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线段的定比分点4


线段的定比分点

新课: 问题: (1) 设有向线段
1 2

P P2 所在的直线为 l , 在 l 上任 1

取不同于 P,P 的一点 P , 则点 P 的位置有几种情形?

l l l
P

P1 P1 P1

P

P2 P2 P2
P

(2)P1P与PP2有何关系?



线段的定比分点的定义 设

P , P2的任意一点 , 则存在 一个实数 ? ,使 P P ? ? PP , 1 1 2


P , P2 是直线 1

l

上的两点,点 P 是

l 上不同于

?

叫做点 P 分有向线段

P P2 所成的比. 1

则点 P 叫做 问题 :

P P2的定比分点 1

(1) 点 P 不同于 P , P , 对 ? 有何影响? 1 2 (2) 内分点: 即点 P 在 P P 内时, ? 的取值范围如何? 1 2

(3) 外分点: 即点 P 在

? 的取值范围又如何?

P P2 或 P2 P 的延长线上时, 1 1

二.定比分点坐标公式
若点P1(x1,y1),P2( x2,y2 ),P( x,y ),点P分 P1P2的比为λ,即P1P=λPP2,则点P的坐标( x,y )满足 :

x1 ? ?x2 ? x? ? ? 1? ? ? ① ? y ? y1 ? ?y2 ? 1? ? ?


x1 ? x2 ? x? 特别的: ? 1 时 ? ? ? 2 ? ② ? y ? y1 ? y 2 ? 2 ?

我们把①叫做有向线段P1P2的定比分点坐标公式 ②叫做有向线段P1P2的中点坐标公式。

已知P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ), P( x, y), 1 点P分P P2的比为?,则 1 x1 ? ?x2 ? x? ? ? 1? ? ? ? y ? y1 ? ?y2 ? 1? ? ?
有向线段P1P2的定比分点坐标公式.

x1 ? x2 ? x? ? ? 2 ? ? y ? y1 ? y 2 ? 2 ?
中点坐标公式。

x1, x2 , x, ?知三求一,

y1, y2 , y, ?知三求一

要从方程的角度看定比分点公式



例1 :已知点P( x,1), P (?1,?5), P2 (2,4). 1

例题解析及练习

(1)求点P分P P2的比?1及x的值. 1

(2)求点P 分P2 P的比? 2的值 1
x1, x2 , x, ?知三求一
y1, y2 , y, ?知三求一
要从方程的角度看定比分点公式

例2:如图,△ABC三个顶点的坐标分别为 A(x1,y1),B (x2,y2),C (x3,y3),D是边AB的 中点,G是CD上一点,且CG:GD=2。求 点G的坐标。 若A( x , y ), B( x , y ), C ( x , y ), y A
1 1 2 2 3 3

则?ABC的重心G的坐标为: x1 ? x2 ? x3 y1 ? y2 ? y3 G( , ) 3 3
B

D G · C

O

x

1.求连结下列两点的线段的中点坐标: 练:
⑴ A(3,4),B(-3,2);
答案:(1) M(0,3) (2) M(-2,- )

⑵ A(-7,-1),B(3,-6)

2.求与下列各点关于坐标原点O对称的点的坐标: P(2,3),Q(-2,3),
答案: (-2,-3)

(2,-3)

3.求与P(2,3) 关于点Q(-2,4)对称的点的坐标
(-6,5)

四 小 结:
1,定义

λ是关键,λ>0内分,λ<0外分,λ≠-1。

2,两个公式

线段定比分点公式:

中点坐标公式:

X= y=







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