ( x) 的表达式; (Ⅱ)在 ?ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a, b, c ,若 f (C ) ? ?1, CA? CB ? ? 且 a ? b ? 2 3 ,求边长 c . 解:解: (I)因为 f ( x) ? m?n ? sin(2? x ? ? ) , 由题意

??? ? ??? ?

3 , 2

?? ?

-----------------------------1 分 -----------------------------3 分

T 5? ? ? ? ?T ? ? ?? ? 1 , 4 12 6

将点 P (

?

6

,1) 代入 y ? sin(2 x ? ? ) ,得 sin(2 ? 6 ? 2k? , (k ? ?) ,又因为 | ? |?

?
6

? ?) ? 1 ,

所以 ? ?

?

?
2

,?? ?

?
6

-------------------5 分 ---------------------6 分

即函数的表达式为 f ( x) ? sin(2 x ? (II)由 f (C ) ? ?1 ,即 sin(2C ? 又? 0 ? C ? ? ,? C ? 由 CA? CB ? ? 所以 ab ? 3

?
6

), ( x ? R) .

?
6

) ? ?1
------------------------8 分

??? ? ??? ?

2? 3

3 3 ,知 ab cos C ? ? , 2 2
-----------------10 分
2 2 2 2

由余弦定理知 c ? a ? b ? 2ab cos C ? (a ? b) ? 2ab ? 2ab cos C

所以 c ? 3 ----------------------------------------------------12 分 18.(文) (本小题满分 12 分)为了解某市的交通状况,现对其 6 条道路进行评估,得分分别 为:5,6,7,8,9,10.规定评估的平均得分与全市的总体交通状况等级如下表: 评估的平均得分 全市的总体交通状况等级

1 ? (2 3) 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? (? ) ? 9 2

(0, 6)
不合格

[6,8)
合格

[8,10]
优秀

(Ⅰ)求本次评估的平均得分,并参照上表估计该市的总体交通状况等级; (Ⅱ)用简单随机抽样方法从这 6 条道路中抽取 2 条,它们的得分组成一个样本,求该样本 的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率. 【解析】 : (Ⅰ)6 条道路的平均得分为

1 (5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 10) ? 7.5 .-----------------3 分 6
-----------------5 分

∴该市的总体交通状况等级为合格.

(Ⅱ)设 A 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5 ”. -----7 分 从 6 条道路中抽取 2 条的得分组成的所有基本事件为: (5,6) , (5,7) , (5,8) , (5,9) ,

(5,10) , (6,7) , (6,8) , (6,9) , (6,10) , (7,8) , (7,9) , (7,10) , (8,9) , (8,10) , (9,10) ,
共 15 个基本事件. -----------------9 分

事件 A 包括 (5,9) , (5,10) , (6,8) , (6,9) , (6,10) , (7,8) , (7,9) 共 7 个基本事件, ∴ P ( A) ?

7 . 15 7 .------12 分 15

答:该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率为 18.(理) (本小题满分 l 2 分)

在 2015 年全国高校自主招生考试中,某高校设计了一个面试考查方案:考生从 6 道备选 题中一次性随机抽取 3 题,按照题目要求独立回答全部问题.规定:至少正确回答其中 2 题 的便可通过.已知 6 道备选题中考生甲有 4 题能正确回答,2 题不能回答;考生乙每题正确回 2 答的概率都为 ,且每题正确回答与否互不影响. 3 (I)分别写出甲、乙两考生正确回答题数的分布列,并计算其数学期望; (II)试用统计知识分析比较两考生的通过能力. 解析:(I)设考生甲、乙正确回答的题目个数分别为 ξ、η,则 ξ 的可能取值为 1,2,3,P(ξ
2 1 0 C1 C2 C3 4C2 1 4C2 3 4C2 1 =1)= 3 = ,P(ξ=2)= 3 = ,P(ξ=3)= 3 = , C6 5 C6 5 C6 5

∴考生甲正确完成题数的分布列为 ξ P 1 3 1 Eξ=1× +2× +3× =2. 5 5 5 1 1 5 2 3 5 3 1 5

………………………………………..4 分

2 2 1 3-k 又 η~B(3, ),其分布列为 P(η=k)=Ck ( )k· ( ) ,k=0,1,2,3; 3· 3 3 3 2 ∴Eη=np=3× =2. 3 ………………………………………6 分

1 3 1 2 (II)∵Dξ=(2-1)2× +(2-2)2× +(2-3)2× = , 5 5 5 5 2 1 2 Dη=npq=3× × = , 3 3 3 ∴Dξ<Dη. ………………………………..8 分

