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把握命题方向,提升数学素养


把握中考数学命题方向,提升学生数学素养
宁城县教学指导中心 张国有 中考作为初中生的学业鉴定,高中学校的选拔方式,倍受人们关 注。一份好的数学试卷要做到:立意新颖、结构合理、导向明确、亮 点纷呈、既关注学法,又关注探究。具有导教和导学的功能。 一、2013 年赤峰市中考数学试题分析 (一)命题原则试题要求 1、命题原则: (1) 、 切实体现义务教育的性质和素质教育的要

求, 渗透课改的理念, 以人为本。 (2) 、体现“三个有利于”的命题指导思想,促进课改的健康发展。 ①有利于高中学校的录取工作; ②有利于教学质量的提高; ③有利于改善学生的学习方式、丰富学生的数学体验和情感体验、发 展思维能力; (3) 、根据《课标》确定内容。 (4) 、充分考虑学生的生活实际和认知水平。 (5) 、着重考察学生的基础知识和综合运用知识的能力。 (6) 、确保试题的信度和效度,把握核心知识,杜绝繁偏旧的试题, 控制题量。 (7) 、根据试题的考察目的和考察重点,科学合理的制定评分标准。 2、试题要求:
1

(1)试题确保校改合理,有利于录取工作。 (2)试题要降低难度,强调双基,要有梯度,坚持做到由易到难, 坡度小,有利于学生拾级而上,各科试题易中难的比例为 7︰2︰1, 综合题,实践题放在中档题中,总体难度系数以 0.7 为宜,各科满分 率可达 5%。 (3) 除课标,教材需要背诵,默写的内容外,不另出背诵内容; (4) 试题不用旧题,不用成题; (5) 试题要通盘考虑不同版本的内容和要求,力求体现使用不同版 本教材的考生公平。 (6) 题量适度,给考生留有充分的思考空间,和时间,文字量一般 不得超过 4500 字。 (二)试题亮点分析 2013 年赤峰市中考试题传承了赤峰市几年来的一贯风格,关注 学科基础,着重考察初中数学的“四基” 。关注学生的数学素养和理 性思维,多层次考察学生对数学本质的理解和数学建模能力。具体分 析如下: 1、题量合理,难度适中,淡化甄别与选拔 下面是 2004 年至 2013 年赤峰市中考数学试题各种题型的题量和易中 难的比例:
2004 选择题 填空题 解答题 总题数 易中难比例 10 10 8 28 3︰5︰2 2005 10 8 8 26 3︰5︰2 2006 10 8 7 25 3︰5︰2
2

2007 10 8 7 25 7︰2︰1

2008—2013 8 8 9 25 7︰2︰1

由上表可以看出,随着年度的递增中考数学的题量和难度在逐年 下降,由于初中生源的不断减少,中考参考人数也在逐年下降,这样 大大增大了高中生的录取率,据不完全统计 2013 年我市高中生录取 率已达 90%以上,由此,中考的选拔功能已经有所降低,作为中考的 数学考试将进一步发挥其评价和考察的功能, 朝着有利于学生发展的 方向迈进进。我县的向阳中学 2013 年的参考人数为 589 人 难度系数为:0.68(接近 0.7) 平均分数为:102 满分率为:0 及格率为:88% 代数、几何、统概比例合理 2、卷面简洁,层次分明,图文并茂 2013 年的中考数学试题在控制题量的同时,还注重控制阅读量, 有效的减轻了学生在考试中的负担,由易到难,层次分明。避免了繁 杂的数值计算和几何证明。主客观试题搭配合理,图文并茂,界面友 好,给学生以亲切、直观的感觉,便于学生理解和答题。在 25 道题 中有 12 道配有图形
第 1 题. (3 分) ( A. ) 是( B.1
0

) C.

2 2

D. ﹣1

第 3 题. (3 分) 如图, 4×4 的方格中每个小正方形的边长都是 1, 则 S 四边形 ABCD 与 S 四边形 ECDF 的大小关系是( ) A.S 四边形 ABCD=S 四边形 ECDF B.S 四边形 ABCD<S 四边形 ECDF C.S 四边形 ABCD=S 四边形 ECDF+1
3

D.S 四边形 ABCD=S 四边形 ECDF+2 第 4 题. (3 分)如图所示,几何体的俯视图是(



A.

