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数学高二(上)沪教版(数列章节复习(一))教师版


年 课

级: 高二 题

辅导科目: 数学

课时数:3

数列章节复习(一)

教学目的

复习巩固数列这一章的知识点及常用的解题方法,查漏补缺。

教学内容

【知识梳理】

? ? ?定义 ?

? ? ? ? ?等差中项 ? ? ? ?递推公式 ? ?等差数列 ? ? ? ?通项公式 ? ? ?前n项和公式 ? ? ? ? ? ? ?性质 ? ? ? ?定义 ? ? ? ? ? ?等比中项 ? ? ?递推公式 ? ? ? ?数列 ?等比数列 ? ? ? ?通项公式 数列与数学归纳法 ? ? ?前n项和公式 ? ? ? ? ?性质 ? ? ? ? ? ?定义 ? ? ? ? ?四则运算 ? ?数列的极限 ? ? ? ?常见的重要极限 ? ? ?无穷等比数列各项和 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?数学归纳法证明的步骤 ? ?数学归纳法 ? ?归纳 ? 猜想 ? 论证的方法 ?
老师根据表格带着学生回顾本章的知识点以及在解题过程中常用的方法。

【基础练习】
1.一个首项为正的等差数列中,前 3 项的和等于前 11 项的和,则此数列的前___________项和最大。 【答案】7 2 . 数 列 ?an ? 中 , a1 ? 3 , 且 对 任 意 大 于 1 的 自 然 数 n , 点

?

an , an?1 在 直 线 x ? y ? 3 ? 0 上 , 则

?

-1-

lim
n??

? n ? 1?
? ?

an

2

? ________

【答案】3 3. 点 A ? 0,

2? 2 ? 2? ? ? ? , B ? 0, ? ? , C ? 4 ? , 0 ? , 其 中 n 为 正 整 数 , 设 Sn 表 示 ?ABC 外 接 圆 的 面 积 , 则 n? n ? n? ? ?

lim S n ? ______________
n ??

【答案】 4? 5. 已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? n2 ? kn ? 2 ,若任意 n ? N ,有 an?1 ? an 恒成立,则实数 k 的取值范围是
?

________ 【答案】 k ? ?3

?3? 6.已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? ? ? ?4?
【答案】 a1 ? 0, a3 ? ?

n ?1

?? 3 ?n ?1 ? ?? ? ? 1? ,则数列 ?an ? 的最大项和最小项分别是_______________ ? ? ?? 4 ? ?

63 256

7.若由正整数构成的无穷数列 ?an ? 中,对任意的正整数 n,都有 an ? an?1 。且对任意的正整数 k,该数列中恰有 2k-1 个 k,则 a2008 ? ______________ 【答案】45 8.已知函数 f ? x ? ? 2x ,等差数列 ?an ? 的公差为 2,若 f ? a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? ? 4 ,则

log 2 ? ??f ? a10 ? ? ? f ? a1 ??f ? a2 ??f ? a3 ?? ? ? _________
【答案】 ?6

【例题解析】
例 1、设在等差数列 ?an ? 中, a1 ? 0 , 4a3 ? 7a1 ,问数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ( n ? N )有没有最大值?若有,求
?

出最大值;若没有,说明理由。 【答案】 S12

n ?1 ? 例 2、数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ( n ? N ) ,且 lg S n ? ? n ? 1? lg b ? lg b ? n ? 2 , b ? 1

?

?

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)对给定的自然数 n ? n ? 4? 有an?1 ? an ,求 b 的取值范围;

-2-

(3)对任意的自然数 n ? n ? 4? 有an?1 ? an ,求 b 的取值范围。

? ?1 ? b ? n ? 3b ? 2 ,n ? 2 ? 【答案】 (1) an ? ? bn?1 ?b2 ? 1, n ? 1 ?
(2) 1 ? b ? (3) b ? 3 例 3、已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 3n ? 1 (1)设数列 ?bn ? 满足 bn ? ?

n ?1 n?3

? ?an , n偶 ,求 Tn ? b1 ? b2 ??? bn a ? ?2 n, n奇

(2)设 cn ?

bn ?1 ( n 为正整数) ,问是否存在正整数 N,使得 n ? N 时恒有 cn ? 2008 成立?若存在,请求出所有 N bn

的范围;若不存在,请说明理由。

n ? 3n ? 4 ? ?4 n 8 ? 1? ? , n为偶数 ? ? ? 63 4 【答案】 (1) Tn ? ? ? 4 8n ?1 ? 1 ? ? n ? 1?? 3n ? 1? , n为奇数 ? ? ? 4 ? 63
? 23 n ? 2 , n为偶数 ? ? 3n ? 1 (2) Cn ? ? ? 3n ? 2 , n为奇数 ? ? 23n ?1
(3)不存在 例 4、若等差数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ,且对于任意 n ? N 满足
?

