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3.1.1直线的倾斜角与斜率


3.1.1 倾斜角与斜率

复习引入:
问题一:在直角坐标系中,只知道直线 上的一点,能不能确定一条直线呢? 问题二: 在日常生活中,我们常说这个 山坡很陡峭,有时也说坡度,这里的陡 峭和坡度说的是山坡与水平面之间的一 个什么关系呢?

讲授新课:
我们知道,经过两点有且只有(确定) 一条直线. 那么,经过一点P的直

线l的位 置能确定吗? y l (1)它们都经过点P. P (2)它们的‘倾斜程度’不同.

?

O

x

问题三:怎样描述这种‘倾斜程度’的不同? 直线倾斜角:x轴正向与直线向上 方向之间所成的角叫直线的倾斜角.

注意: 当直线与x轴平行或 重合时,我们规定它的 倾斜角为0度.

y

l P x

?
O

问题四:倾斜角的取值范围是什么呢? 0 ≤?<180
o o

问题五:确定平面直角坐标系内的一条
直线位置的需要什么要素?

确定平面直角坐标系内的一条直线位置
的几何要素: 一个点P和一个倾斜角? .

问题六:对于坡度怎么去求解呢?

直线斜率:直线倾斜角?的正切值 叫直线的斜率.常用k表示,k=tan?.
问题七:直线的斜率和直线的倾斜角有什 么关系?

讨论:
(1)当直线倾斜角为90 时, 它的斜率不存在吗?
(2)倾斜角的大小与斜率为正或负有何关系?
o

(3)斜率为正或负时,直线过哪些象限呢?

问题八:给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2), x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线 P1P2的斜率?

y2 ? y1 k? x2 ? x1

思考: (1)直线的倾斜角?确定后,斜率k的值与点 P1 ,P2的顺序是否有关? (2)当直线平行表于y轴或与y轴重合时,上 y2 ? y1 述公式 k ? 还适用吗?
?

x2 ? x1

归纳: 对于斜率公式要注意下面四点:

(1)当x1=x2时,公式右边无意义,直线的斜率不存 在,倾斜角?= 90o,直线与x轴垂直; (2) k与P1、P2的顺序无关,即y1,y2和x1,x2在公式中 的前后次序可以同时交换,但分子与分母不能 交换; (3) 斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点 的坐标求得; (4) 当y1=y2时,斜率k=0,直线的倾斜角?=0 ,直 线与x轴平行或重合.
o

例1. 已知A(3, 2),B(-4, 1),C(0,-1), 求直线AB、AC、BC的斜率,并判断 这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.

例1. 已知A(3, 2),B(-4, 1),C(0,-1), 求直线AB、AC、BC的斜率,并判断 这些直线的倾斜角是锐角还是钝角. y B OC A x

例2. 在平面直角坐标系中画出经过原点 且斜率分别为-1, 2, -3的直线l1, l2, l3.

例3. 已知三点A(a, 2)、B(5, 1)、C(-4, 2a)

在同一直线上,求a的值.

练习 1.教材P.86练习第1、2、3、4题.

2.若直线l向上的方向与y轴正方向成
30 角,则l的倾斜角为 60 或120 ,
o o o

l的斜率为

3 或? 3

.

3.已知等边三角形ABC,若直线AB平 行于y轴,则∠C的平分线所在的直线的 o 倾斜角为 0 ,斜率为 0 ,另两边AC、 BC所在的直线的倾斜角为 120o、60o , 斜率为 ? 3、 3 .

4.当且仅当m为何值时,经过两点 A(m,3)、B(-m,2m-1)的直线的 倾斜角为60 ?
o

课堂小结
1. 倾斜角、斜率的概念;

2. 斜率的计算公式.


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