B.

C.

D.

第 8 题.(3 分)如图,ABCD 是平行四边形,AB 是⊙ O 的直径,点 D 在⊙ O 上 AD=OA=1, 则图中阴影部分的面积为(

A. C.

B. D.

3、立足基础,回归教材,全面考察数学知识的核心内容 学生的数学学习是伴随着数学知识的形成和发展的过程展开的, 而数学知识是学生后继学习和培养综合能力的工具, 是构建数学思想 的的平台。为此,夯实基础,掌握数学核心内容,对学生的终身发展 至关重要。2013 年的中考数学试题,立足基础,知识涉及面广。关 注了对数学学科核心的基础知识、基本技能、基本方法、基本经验的 理解和掌握的考察,较好的促进了数学课程目标的实现,较好的促进 了数学思维、数学观念和数学素养的全面提高,为发挥中考的评价功 能和为一线教师的课堂教学起到了较好的导向作用。 数与代数领域 1、实数(10 题、17 题) , 2、整数指数幂(1 题、9 题、17 题) 3、代数式的运算(2 题) 4、乘法公式(17 题)
4

5、一元一次方程(22 题) 6、二元一次方程组(11 题) 7、不等式(22 题) 8、正比例函数(6 题) 9、一次函数(22 题) 10、反比例函数(15 题、21 题) 11、二次函数(24 题) 图形与几何领域 1、矩形、平行四边形面积(3 题) 2、扇形面积(8 题) 3、圆锥侧面积(13 题) 4、三视图(4 题) 5、矩形的周长(14 题) 6、解直角三角形(19 题) 7、圆的切线(23 题) 8、菱形(25 题) 9、三角形(24 题、25 题) 统计与概率领域 1、统计图(7 题) 2、 “三数” (7 题、12 题) 3、概率的求法(20 题) 4、关注思维,注重能力,考察数学思考目标的落实
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思维是智力活动的核心, 提高学生的思维能力有利于知识的掌握, 提高学习效率,而数学思想是数学知识的精髓,为此,培养学生的数 学能力发展学生的数学思想,是数学课堂教学长期追求的目标之一。 2013 年赤峰市中考数学试题非常重视对数学素养和学科能力的考察。 第 8 题: (3 分)如图,ABCD 是平行四边形,AB 是⊙O 的直径,点 D 在⊙O 上 AD=OA=1,则图中阴影部分的面积为(
A. C. B. D.



【点评】 :此题表面上考察三角形、圆、扇形面积、平行四边形、菱 形的相关知识。如果认真观察不难发现,可以将阴影部分的面积转化 为三角形面积。从而渗透了转化的思想,发展了学生的观察和计算的 能力。堪称一道好题。 第 14 题: (3 分)如图,矩形 ABCD 中,E 是 BC 的中点,
矩形 ABCD 的周长是 20cm,AE=5cm,则 AB 的长为 cm.

【点评】 :该题考察矩形和勾股定理的相关知识的考察,解题时需要 用方程思想变未知为已知,而且将矩形周长=20 转化为 AB+BC=10,使 得问题得以解决。另外,还考察了学生思维的全面性。 第 16 题: (3 分)在等腰三角形中,马彪同学做了如下研究:已知一 个角是 60°,则另两个角是唯一确定的(60°,60°) ,已知一个角 是 90°,则另两个角 也是唯一确定的(45°,45°) ,已知一个角是 120°,则另两个角也是唯一确定的(30°,30°) .由此马彪同学得 出结论:在等腰三角形中,已知一个角的度数,则另两个角的度数也
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是唯一确定的.马彪同学的结论是 误”)

的. (填“正确”或“错

【点评】 :该题考察等腰三角形的相关知识,同时也发展了学生的批 判性思维。 第 6 题. (3 分)目前,我国大约有 1.3 亿高血压病患者,占 15 岁以 上总人口数的 10%﹣15%,预防高血压不容忽视.“千帕 kpa”和“毫米 汞柱 mmHg”都是表示血压的单位,前者是法定的国际计量单位,而 后者则是过去一直广泛使用的惯用单位.请你根据下表所提供的信 息,判断下列各组换算正确的是( 千帕 kpa 毫米汞柱 mmHg 10 75 ) 12 90 16 120 … …