Sn 为常数,则称该数列为 S 数列。 S2n

(1)判断 an ? 4n ? 2 是否为 S 数列; (2)若首项为 a1 的等差数列 ?an ? ( an 不为常数列)为 S 数列,试求出其通项(用 a1 表示) (3)若首项为 a1 且各项为正数的等差数列 ?an ? 为 S 数列,设 n ? h ? 2008 ( n, h 为正整数) ,求 【答案】 (1)是 (3) (2) an ? ? 2n ?1? a1, 其中 a1 ? 0

1 1 ? 的最小值。 Sn Sh

1 1 2 2 1 ? ? ? ? 2 Sn Sh Sn Sh 1004 a1 504008a1

-3-

即最小值为

1 504008a1

【课堂练习】
一、填空题 1.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S12 ? 21 ,则 a2 ? a5 ? a8 ? a11 ? _________ 【答案】7 2.设 ?an ? 是等差数列, ?bn ? 是各项都为正数的等比数列,且 a1 ? b1 ? 1, a3 ? b5 ? 21 ,

a5 ? b3 ? 13 则 ?an ? , ?bn ? 的通项分别是_______________________
【答案】 an ? 2n ?1; bn ? 2n?1 3.已知两个等差数列 ?an ? , ?bn ? 的前 n 项和分别为 An , Bn ,且

An 7n ? 45 a ? , 则 10 ? _____ Bn n?3 b10

【答案】

89 11

4.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 S3 ? 9, S6 ? 36, 则a7 ? a8 ? a9 ? _____________ 【答案】45 6. 已知等差数列 ?an ? 的公差 d ? 0 ,首项 a1 ? 0 , Sn ?

1 1 1 ,则 ? ??? a1a2 a2 a3 an an?1

lim S n ? ___________
n ??

【答案】

1 a1d

7. lim n
n ??

?

n ? a ? n ? _________
a 2

?

【答案】 ?

8. lim

a n?1 ? a n?1 ? a ? 0 ? ? ________________ n ?? 1 ? an

?0, 0 ? a ? 1 ? 【答案】 ?0, a ? 1 ? a ? a ?1 , a ? 1 ?
9.设数列 ?an ? 的首项 a1 ? 4, an ?

3 ? an ?1 , n ? 2 ,则数列 ?an ? 的通项公式是____________ 2

? 1? 【答案】 1 ? 3 ? ? ? ? 2?

n ?1

-4-

10.已知整数对的数列如下: (1,1),(1, 2),(2,1),(1,3),(2, 2),(3,1),(1, 4),(2,3),(3, 2),(4,1),

(1,5),(2, 4),?, 则第 60 个数对可以是_____________
【答案】 ? 5, 7 ?

?1? 11.若数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? ? ? ? ? 3?
的项是第_______项。 【答案】1,2

n?2

? 2 ? n ? 1, 2,3,?? ,则此数列中数值最小的项是第_______项,数值最大

12.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足 6Sn ? ? an ?1?? an ? 2? , n ? N 则在下列说法中,正确的是
?





A 数列 ?an ? 一定是一个等差数列 B 数列 ?an ? 一定是一个等比数列 C 数列 ?an ? 一定是一个等差数列或等比数列 D 数列 ?an ? 可能既不是等差数列也不是等比数列 【答案】D 二、选择题 1. 数列 ?an ? 满足 an ? 0, a2 ? 9 且对于任意正整数 n1 , n2 都有 an1 ?n2 ? an1 an2 ,则 ?an ? 的通项公式 an 为 A 3
n ?1





B 3

n

C 3

n ?1

D 3

n?2

【答案】B 2.在 ?an ? 中, a1 ? 2, an ?1 ? ? A 15 【答案】C B 25

1 ? (n? N ) ,写出一个使 an ? 2 且 n 是 5 的倍数的最小的 n 值 an ? 1
C 10 D 20





3. 等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,当 a1 , d 变化时,若 a5 ? a8 ? a11 是一个定值,那么下列各数中为定值的是 ( ) B S15 C S7 D S8

A S16 【答案】B

【课后练习】 本章检测(可作为阶段性测试试卷)
一、选择题 1.“ b ? ac ”是“ a, b, c 三数成等比数列”的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件
-5-





C 充要条件

D 既不充分又不必要条件 ( D 53 )

2.在数列 ?an ? 中,设 a1 ? 2, 2an?1 ? 2an ? 1 ,则 a101 的值是 A 50 B 51 C 52

3. 设 数 列 ?an ? 是 公 差 为 ?2 的 等 差 数 列 , 如 果 a1 ? a4 ? a7 ??? a28 ? 90 , 那 么 a4 ? a6 ? a8 ??? a50 ? ( ) A ?360 B ?368 C ?375 D ?384 ( )

4.在等比数列 ?an ? 中,设公比为 q ? 2, S99 ? 77 ,则 a3 ? a6 ? a9 ??? a99 ? A 11 B 33 C 44 D 66

? ? 1 ? a ?n ? 5. .若 lim ?1 ? ? ? ? ? 1 ,则 a 的取值范围是 n ?? ? ? 2a ? ? ? ?
(A) ? , ?? ? (C) ? , ?? ? ? ? ??, ?1?