3 1 12 8 ∵P(ξ≥2)= + =0.8,P(η≥2)= + ≈0.74,∴P(ξ≥2)>P(η≥2). ??????10 分 5 5 27 27 从回答对题数的数学期望考查,两人水平相当;从回答对题数的方差考查,甲较稳定;从至 少完成 2 题的概率考查,甲获得通过的可能性大.因此可以判断甲的实验通过能力较 强.………………12 分 19(理)在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD , E 是 PD 的中点,

?ABC =?ACD ? 90? , ?BAC =?CAD ? 60? , AC ? AP ? 2 .
(Ⅰ)求证: PC ? AE ; (Ⅱ)求二面角 A ? CE ? P 的余弦值. 解: (Ⅰ)取 PC 的中点 F ,连接 EF , AF , 则 EF ∥ CD . 因为 AC ? AP ? 2 所以 PC ? AF .????????????1分 因为 PA ? 平面 ABCD , CD ? 平面 ABCD 所以 PA ? CD 又 AC ? CD 所以 CD ⊥平面 PAC ????????????????????? ??3 分 因为 PC ? 平面 PAC ,所以 CD ⊥ PC ; 又 EF ∥ CD ,所以 EF ? PC ; 又因为 PC ? AF , AF ? EF ? F ; 所以 PC ⊥平面 AEF ???????????????????????5分 因为 AE ? 平面 AEF ,所以 PC ? AE (注:也可建系用向量证明) (Ⅱ)以 B 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系 B ? xyz . 则 ??????????6分 B C A P E

D

B ? 0, 0, 0 ?

,

A ? 0,1, 0 ?

,

C

?

3, 0, 0

?



P E y F z B x C A D

D 2 3,3, 0 , E

?

? ?

3, 2,1 , P ? 0,1, 2 ?

?

???? AC ?

?

??? ? 3, ?1, 0 , CE ? ? 0, 2,1? .

?

??????????????????8 分

???? ? ? AC ? n1 ? 0, 设平面 ACE 的法向量为 n1 ? ( x, y , z ) ,则 ? ??? ? CE ? ? ? n1 ? 0.

所以 ?

? 3 x ? y ? 0, ? ? ?2 y ? z ? 0.

? 2 3) . 令 x ? 1 .所以 n1 ? (1, 3,

????????9 分

由(Ⅰ)知 CD ⊥平面 PAC , AF ? 平面 PAC ,所以 CD ⊥ AF . 同理 PC ⊥ AF .所以 AF ? 平面 PCE 所以平面 PCE 的一个法向量 n2 ? AF ? (

????

3 1 , ? ,1) . 2 2

???????10 分

所以 cos n1 , n2 ?

n1 ? n2 6 ?? , n1 ? n2 4
6 . 4

????????11 分

由图可知,二面角 A ? CE ? P 为锐角, 所以二面角 A ? CE ? P 的余弦值为 ????????12 分

19.(文)在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD ,

E 是 PD 的中点, ?ABC =?ACD ? 90? ,

P E A B C

?BAC =?CAD ? 60? , AC ? AP .
(Ⅰ)求证: CE ∥平面 PAB ; (Ⅱ)求证: PC ? AE . 证明: (Ⅰ)取 AD 的中点 M ,连接 CM , EM . 则有 EM ∥ PA . 因为 PA ? 平面 PAB , EM ? 平面 PAB 所以 EM ∥平面 PAB .????????2分 由题意知 ?BAC =?CAD =?ACM ? 60? , 所以 CM ∥ AB . 同理 CM ∥平面 PAB .???????4分 又因为 CM ? 平面 CME , EM ? 平面 B A F P

D

E

M

D

CME , CM ? EM ? M
所以 平面 CME ∥平面 PAB . 因为 CE ? 平面 CME

C

所以 CE ∥平面 PAB .

???????????????????????6 分

(Ⅱ)取 PC 的中点 F ,连接 EF , AF ,则 EF ∥ CD . 因为 AP ? AC ,所以 PC ? AF .???????????????7分 因为 PA ? 平面 ABCD , CD ? 平面 ABCD ,所以 PA ? CD 又 AC ? CD 所以 CD ⊥平面 PAC ???????????????????????9 分 因为 PC ? 平面 PAC 所以 CD ⊥ PC 又 EF ∥ CD ,所以 EF ? PC 又因为 PC ? AF , AF ? EF ? F 所以 PC ⊥平面 AEF ???????????????????????11分 因为 AE ? 平面 AEF 所以 PC ? AE ????????????????????????12 分

x2 y 2 1 以原点 O 为圆心, ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 2 a b 2 椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 x ? y ? 6 ? 0 相切..
20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C : (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)若直线 L : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A、B 两点,且 kOA ? kOB ? ? 面积是否为定值?若为定值,求出定值;若不为定值,说明理由. 【解析】 : 4 2 c2 a 2 ? b2 1 c 1 2 ? ,即 a ? b , (1)由题意知 e ? ? ,∴ e2 ? 2 ? 2 4 a 2 a a 3 又b ?