【点评】 该题通过观察两组数据的数量关系, 发现规律, 找出关系式, 是问题得以解决。考察了学生探索发现的能力。 5、立足生活,关注应用,考察解决问题目标的实现 生活是数学的源泉,数学离不开生活。解决生活实际问题是数学 学习的最终归宿。学生学习数学的过程就是学生数学化的过程,所谓 “数学化”是人们运用数学的方法观察现实世界,分析研究各种具体 现象,并加以整理组织,以发现其规律解决问题的过程。该试卷多处 创设学生熟悉的生活情境, 考察学生从实际问题中抽象数学模型的能 力,体验运用数学知识解决实际问题的情感,培养用数学做数学的意 识。

7

第 7 题: (3 分)从某校九年级中随机抽取若干名学生进行体能测试, 成绩记为 1 分,2 分,3 分,4 分,5 分.将测量的结果制成如图所示 的扇形统计图和条形统计图,根据图中提供的信息,这些学生分数的 中位数是( )

A.1

B.2

C.3

D.4

【点评】 :该题以学生熟悉的体能测试为背景,考察了扇形统计图和 条形统计图的运用,以及中位数。 第 19 题: (10 分) 如图, 数学实习小组在高 300 米的山腰 (即 PH=300 米)P 处进行测量,测得对面山坡上 A 处的俯角为 30°,对面山脚 B 处的俯角 60°.已知 tan∠ ABC= ,点 P,H,B,C,A 在同一个平面

上,点 H,B,C 在同一条直线上,且 PH⊥ HC. (1)求∠ ABP 的度数; (2)求 A,B 两点间的距离.

【点评】 :本题借助测山坡长度的生活背景,考察锐角三角函数。 第 20 题: (10 分)甲、乙两位同学玩摸球游戏,准备了甲、乙两个 口袋,其中甲口袋中放有标号为 1,2,3,4,5 的 5 个球,乙口袋中
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放有标号为 1,2,3,4 的 4 个球.游戏规则:甲从甲口袋摸一球, 乙从乙口袋摸一球,摸出的两球所标数字之差(甲数字﹣乙数字)大 于 0 时甲胜,小于 0 时乙胜,等于 0 时平局.你认为这个游戏规 则对 双方公平吗?请说明理由.若不公平,请你对本游戏设计一个对双方 都公平的游戏规则. 【点评】 :该题以摸球游戏为背景,考察了概率的求法,以及对问题 解决结果的批判性思维。 第 22 题: (12 分)某校家长委员会计划在九年级毕业生中实施“读 万卷书,行万里路,了解赤峰,热爱家乡”主题活动,决定组织部分 毕业生代表走遍赤峰全市 12 个旗、县、区考察我市创建文明城市成 果,远航旅行社对学生实行九折优惠,吉祥旅行社对 20 人以内(含 20 人) 学生旅行团不优惠, 超过 20 人超出的部分每人按八折优惠. 两 家旅行社报价都是 2000 元/人.服务项目、旅行路线相同.请你帮助 家长委员会策划一下怎样选择旅行社更省钱. 【点评】 :该题以学生留有选择旅行社为背景,考察学生一次函数在 实际生活中的应用,同时考察学生将实际问题数学化,通过数学建模 解决问的能力。而且,培养了学生选择最佳方法解决问题的意识。 6、立足发展,注重综合,考察数学知识的综合运用能力 中考考试不仅仅是一次学业考试, 更是今后教师 “教” 和学生 “学” 的风向标。中考试题的“导教” , “导学”功能一直是命题人员关注的 重点。2013 年的中考数学试卷设计了探究、推理、综合运用的试题。 检测学生思维的灵活性、严谨性及广度和深度。本试卷的最大特点是
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综合性较强, 尤其值得一提的是将轴对称、 旋转综合到其它内容里面, 起到了图形变换的工具作用。

第 18 题: (10 分)如图,在平面 直角坐标系中,已知点 A(0,3) ,B(2,4) , C(4,0) ,D(2,﹣3) ,E(0,﹣4) .写出 D,C,B 关于 y 轴对称点 F,G, H 的坐标,并画出 F,G,H 点.顺次而平滑地连接 A,B,C,D,E,F,G, H,A 各点.观察你画出的图形说明它具有怎样的性质,它象我们熟知的什么图 形?

