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函数基本性质期中复习学案


[课题]函数基本性质
[知识摘要] 1.函数单调性的定义: 一般地,设函数 y ? f ( x ) 的定义域为 A ,区间 I ? A , 如果对于区间 I 内的任意两个值
x 1 , x 2 ,当 x1 ? x 2 时,都有

,那么就说 y ? f ( x ) 在区间 I 上是单调 区间;当 x1 ? x 2 时,都有 函数, I 称为

y ? f ( x ) 的单调 区间.



数, I 称为 y ? f ( x ) 的单调
y ? f ( x ) 在区间 I 上是单调

,那么就说

2.函数奇偶性的定义: 如果对于函数 y ? f ( x ) 的定义域内的任意一个 x , 都有 是偶函数;若定义域内的任意一个 x 都有 3.函数奇偶性图像关系:奇函数的图像关于 [基础自测] , 那么称函数 y ? f ( x )

,那么称函数 y ? f ( x ) 是奇函数. 对称;偶函数的图像关于 对称.

1、若 f ( x ) ? ( 2 k ? 1) x ? b 在 R 上为减函数,则 k 的取值范围为_____; f ( x ) ? ? x ? x ? m
2

的 增 区 间 为 ________; f ( x ) ?

1 x ?1

的 减 区 间 为 _________; y ? x ?

4 x

的增区间为
x

_______; f ( x ) ? lo g 2 a ?1 ( x ? 1) 为减函数,则 a 的取值范围为_________; f ( x ) ? (3 ? 2 a ) 在
R 上为增函数,则实数 a 的取值范围为__________.

2、 以下函数① y ?

x ( x ? 1)
2

x ?1

;② y ? ( x ? 1) ;③ y ? | x ? 1 | ? | x ? 1 | ;④ y ? f ( x ) ? f ( ? x ) ;⑤ y ? f (| x |) 中
2

为偶函数的序号为___________. 3、已知奇函数 f ( x ) 的定义域为 ( ? 2 a , a ? 3) ,则 a 的值=_________, f (0) 的值=_______.
2

4、已知函数 f ( x ) ? ( m ? 2) x ? ( m ? 1) x ? 3 是偶函数,则实数 m 的值
2



已知函数 f ( x ) ? x ? ax ? bx ? 8 若 f ( ? 2 ) ? 1 0 ,则 f ( 2 ) 的值
5 3



函数 y ?

? x ? 2x ? 8
2

的单调增区间为

.

5、 已知 f ( x ) 是 R 上的奇函数,且当 x ? (0, ?? ) 时, f ( x ) ? x (1 ? 3 x ) ,则当 x ? 0 时, f ( x ) =_____. [例题解析] 例 1 : 设 函 数 f ( x ) 为 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 且 f ( x ) 在 [0, ? ? ) 为 减 函 数 , 则

f ( ? 2), f ( ? ? ), f (3) 的大小顺序

变形 1: y ? f ( x ) 在(0,2)上是增函数, y ? f ( x ? 2) 是偶函数,则 f ( ), f ( ), f ( )
2 2 2

1

5

7

的大小关系 变形 2:若函数 f ( x ) ? x ? m x ? n ,对任意实数 x ,都有 f (1 ? x ) ? f (3 ? x ) 成立,试比
2

较 f ( ? 1), f (2), f (4) 的大小关系 例 2:判断下列各函数的奇偶性 (1) f ( x ) ? ( x ? 2 )
2? x 2? x

(2) f ( x ) ?

1? x

2

x?2 ?2

(3) f ( x ) ? lg( x ?

x ? 1)
2

? 2 ( ? x ? 2 x ,x ? 0 ) (4) f ( x ) ? ? 2 ? ? x ? 2 x ,x ? 0 ) ( ?
3

例 3: (1)用函数单调性定义证明: f ( x ) ? ? x ? 1 在 ( ? ? , ? ? ) 上单调递减; (2)讨论函数 f ( x ) ? 2 ? 2
x ?x

在 R 上的单调性,并给出证明.

例 4:已知 f ( x ) 为 [ ? 3, 3] 上的偶函数.当 0 ? x ? 3 时, f ( x ) ? e ? 3 x .
x

(1)求 ? 3 ? x ? 0 时, f ( x ) 的解析式;(2)解关于 a 的不等式 f ( a ? 2 ) ? f ( 2 a ) .

【课后作业】 1、已知偶函数 f ( x ) ? ax ? (2 a ? 1) x ? 5 ? 2 a ,则 f ( x ) 在区间 [ ? 1, 2] 上的最小值为_________.
2

2、已知函数

f ( x ) 是定义在 ( ? ? , ? ? ) 上的偶函数. 当 x ? ( ? ? , 0 ) 时, f ( x ) ? x ? x ,
4

则当 x ? ( 0 , ? ? ) 时, f ( x ) ?
2 3、若 f ( x ) ? ? x ? 2 ax 与 g ( x ) ?

.
a

x ?1

在区间 [1, 2 ] 上都是减函数,则 a 的取值范围______.
f ( x) ? f (? x) x ?0的

4、已知奇函数 f ( x ) 在 (0, ? ? ) 上为增函数,且 f (1) ? 0 ,则不等式 解集为 .
( x ? 1)( x ? a ) x 2 1? x

5、设函数 f ( x ) ? 6、函数 f ( x ) ? lg(

为奇函数,则实数 a =______. 对称.

? 1) 的图象关于

7、已知函数 f ( x ) ? ?

? (3 a ? 1) x ? 4 a , x ? 1 ? lo g a x , x ? 1
2

是 ( ?? , ?? ) 上的减函数,则 a 的取值范围为

.

8、若函数 y ? lo g a ( x ? 2 x ? 3) ,当 x ? 2 时, y ? 0 ,则此函数的单调递增区间是______.

9. 已 知 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 f ( x ) 在 区 间 [0, ? ? ) 上 是 单 调 增 函 数 , 若 f (1) ? f (lg x ) ,求 x 的取值范围.

10. 函数 f ( x ) ?

ax ? b 1? x
2

是定义在 ( ? 1,1) 上的奇函数,且 f ( ) ?
2

1

2 5

.

(1)确定函数 f ( x ) 的解析式;(2)用定义证明 f ( x ) 在 ( ? 1,1) 上是增函数; (3)解不等式 f ( t ? 1) ? f ( t ) ? 0 .


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