b2 ,判断△AOB 的 a2

6 1?1

? 3 ,∴ a 2 ? 4, b 2 ? 3 ,
y2 x2 ? ?1 4 3

故椭圆的方程为

4分

? y ? kx ? m ? (II)设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,由 ? x 2 y 2 得 ? ? 1 ? 3 ?4

(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8mkx ? 4(m 2 ? 3) ? 0 , ? ? 64m 2 k 2 ? 16(3 ? 4k 2 )(m 2 ? 3) ? 0 , 3 ? 4k 2 ? m 2 ? 0 .
x1 ? x2 ? ? 8mk 4(m 2 ? 3) , x ? x ? . 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
2

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7 分

3(m 2 ? 4k 2 ) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分 y1 ? y2 ? (kx1 ? m) ? (kx2 ? m) ? k x1 x2 ? mk ( x1 ? x2 ) ? m ? .· 3 ? 4k 2
2

3 kOA ? kOB ? ? , 4
2m 2 ? 4k 2 ? 3 ,

y1 y2 3 ?? , x1 x2 4

3 y1 y2 ? ? x1 x2 , 4

3(m 2 ? 4k 2 ) 3 4(m 2 ? 3) ? ? ? 3 ? 4k 2 4 3 ? 4k 2

| AB |? 1 ? k 2 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2
d? m 1? k
2

48(4k 2 ? m 2 ? 3) 24(1 ? k 2 ) ? (3 ? 4 k 2 ) 2 3 ? 4 k2

? 1?

1 1 3 ? 1? ? 2 4(1 ? k ) 4 2

S? ?

1 1 24(1 ? k 2 ) m 1 24(1 ? k 2 )m 2 | AB | d ? ? ? 2 2 2 2 3 ? 4k 2 1 ? k 2 2 (3 ? 4k )(1 ? k )
12 分

1 24m 2 1 24 3 ? 4k 2 ? ? ? 3 2 (3 ? 4k 2 ) 2 3 ? 4k 2 2

21. (文)已知函数 f ( x) ? ( x 2 ? ax ? 2a 2 ? 3a )e x ?( x ? R ) ,其中 a∈R. (1)当 a ? 0 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, ? ? f (1)?) 处的切线的斜率; (2)当 a ?

2 时,求函数 y ? f ( x) 的单调区间与极值. 3

解:(1)当 a=0 时,f(x)=x2ex,f′(x)=(x2+2x)ex,故 f′(1)=3e. (2)f′(x)=[x +(a+2)x-2a +4a] e ? ( x ? 2a ) ? ? x ? (a ? 2) ? e
2 2 x

所以曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为 3e.

?4 分
x

令 f′(x)=0,解得 x=-2a,或 x=a-2, 2 由 a≠ 知,-2a≠a-2. 3 以下分两种情况讨论:

?6 分

2 ①若 a> ,则-2a<a-2,当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: 3 x f′(x) f(x) (-∞, -2a) + -2a 0 极大值 (-2a,a-2) - a-2 0 极小值 (a-2,+∞) +

所以 f(x)在(-∞,-2a),(a-2,+∞)上是增函数,在(-2a,a-2)上是减函数. 函数 f(x)在 x=-2a 处取得极大值为 f(-2a),且 f(-2a)=3ae
-2a

.


函数 f(x)在 x=a-2 处取得极小值为 f(a-2),且 f(a-2)=(4-3a)ea 2. 2 ②若 a< ,则-2a>a-2,当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: 3 x (-∞,a-2) a-2 (a-2,-2a) -2a

?9 分

(-2a,+∞)

f′(x) f(x)



0 极大值



0 极小值



所以 f(x)在(-∞,a-2),(-2a,+∞)上是增函数,在(a-2,-2a)上是减函数. 函数 f(x)在 x=a-2 处取得极大值 f(a-2),且 f(a-2)=(4-3a)ea 2.


函数 f(x)在 x=-2a 处取得极小值 f(-2a),且 f(-2a)=3ae 21. (理)已知函数 ? f ( x) ? a ln x ? ax ? 3 ( ?a ? R ) .

-2a

.

