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2014江苏高考数学压轴题01


2014 江苏高考数学压轴题一
1. (12 分)已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点 M ?1, 2 ? ,它们在 x 轴上有共同焦点,椭圆和双曲线的 对称轴是坐标轴,抛物线的顶点为坐标原点. (Ⅰ)求这三条曲线的方程; (Ⅱ)已知动直线 l 过点 P ? 3,0? ,交抛物线于 A, B 两点,是否存在垂直于 x 轴的直线 l ? 被以 AP 为直径 的圆截得的弦长为定值?若存在,求出 l ? 的方程;若不存在,说明理由.

-1南京清江花苑严老师

2. (14 分) 已知正项数列 ?an ? 中, 点 An an ,an a1 ? 6 , 在过点 ? 0,1? ,以方向向量为 ?1,2? 的直线上. (Ⅰ)求数列 ?an ? ,?bn ? 的通项公式;

?

?1

? 在抛物线 y

2

数列 ?bn ? 中, 点 Bn ? n, bn ? ? x ? 1 上;

? ?an , (Ⅱ) 若 f ? n? ? ? ? ?bn ,
若不存在,说明理由;

? n为奇数? , 问是否存在 k ? N , 使 f ?k ? n为偶数?
a n ?1 ? 1 ?? 1? ?1 ? ??1 ? ? ? b1 ?? b2 ? ? 1? ?1 ? ? ? bn ?

?2 7 ? ?4 f k ?

? 成立,若存在,求出 k 值;

(Ⅲ)对任意正整数 n ,不等式

?

an n ? 2 ? an

? 0 成立,求正数 a 的取值范围.

-2南京清江花苑严老师

3.(本小题满分 12 分)将圆 O: x 2 ? y 2 ? 4 上各点的纵坐标变为原来的一半 (横坐标不变), 得到曲线 C. (1) 求 C 的方程; (2) 设 O 为坐标原点, 过点 F( 3, 0) 的直线 l 与 C 交于 A、B 两点, N 为线段 AB 的中点, 延长线段 ON 交 C 于点 E. 求证: OE ? 2ON 的充要条件是 | AB | ? 3 .

-3南京清江花苑严老师

4.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x ) ?

1 (x ? R ) . 4 ?2 1 1 ) 对称; (1) 试证函数 f ( x ) 的图象关于点 ( , 2 4 n (2) 若数列 {a n } 的通项公式为 a n ? f ( ) (m ? N ? , n ? 1, 2, ? , m) , 求数列 {a n } 的前 m 项和 Sm ; m
x

(3) 设数列 {b n } 满足: b 1 ?

1 1 1 1 , b n ?1 ? b 2 . ? ??? n ? b n . 设 Tn ? 3 b1 ? 1 b 2 ? 1 bn ?1

若(2)中的 Sn 满足对任意不小于 2 的正整数 n, Sn ? Tn 恒成立, 试求 m 的最大值.

-4南京清江花苑严老师

5. (12 分) E 、 F 是椭圆 x 2 ? 2 y 2 ? 4 的左、右焦点, l 是椭圆的右准线,点 P ? l ,过点 E 的直线交椭 圆于 A 、 B 两点. (1) 当 AE ? AF 时,求 ?AEF 的面积; (2) 当 AB ? 3 时,求 AF ? BF 的大小; (3) 求 ? EPF 的最大值.
B E O y

A

P M F x

6. (14 分)已知数列 ?an ? 中, a1 ?

2 1 2Sn ,当 n ? 2 时,其前 n 项和 Sn 满足 an ? , 3 2Sn ? 1

(1) 求 Sn 的表达式及 lim

n ??

an 的值; 2 Sn

(2) 求数列 ?an ? 的通项公式; (3) 设 bn ?

1 (2n ? 1)
3

?

1 (2n ? 1)3

,求证:当 n ? N 且 n ? 2 时, an ? bn .

-5南京清江花苑严老师

7. (本小题满分 14 分) 设双曲线

x2 y2 ? =1( a > 0, b > 0 )的右顶点为 A, a 2 b2

P 是双曲线上异于顶点的一个动点,从 A 引双曲线的两 条渐近线的平行线与直线 OP 分别交于 Q 和 R 两点. (1) 证明:无论 P 点在什么位置,总有 | OP |2 = | OQ · OR | ( O 为坐标原点); (2) 若以 OP 为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积,求双曲线离心率的取值范围; 第 21 题
??
?? ? ?? ?

-6南京清江花苑严老师



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