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2014届高考数学一轮复习方案 第18讲 三角函数的图象与性质课时作业 新人教B版


课时作业(十八)
基础热身 1.函数 f(x)=2sinxcosx 是( A.最小正周期为 2π 的奇函数 B.最小正周期为 2π 的偶函数 C.最小正周期为π 的奇函数 D.最小正周期为π 的偶函数

[第 18 讲

三角函数的图象与性质]

(时间:45 分钟 分值:100 分)

)



? π? 2.y=sin?x- ?的图象的一个对称中心是( 4? ?
3π A.(-π ,0) B.- ,0 4 C. 3π π ,0 D. ,0 2 2

)

3.函数 f(x)=cos2x+2sinx 的最小值和最大值分别为( A.3,1 3 B.-2,2 C.-3, 2 ) 3 D.-2, 2

)

4.下列关系式中正确的是(

A. sin11°<cos10°<sin168° B.sin168°<sin11°<cos10° C.sin11°<sin168°<cos10° D.sin168°<cos10°<sin11°

能力提升 5.已知 a 是实数,则函数 f(x)=1+asinax 的图象不可能是( )

图 K18-1

1

6.[2013?杭州七校上学期期中联考] 函数 y=2cos x 的一个单调增区间是(

2

)

? π π? A.?- , ? ? 4 4? ? π? B.?0, ? 2? ?
C.? D.?

?π ,3π ? 4 ? ?4 ? ?π ,π ? ? ?2 ?
)

π 7.[2012?唐山模拟] 函数 y=cosπ x+ 的一个单调增区间是( 6 2 1 A.- , 3 3 1 5 C.- , 6 6 1 4 B. , 3 3 5 11 D. , 6 6

π 8.[2012?衡水检测] 将函数 y=sin4x+ 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍, 3 π 再向左平移 个单位,所得函数图象的一个对称中心是( 6 A.? C.? )

?π ,0? B.?π ,0? ? ?3 ? ?6 ? ? ? ?π ,0? D.?π ,0? ? ?4 ? ?2 ? ? ?

π π 9. 已知命题 p: 函数 y=2sinx 的图象向右平移 个单位后得到函数 y=2sinx+ 的图 6 6 象;q:函数 y=sin x+2sinx-1 的最大值为 2,则下列命题中真命题为( A.p∧q B.p∨q
2

)

C.p∧(綈 q) D.p∨(綈 q) 10.函数 f(x)=sinx+2|sinx|,x∈[0,2π ]的图象与直线 y=k 有且仅有两个不同的 交点,则 k 的取值范围是________. 11. [2012?大连双基] 若函数 y=2tanω x 的最小正周期为 2π , 则函数 y=sinω x+ 3 cosω x 的最小正周期为________. π? ? ?π ? ?π ? ?π π ? 12.已知 f(x)=sin?ω x+ ?(ω >0),f? ?=f? ?,且 f(x)在区间? , ?上有最 3? ? ?6? ?3? ?6 3? 小值,无最大值,则 ω =________. 13.[2012?泉州四校联考] 设 f(x)=asin2x+bcos2x,其中 a,b∈R,ab≠0.若 f(x)

?π ? ≤f? ?对一切 x∈R 恒成立,则 ?6?

2

①f?

?11π ?=0;②?f?7π ??<?f?π ??; ? ? ? 12 ?? ? ? 5 ?? ? 12 ? ? ? ?? ? ? ??

③f(x)既不是奇函数也不是偶函数; π 2π ④f(x)的单调递增区间是 kπ + ,kπ + (k∈Z); 6 3 ⑤存在经过点(a,b)的直线与函数 f(x)的图象不相交. 以上结论正确的是________(写出所有正确结论的编号). 14.(10 分)设函数 f(x)= 3sinxcosx+cos x+a. (1)写出函数 f(x)的最小正周期及单调递减区间; 3 ? π π? (2)当 x∈?- , ?时,函数 f(x)的最大值与最小值的和为 ,求 a 的值. 2 ? 6 3?
2

π 15.(13 分)设函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(其中 A>0,ω >0,-π <φ ≤π )在 x= 处取 6 得最大值 2,其图象与 x 轴的相邻两个交点的距离为 (1)求 f(x)的解析式; 6cos x-sin x-1 (2)求函数 g(x)= 的值域. ? π? f?x+ ? 6? ?
4 2

π . 2

3

难点突破 16. 分)已知向量 a=(sinx, 3sinx), =(2cosx, x), (12 2 b sin 定义 f(x)=a?b- 3. (1)求函数 y=f(x),x∈R 的单调递减区间; π? ? (2)若函数 y=f(x+θ )?0<θ < ?为偶函数,求 θ 的值. 2? ?