?12 分

(1) 当 a ? ?1 时,证明:在 ??? ????? 上, ? f ( x) ? 2 ? 0 ; (2)求证:

ln 2 ln 3 ln 4 ln n 1 ? ? ??? ? ??(n ? 2?, n ? N ? ) . 2 3 4 n n

a?1-x? 解:(1) 根据题意知,f′(x)= (x>0), x 当 a>0 时,f(x)的单调递增区间为(0,1],单调递减区间为(1,+∞); 当 a<0 时,f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1]; 当 a=0 时,f(x)不是单调函数. 所以 a=-1 时,f(x)=-ln x+x-3, 在(1,+∞)上单调递增, 所以 f(x)>f(1), 即 f(x)>-2,所以 f(x)+2>0. (2) 由(1)得-ln x+x-3+2>0,即-ln x+x-1>0, 所以 ln x<x-1 对一切 x∈(1,+∞)恒成立.∵n≥2,n∈N*, ln n n-1 则有 0<ln n<n-1,∴0< < , n n ∴ n-1 1 ln 2 ln 3 ln 4 ln n 123 · · · ?· < ··· ?· = (n≥2,n∈N*). 2 3 4 n 234 n n ?12 分 ????6 分

四、请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时, 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 直线 AB 经过⊙O 上的点 C,并且 OA=OB,CA=CB.⊙O 交直线 OB 于 E,D,连接 EC, CD. (Ⅰ )求证:直线 AB 是⊙O 的切线; 1 (Ⅱ)若 tan∠CED=2,⊙O 的半径为 3,求 OA 的长.

解: (1)证明: 连接 OC, ∵OA=OB, CA=CB, ∴OC⊥OB, 又∵OC 是圆的半径,∴AB 是圆的切线. ……4 分 (2)∵ED 是直径,∴∠ECD=90° ,∴∠E+∠EDC=90° ,

又∠BCD+∠OCD=90° ,∠OCD=∠ODC,∴∠BCD=∠E,又∠CBD=∠EBC, BC BD ∴△BCD∽△BEC,∴ = ? BC2=BD· BE, BE BC CD 1 BD CD 1 又 tan∠CED= = ,△BCD∽△BEC, = = , EC 2 BC EC 2 设 BD=x,则 BC=2x,∵BC2=BD· BE,∴(2x)2=x(x+6),∴BD=2, ∴OA=OB=BD+OD=2+3=5. ……10 分 23. (本题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C1 : ?

? x ? ?2 ? cos t ? x ? 4 cos ? (t 为参数), C2 : ? ( ? 为参数). ? y ? 1 ? sin t ? y ? 3sin ? (Ⅰ)化 C1 , C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; ? (Ⅱ)过曲线 C2 的左顶点且倾斜角为 的直线 l 交曲线 C1 于 A, B 两点,求 AB . 4 x2 y 2 2 2 解:⑴ C1 : ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 1, C2 : ? ? 1. 16 9 曲线 C1 为圆心是 (?2,1) ,半径是 1 的圆. 曲线 C2 为中心是坐标原点,焦点在 x 轴上,长轴长是 8,短轴长是 6 的椭圆.……4 分
? 2 s, ? x ? ?4 ? ? 2 ⑵曲线 C2 的左顶点为 (?4, 0) ,则直线 l 的参数方程为 ? ( s 为参数) ? y ? 2 s, ? ? 2 2 将其代入曲线 C1 整理可得: s ? 3 2 s ? 4 ? 0 ,设 A, B 对应参数分别为 s1 , s2 ,则

s1 ? s2 ? 3 2, s1s2 ? 4.
所以 | AB |?| s1 ? s2 |?

( s1 ? s2 ) 2 ? 4 s1s2 ? 2

……………10 分

24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 (Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)若 a, b, c ? R ,且
?

已知函数 f ( x) ? m ? | x ? 2 |, m ? R * ,且 f ( x ? 2) ? 0 的解集为 ? ?1,1? .

1 1 1 ? ? ? m ,求证: a ? 2b ? 3c ? 9 . a 2b 3c

解:(Ⅰ)因为 f ( x ? 2) ? m ? | x | ,所以 f ( x ? 2) ? 0 等价于 | x |? m ,…2 分 由 | x |? m 有解,得 m ? 0 ,且其解集为 x | ? m ? x ? m? . 又 f ( x ? 2) ? 0 的解集为 ? ?1,1? ,故 m ? 1 .…(5 分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知

?

…4 分

1 1 1 ? ? ? 1 ,又 a, b, c ? R ? , a 2b 3c
∴ a ? 2b ? 3c ? (a ? 2b ? 3c)( ? (或展开运用基本不等式) ∴ a ? 2b ? 3c ? 9

…7 分

1 a

1 1 1 1 1 ? 3c ? ) 2 =9.9 分 ? ) ≥ ( a ? ? 2b ? a 2b 3c 2b 3c

….10 分


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