【点评】 :该题是平南、平面直角坐标系与轴对称的综合,考察平面 直角坐标系的相关知识,通过轴对称变换得到新的图形,写出新图形 的坐标,并欣赏图形,体现数学美。 第 24 题: (12 分)如图,已知△ OAB 的顶点 A(﹣6,0) ,B(0,2) , O 是坐标原点,将△ OAB 绕点 O 按顺时针旋转 90°,得到△ ODC. (1)写出 C,D 两点的坐标; (2)求过 A,D,C 三点的抛物线的解析式, 并求此抛物线顶点 E 的坐标; (3)证明 AB⊥ BE.

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【点评】 :该题是二次函数与全等三角形、旋转的综合,主要考察二 次函数解析式的求法和勾股定理运用。 特点是降低了二次函数综合题 的难度。也考察了代行系数法和推理能力。 第 23 题: (12 分)如图,已知 MN 是⊙ O 的直径,直线 PQ 与⊙ O 相切 于 P 点,NP 平分∠ MNQ. (1)求证:NQ⊥ PQ; (2)若⊙ O 的半径 R=3,NP= ,求 NQ 的长.

【点评】 :该题是圆与直角三角形的综合,主要考 察圆的切线、平行线的性质和直角三角形的性质。解答此题关键是连 接 OP 和 PM,这是解决圆的切线和半径问题的一般方法,由此培养学 生逻辑推理的能力。 第 25 题: (14 分) 如图, 在 Rt△ ABC 中, ∠ B=90°, AC=60cm, ∠ A=60°, 点 D 从点 C 出发沿 CA 方向以 4cm/秒的速度向点 A 匀速运动,同时 点 E 从点 A 出发沿 AB 方向以 2cm/秒的速度向点 B 匀速运动,当其 中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点 D、E 运动的 时间是 t 秒(0<t≤15) .过点 D 作 DF⊥ BC 于点 F,连接 DE,EF. (1)求证:AE=DF; (2) 四边形 AEFD 能够成为菱形吗?如果能, 求出相应的 t 值,如果不能,说明理由; (3)当 t 为何值时,△ DEF 为直角三角形? 请说明理由.

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【点评】 :该题属于典型的动点问题,考察的知识点很多。平行四边 形、菱形、勾股定理、直角三角形 30°角所对边是斜边一半。使学 生在点的运动中寻求已知条件,将变转化为不变,利用方程使得问题 得以解决。同时考察了学生思维的全面性。 7、关注情感,渗透文化,考察情感、态度和价值观目标的落实 对自然社会的好奇心、求知欲;实事求是的态度、理性精神; 独立思考与合作交流的能力,克服困难的自信心、意志力;创新精神 与实践能力;爱家乡、爱祖国的思想情怀、关爱生命、注重环保等是 现代公民必备的素质。2013 年的中考数学试题注意了对这方面的考 察。 第 6 题. (3 分)目前,我国大约有 1.3 亿高血压病患者,占 15 岁以 上总人口数的 10%﹣15%,预防高血压不容忽视.“千帕 kpa”和“毫米 汞柱 mmHg”都是表示血压的单位,前者是法定的国际计量单位,而 后者则是过去一直广泛使用的惯用单位.请你根据下表所提供的信 息,判断下列各组换算正确的是( 千帕 kpa 毫米汞柱 mmHg 10 75 ) 12 90 16 120 … …

【点评】 :该题渗透了关爱生命、注重健康意识。 第 22 题. (12 分)某校家长委员会计划在九年级毕业生中实施“读万 卷书,行万里路,了解赤峰,热爱家乡”主题活动,决定组织部分毕 业生代表走遍赤峰全市 12 个旗、县、区考察我市创建文明城市成果, 远航旅行社对学生实行九折优惠, 吉祥旅行社对 20 人以内 (含 20 人)
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学生旅行团不优惠,超过 20 人超出的部分每人按八折优惠.两家旅 行社报价都是 2000 元/人.服务项目、旅行路线相同.请你帮助家长 委员会策划一下怎样选择旅行社更省钱. 【点评】 :该题渗透了“读万卷书,行万里路,了解赤峰,热爱家乡” 的思乡情怀。