?1 ?3

? ? ? ?

(B) ? ??, ?1?

?1 ?3

(D) ? ?1, ?

? ?

1? 3?

6.在等比数列 ?an ? 中,若 a1 ? 1 ,它的前 n 项和 Sn 满足 lim Sn ?
n ??

1 ,则 a1 的取值范围( ) a1
D 1, 2

A ?1, ?? ? 7.计算 lim

B ?1, 4 ?

C ?1, 2 ? ( )

?

?

5 ? 9 ? 13 ??? ? 4n ? 1? 的值为 n?? ?3n ? 1?? 2n ? 3?
B

A

1 2

1 3

C

1 5

D 不存在

8.已知等比数列 ?an ? 的首项是 1,公比是 q ,设此数列的前 n 项和为 Sn ,若 Tn ?

Sn ,且 S n ?1

lim Tn ? 1 ,则
n ??



) B q ? 1且q ? 0 D q ? 1 或 q ? ?1

A q ?1 C ?1 ? q ? 0 或 0 ? q ? 1
2 2 2

9.用数学归纳法证明 1 ? 2 ??? n ??? 2 ? 1 ?
2 2

1 n ? 2n 2 ? 1? ,在第二步中从命题对于 3


n ? k 成立到命题对于 n ? k ? 1 时也成立,等式左边应添加的项是 (
A

?k

2

? 1?

2

B k ?1
2

-6-

C

? k ? 1?

2

? k2

D

? k ? 1?

2

? 2k 2

10.某人将 a 万元存 5 年期定期,共存 15 年,该种储蓄年利率为 p %,每次计息时,储户要支付 20%的利息税,假设 在此期间,利率保持不变,则到期后所取出的本利和最多为 ( ) A a? ?1 ? ?1 ? 20? ? p% ? ?
15

B a? ?1 ? ?1 ? 20% ? ? 5 ? p% ? ?

3

C a? ?1 ? ?1 ? 20% ? ? 15 ? p % ? ? 二、填空题

D 3a? ?1 ? ?1 ? 20% ? ? 5 ? p% ? ?

11.若已知数列 ?an ? 中, a1 ? 2, an ?1 ? an ? , n ? N

1 3

?

?

? ,则 a

n

? ___________

12.若数列 ?an ? 前 n 项和 Sn ? 3n2 ? 3n ,则 an ? ___________ 13.在等比数列 ?an ? 中,数列的前 n 项和为 Sn ,若 a3 ? 2S2 ? 1, a4 ? 2S3 ? 1 ,则公比 q ? _________ 14. 已知数列 ?an ? 中, an ? ? 2n ? 1?? ? ?1? 15.计算: lim ?
n ?1

,则 S100 =_________

3 2n ? 1 ? ? 1 ? 2 ?? 2 ? ? ______________ 2 n ?? n ? 1 n ?1 n ?1 ? ?

16.如果△ABC 的三条边构成一个以 a 为首项,以 q 为公比的等比数列,那么 q 的取值范围 是_________________ 三、解答题

? ? 化为分数。 17. 把循环小数 0.123

18.计算: lim ?

? kn2 n2 n2 n2 ? ? ? ??? ? n ?? n?k ? ? n n ?1 n ? 2

19.已知 a, b, c 三数成等差数列,公差是 d ? d ? 0? ;又 c, a, b 三数成等比数列,公比为 q ,且 d ? q ,求 a, b, c 三数。

-7-

? 20.已知数列 ?an ? n ? N 中前 8 项是一个以 2 为公比,以

?

?

1 为首项的等比数列,从第 8 项起是一个等差数列,公 4

差为 ?3 ,求: (1)数列 ?an ? 的通项公式; (2)数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 的公式; (3)当 n 为何值时, Sn ? 0

21.用数学归纳法证明:

? m ? 1?

n

? nm ? 1 能被 m 2 整除(其中 m 为正数, n ? N ? )

答案 1.D

2.C

3.D

4.C 12. 6n ? 6

5.C
?

6.D

7.B 13.3

8.C 14. ?100

9.C

10.B 15.1

11. n ?

1 3

5 3

?n ? N ?

16.

5 ?1 5 ?1 ?q? 2 2
-8-

?? ? 17. 0.123
18.

61 495

k ( k ? 1) 2 1 1 2 19. a ? , b ? ? , c ? ? 3 6 3
20.(1) an ? ?

? 2 n ?3 , n ? 8 ?

?n ? N ? 56 ? 3n, n ? 8
?

? n?2 1 2 ? ,n ? 8 ? ? 4 (2) S n ? ? ?n ? N ? ? 2 ? 6 n ? 210 n ? 1041 ? ,n ? 8 ? ? 4

-9-


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