4

课时作业(十八) 【基础热身】 1. [解析] 因为 f(x)=2sinxcosx=sin2x, C 所以它的最小正周期为π , 且为奇函数, 选 C. π 2.B [解析] ∵y=sinx 的对称中心为(kπ ,0)(k∈Z),令 x- =kπ (k∈Z),得 x 4 π 3 ? π? ? 3π ? =kπ + (k∈Z).k=-1 时,x=- π 得 y=sin?x- ?的一个对称中心是?- ,0?. 4? 4 4 ? ? 4 ? 3.C [解析] f(x)=1-2sin x+2sinx 1 3 2 =-2sin x-sinx+ + 4 2 12 3 =-2sinx- + , 2 2 1 3 ∴当 sinx= 时,f(x)有最大值 , 2 2 当 sinx=-1 时,f(x)有最小值-3. 4.C [解析] 因为 sin168°=sin(180°-12°)=sin12°,cos10°=cos(90°-
2

80°)=sin80°,由于正弦函数 y=sinx 在区间[0°,90°]上为递增函数,因此 sin11° <sin12°<sin80°,即 sin11°<sin168°<cos10°. 【能力提升】 5.D [解析] 选项 A 中函数的最大值小于 2,故 0<a<1,而其周期大于 2π ,故选项 A 中图象可以是函数 f(x)的图象.选项 B 中函数的最大值大于 2,故 a 应大于 1,其周期小 于 2π ,故选项 B 中图象可以是函数 f(x)的图象.当 a=0 时,f(x)=1,此时对应选项 C 中图象.对于选项 D,可以看出其最大值大于 2,其周期应小于 2π ,而图象中的周期大于 2 π ,故选项 D 中图象不可能为函数 f(x)的图象. 6.D [解析] y=2cos x=cos2x+1,检验知,选项 D 正确. π 7.D [解析] 由余弦函数的单调区间知,函数 y=cosπ x+ 的单调增区间满足 2kπ 6 π 7 1 5 11 -π ≤π x+ ≤2kπ ,即 2k- ≤x≤2k- ,当 k=1 时, ≤x≤ ,所以选 D. 6 6 6 6 6 8.A π [解析] 将函数 y=sin4x+ 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,再向左 3
2

π 2π 2π kπ π 平移 个单位,所得函数为 y=sin2x+ ,令 2x+ =kπ ,解得 x= - .当 k=1 6 3 3 2 3 π 时,x= ,选 A. 6

5

π π 9.B [解析] 函数 y=2sinx 的图象向右平移 个单位后得到函数 y=2sinx- 的图 6 6 象,命题 p 是假命题;y=sin x+2sinx-1=(sinx+1) -2,当 sinx=1 时,此函数有最大 值 2,命题 q 是真命题,故 p∨q 是真命题,所以选 B. 10.(1,3)
? ?3sinx,x∈[0,π ], [解析] 由题意得 f(x)=? 图象如图所示,由图 ?-sinx,x∈(π ,2π ], ?
2 2

象可得,若 f(x)与 y=k 有且仅有两个不同的交点,k 的取值范围为 1<k<3.

11.4π

π π 1 [解析] ∵函数 y=2tanω x 的最小正周期为 2π ,∴|ω |= = = ,∴y T 2π 2

1 3 π =sinwx+ 3coswx=2 sinwx+ coswx=2sinwx+ , ∴函数 y=sinω x+ 3cosω x 的最 2 2 3 2π 小正周期为 =4π . 1 2 14 12. 3 π? ? ?π ? ?π ? [解析] ∵f(x)=sin?ω x+ ?,且 f? ?=f? ?, 3? ? ?6? ?3?