(三)几点微不足道的瑕疵
教学是不完美的艺术,试卷命题也是不完美的艺术。任何试题总会有 遗憾。 1、第 1 题: (3 分) (
A. B.1 ) 是(
0

) C. D.﹣1

【点评】该题的缺憾是思维含量低。 a 0 ? 1(a ? 0) ,这是一种约定, 没有任何思考价值。本试卷考察有理数的题目没有,应该为考察绝对 值,相反数,倒数知识点的题目。如 2 ?1 。另外该题考察的知识点为 “整数指数幂” ,这与后面的科学计数法的题目重复。 2、第 5 题: (3 分)学校教学楼从每层楼到它上一层楼都要经过 20 级台阶,小明从一楼到五楼要经过的台阶数是( A.100 B.80 C.50 ) D.120

【点评】该题与初中数学的核心内容几乎无关,要想答对此题必须 有生活体验。假如农村孩子没有上过楼,没有这方面的体验,可能也 就答不对这个题。考察的公平性上有点缺憾。 3、第 6 题: (3 分)目前,我国大约有 1.3 亿高血压病患者,占 15 岁 以上总人口数的 10%﹣15%,预防高血压不容忽视.“千帕 kpa”和“毫
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米汞柱 mmHg”都是表示血压的单位,前者是法定的国际计量单位, 而后者则是过去一直广泛使用的惯用单位. 请你根据下表所提供的信 息,判断下列各组换算正确的是( 千帕 kpa 毫米汞柱 mmHg 10 75 12 90 ) 16 120 … …

A.13kpa=100mmHg C.8kpa=60mmHg

B.21kpa=150mmHg D.22kpa=160mmHg

【点评】这个题目是以探索规律为线索考察正比例函数,除去背景应 该说是一道好题。但文字量过大,学生读起来费力,给人以不友好的 感觉。若改为:高血压危及生命,预防高血压不容忽视。测量高血压 的计量单位有两种: “千帕 kpa”和“毫米汞柱 mmHg” 。 请你根据下 表所提供的信息,判断下列各组换算正确的是( )

4、第 18 题:第 18 题: (10 分)如图,在平面 直角坐标系中,已知点 A(0,
3) ,B(2,4) ,C(4,0) ,D(2,﹣3) ,E(0,﹣4) .写出 D,C,B 关于 y 轴对称点 F,G,H 的坐标,并画出 F,G,H 点.顺次而平滑地连接 A,B,C, D,E,F,G,H,A 各点.观察你画出的图形说明它具有怎样的性质,它象我 们熟知的什么图形?

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【点评】该题借助轴对称考察平面直角坐标系的相关知识,体现了数 学知识的综合性。问题中:它象我们熟知的什么图形?答案是:我们 熟悉的轴对称图形。因为这个图形是有轴对称变换而来,当然是轴对 称图形了。这等于将答案直接告诉学生。另外,如果学生答:象一片 树叶,像一颗心等,应该如何评判? 5、培养学生的创新精神是时代呼唤是《课标》的要求,应该有一道 思维含量稍大点的探索类题目。 6、 《课标》上所提倡的的学习方式是:认真听讲、积极思考、动手实 践、自主探究、合作交流。这套试卷考察动手操作能力的没有。应增 加一道动手操作类试题。 7、本试卷的区分度稍差 区分度的高低可以明显体现优秀学生和差生成绩的好与坏,使得 好学生有其施展自己才华的空间,也使差生考出自己的真实水平。

二、2014 年中考数学命题趋向 2012—2013 年的全国中考数学试题亮点纷呈,涌现出许 多立意新颖、结构巧妙地的好题。由这些亮点可以预测出 2014 年中考的命题趋向。 本人通过对多套各地中考数学试题 的分析得出 2014 年中考数学试题具有以下亮点: (一)数与代数 1、在具有时代背景下考察基础知识
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例 1. (2013 天津) 中国园林网 4 月 22 日消息: 为建设生态滨海, 2013 年天津滨海新区将完成城市绿化面积共 8 210 000m2.将 8210 000 用科 学记数法表示应为 (A) 821 ? 104 (B) 82.1 ? 105 (C) 8.21 ? 106 (D) 0.821 ? 107

【点评】枯燥的数字配上现代气息,增强了试题的活力和亲和力

2、突出题型的综合性,考察数学运算的严谨性
例 2.(2012 四川,攀枝花) 已知 ? ? x ?1?
? 3 ? x 2 ? 4x ? 4 ,其中 x满足x 2 ? x ? 6 ? 0 ?? x ?1? x ?1

例 3、已知 x( x ? 1) ? ( x 2 ? y) ? ?3,求 x 2 ? y 2 ? 2 xy 的值。 【点评】以上两例,需要先解方程再求化简求值。体现分式运算与一 元二次方程的综合。

3、灵活运用数与代数的知识,考察探索发现的能力
例 4.(2012 浙江台州)请你规定一种适合任意非零实数 a,b 的新运 算“a⊕ b”,使得下列算式成立: 1⊕ 2=2⊕ 1=3, (﹣3)⊕ (﹣4)=(﹣4)⊕ (﹣3)=﹣ , (﹣3)⊕ 5=5⊕ (﹣3)=﹣ ,… 你规定的新运算 a⊕ b=______________(用 a,b 的一个代数式表示) . 【答案】1⊕ 2=2⊕ 1=3= ?
3 1 6 2(1 ? 2} ? 2 1? 2
? 14 2?(?3 ? ?(?4)? ? 12 (?3) ? (?4)

(﹣3)⊕ (﹣4)=(﹣4)⊕ (﹣3)=﹣ ?

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(﹣3)⊕ 5=5⊕ (﹣3)=﹣ 由此得 a⊕ b?
2( a ? b ) ab

?

2?(?3) ? 5? (?3) ? 5

【点评】立意新,思维含量大。培养学生的归纳与探究的能力。 例 5.观察下列算式:21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128, 28=256,?通过观察,用所发现的规律确定 215 的个位数字是 .

【点评】 考察乘方的同时也考察了学生的探索发现能力。 同时渗透了 一种解决问题的方法。 (现寻找规律,再求结果) 例 6.(2012 四川资阳)观察分析下列方程: ① x ? ? 3 ,② x ? ? 5 ,③ x ?
2 x 6 x 12 ? 7 , ?? x

n2 ? n ? 2n ? 4(n为正整数) 利用它们所蕴含的的规律,求关于方 x ? 的 x ?3

根,你答案是
【答案】① x ?



2 1? 2 ?3 ? x? ? 1 ? 2 , 根为x1 ? 1 ,x2 ? 2 x x 6 2?3 ? 2 ? 3 , 根为x1 ? 2,x2 ? 3 ②x? ?5 ? x? x x 12 3? 4 ?7 ? x? ? 3 ? 4 , 根为x1 ? 3,x2 ? 4 ③x? x x

?? 由此可归纳出第 n 个方程是 x ?
n(n ? 1) ? n ? (n ? 1) x

即x?

n2 ? n ? 2n ? 1 , 根为x1 ? n,x2 ? n ? 1 x

方程 x ?

n2 ? n n2 ? n ? 2n ? 4 可化为 x ? 3 ? ? 2n ? 1 , x?3 x?3

根为x ? 3 ? n,x ? 3 ? n ? 1
所以方程的根为 根为x ? n ? 3或x ? n ? 4

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【点评】将探索规律与解方程结合在一起,考察了学生解方 程的技能和观察、 分析、 归纳的能力, 通过将方程变形, 渗透了转化的思想。 4、利用网格,考察基本技能
例 7. (2012 安徽,8 分) 在由 m×n(m×n>1)个小正方形组成的矩形网格中,研究它的一条对角线所穿 过的小正方形个数 f, (1)当 m、n 互质(m、n 除 1 外无其他公因数)时,观察下列图形并完成下表:

m

n

m? n

f

1 1 2 2 3

2 3 3 4 5

3 4 5 7 7

2 3 4 6 6

猜想:当 m、n 互质时,在 m×n 的矩形网格中,一条对角线所穿过的小正方形 的个数 f 与 m、n 的关系式是_____________(不需要证明) ; (2)当 m、n 不互质时,请画图验证你猜想的关系式是否依然成立, 【答案】 (1) f与m,n的关系是f ? m ? n ? 1,画一反例即可。

【点评】依托网格考察学生归纳探究的能力。

5、依托方程的求解过程,考察思维的严谨性和灵活性
例 8. 若关于 x 的方程 ax2+2(a+2)x+a=0 有实数解,那么实数 a 的 取值范围是 .