?π π ? 又 f(x)在区间? , ?内只有最小值、无最大值, ?6 3?
π π + 6 3 π ∴f(x)在 x= = 处取得最小值, 2 4 ∴ π π π 10 ω + =2kπ - (k∈Z),∴ω =8k- (k∈Z). 4 3 2 3

10 14 ∵ω >0,∴当 k=1 时,ω =8- = ; 3 3 38 ?π π ? 当 k=2 时,ω = ,此时在区间? , ?内存在最大值. 3 ?6 3? 14 故ω= . 3 13.①②③ [解析] 因为 f(x)=asin2x+bcos2x= a +b sin(2x+θ ),若 f(x)≤ π π
2 2

f? ?对一切 x∈R 恒成立,则 θ = ,f(x)= a2+b2sin2x+ ;①f? ?=0 正确; 6 6 ?6? ? 12 ?

?π ?

?11π ?

? ?7π ?? ? ?π ?? ②?f? ??<?f? ??正确;③f(x)既不是奇函数也不是偶函数正确;④错误,⑤错误. ? ? 12 ?? ? ? 5 ??

6

14.解:(1)f(x)= 由 得

π? 3 1+cos2x 1 ? sin2x+ +a=sin?2x+ ?+a+ ,∴T=π . 6? 2 2 2 ?

π π 3π +2kπ ≤2x+ ≤ +2kπ (k∈Z), 2 6 2 π 2π +kπ ≤x≤ +kπ (k∈Z). 6 3

2π ?π ? 故函数 f(x)的单调递减区间是? +kπ , +kπ ?(k∈Z). 6 3 ? ? π π π π 5π (2)∵- ≤x≤ ,∴- ≤2x+ ≤ , 6 3 6 6 6 π? 1 ? ∴- ≤sin?2x+ ?≤1. 6? 2 ? 1? ? 1 1? 3 ? π π? ? 当 x∈?- , ?时,原函数的最大值与最小值的和?1+a+ ?+?- +a+ ?= ,∴a 2? ? 2 2? 2 ? 6 3? ? =0. 2π 15.解:(1)由题设条件知 f(x)的周期 T=π ,即 =π ,解得 ω =2. ω π 因为 f(x)在 x= 处取得最大值 2,所以 A=2. 6 π π ? π ? 从而 sin?2? +φ ?=1,所以 +φ = +2kπ ,k∈Z. 6 3 2 ? ? π 又由-π <φ ≤π 得φ = . 6 π? ? 故 f(x)的解析式为 f (x)=2sin?2x+ ?. 6? ? 6cos x-sin x-1 (2)g(x)= π? ? 2sin?2x+ ? 2? ? 6cos x+cos x-2 = 2cos2x = (2cos x-1)(3cos x+2) 2 2(2cos x-1)
2 2 4 2 4 2

3 2 ? 2 1? = cos x+1?cos x≠ ?. 2? 2 ? 1 ? 7? ?7 5? 2 2 因 cos x∈[0,1],且 cos x≠ ,故 g(x)的值域为?1, ?∪? , ?. 2 ? 4? ?4 2? 【难点突破】 1-cos2x 2 16. 解: (x)=2sinxcosx+2 3sin x- 3=sin2x+2 3? f - 3=sin2x- 3 2

7

π? ? cos2x=2sin?2x- ?. 3? ? π π 3π (1)令 2kπ + ≤2x- ≤2kπ + , 2 3 2 5π 11π ? ? 解得 f(x)的单调递减区间是?kπ + ,kπ + ?,k∈Z. 12 12 ? ? π? ? (2)f(x+θ )=2sin?2x+2θ - ?, 3? ? π? ? 根据三角函数图象性质可知 y=f(x+θ )?0<θ < ?在 x=0 处取最值. 2? ? π? ? 即 sin?2θ - ?=±1, 3? ? π π kπ 5π ∴2θ - =kπ + ,θ = + ,k∈Z. 3 2 2 12 π 5π 又 0<θ < ,∴θ = . 2 12

8


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