【点评】要考虑 a≠0 和 a=0 两种情况。 例 9. 关于 x 的两个方程 x 2 ? x ? 2 ? 0 与 则 a= 。
1 2 有一个解相同, = x+1 x+a

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【点评】要考虑分母不为 0.

6、关注方程与函数有机结合,突出数学知识的内部联系
例 10、下面四条直线,其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程 x﹣2y=2 的解是
A. B. C. D.





【点评】一次函数与二元一次方程的结合,利用直观图像寻求二元一 次方程的解,凸显数形结合思想在数学学习中的广泛应用。

7、联系生活实际,凸显模型思想与应用意识
例 11. 为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加 密) ,接收方由密文→明文(解密) ,已知加密规则为:明文 a,b,c, d 对应密文 a+2b,2b+c,2c+3d,4d.例如,明文 1,2,3,4 对应密 文 5,7,18,16.当接收方收到密文 14,9,23,28 时,则解密得 到的明文为( ) B.6,4,1,7 D。[1,6,4,7

A.7,6,1,4 C.4,6,1,7 解:依题意,得 ,

解得



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∴明文为:6,4,1,7. 故选 B. 【点评】 该题以解密明文为背景, 在理解题意的基础上找出对应关系 式列出方程,突显了数学的神奇与奥妙。
例 12 小明的妈妈在菜市场买回 3 斤萝卜、2 斤排骨,准备做萝卜排骨汤. 妈妈:“今天买这两样菜共花了 45 元,上月买同重量的这两样菜只要 36 元”; 爸爸:“报纸上说了萝卜的单价上涨 50%,排骨单价上涨 20%”; 小明:“爸爸、妈妈,我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少?” 请你通过列方程(组)求解这天萝卜、排骨的单价(单位:元/斤) .

解: 设上月萝卜的单价是 x 元/斤, 排骨的单价 y 元/斤, 根据题意得: . 解得: .

这天萝卜的单价是(1+50%)x=(1+50%)×2=3, 这天排骨的单价是(1+20%)y=(1+20%)×15=18, 答:这天萝卜的单价是 3 元/斤,排骨的单价是 18 元/斤; 【点评】 此题对学生熟悉的市场买菜这一场景进行深刻挖掘, 并以对 话的形式呈现题目, 使学生根据问题中的数据, 提炼出未知与已知的 等量关系,列出方程。使学生用数学的眼光看生活,增强了学生的应 用意识,凸显了数学的模型思想。 例 13. 为了倡导节能低碳的生活,某公司对集体宿舍用电收费作如 下规定:一间宿舍一个月用电量不超过 a 千瓦时,则一个月的电费为 20 元;若超过 a 千瓦时,则除了交 20 元外,超过部分每千瓦时要交
a 元。某宿舍 100

3 月份用电 80 千瓦时,交电费 35 元;4 月份用电 45
20

千瓦时,交电费 20 元。 (1)求 a 的值; (2)若该宿舍 5 月份交电费 45 元,那么该宿舍当月用电量为多少千 瓦时?
【答案】 : (1)根据 3 月份用电 80 千瓦时,交电费 35 元,得,

20+

a ?80 ? a ? =35 ,即 a 2 ? 80a+1500=0 。 100

解得 a=30 或 a=50。 由 4 月份用电 45 千瓦时,交电费 20 元,得,a≥45。 ∴a=50。 (2)设月用电量为 x 千瓦时,交电费 y 元。则

? ? x ? 5 ?0 ?2 0? 0 y= ? ? ?20+0.5 ? x ? 50 ?? x > 50 ?
∵5 月份交电费 45 元,∴5 月份用电量超过 50 千瓦时。 ∴45=20+0.5(x-50) ,解得 x=100。 答: 若该宿舍 5 月份交电费 45 元, 那么该宿舍当月用电量为 100 千瓦时。

【点评】 此题以国家倡导的低碳生活为素材, 从其中的数量关系中列 出方程, 考察学生分析问题解决问题的能力, 在确定 a 值时考察了学 生思维的全面性。同时,给学生普及了环保知识。

8、关注函数表达式和图像的理解
例 14.如图,A 点在半径为 2 的⊙O 上,过线段 OA 上的一点 P 作直线 ? ,与⊙O 过 A 点的切线交于点 B,且∠APB=60°,设 OP= x ,则△PAB 的面积 y 关于 x 的 函数图像大致是( )

21

【点评】该题通过求三角形面积的数量关系,得出函数表达式。体现 数形结合思想。答案 D 例 15.
已知二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图像如图所示,

那么一次函数 y ? bx ? c 和反比例函数 y ? 角坐标系中的图像大致是( )

a 在同一平面直 x

A.

B.

C.

D.

答案 C
例 16.(2013 江苏淮安) 甲、乙两地之间有一条笔直的公路 L,小明从甲地出 发沿公路 L 步行前往乙地,同时小亮从乙地出发沿公路 L 骑自行车前往甲地, 小亮到达甲地停留一段时间, 原路原速返回, 追上小明后两人一起步行到乙地. 设 小明与甲地的距离为 y1 米,小亮与甲地的距离为 y2 米,小明与小亮之间的距离 为 s 米,小明行走的时间为 x 分钟.y1、y2 与 x 之间的函数图象如图 1,s 与 x 之间的函数图象(部分)如图 2.

(1)求小亮从乙地到甲地过程中 y1(米)与 x(分钟)之间的函数关系式; (2)求小亮从甲地返回到与小明相遇的过程中 s(米)与 x(分钟)之间的函数 关系式;

22

(3)在图 2 中,补全整个过程中 s(米)与 x(分钟)之间的函数图象,并确定 a 的值.
【解答】 (1)由图像得: y1 ? ?200x ? 2000 (2)小亮的速度为 2000? 10 ? 200米 / 分 小明的速度为 2000? 40 ? 50米 / 分 小亮从甲地开始追小明时,小明已经在小亮前面 50×24=1200 米出了。 所以小亮追上小明所用的时间为 50×24÷(200-50)=8 分钟

S 是小明与小亮的距离,由图像知当 x=24 时,s=1200 当 x=32 时,s=0 所以 s ? ?150 x ? 4800 (3)当第一次相遇时 s ? 0 时, x ? a ?
2000 ?8 50 ? 200

【点评】此题借助追击这一情境,反复利用图像求函数表达式,求距离之差 s 与时间 x 的关系式,增加了问题的难度,第(3)问需要分段画函数图像。

9.二次函数压轴题的综合性仍然很强
例 17.(2013 年贵州毕节 16 分)如图,抛物线 y=ax2+b 与 x 轴交于点 A、B,且 A 点的坐标为(1,0) ,与 y 轴交于点 C(0,1) . (1)求抛物线的解析式,并求出点 B 坐标;

23

(2)过点 B 作 BD∥CA 交抛物线于点 D,连接 BC、CA、AD,求 四边形 ABCD 的周长; (结果保留根号) (3) 在 x 轴上方的抛物线上是否存在点 P, 过点 P 作 PE 垂直于 x 轴, 垂足为点 E,使以 B、P、E 为顶点的三角形与△CBD 相似?若存在 请求出 P 点的坐标;若不存在,请说明理由.

例 18 .如图 9 ,在平面直角坐标系 xoy 中,顶点为 M 的抛物线 经 过 点 A 和 x 轴 正 半 轴 上 的 点 B , AO ? OB = 2 , y ? ax2 ? bx(a ? 0)
?AOB ? 1200 .
y

(1)求这条抛物线的表达式; (2 )联结 OM ,求 ?AOM 的大小; (3)如果点 C 在 x 轴上,且△ ABC 与△ AOM 相似,求点 C 的坐标.

A

O

B M
图9

x

(二)图形与几何 10、注重构建基本图形,考察几何基础知识
例 19.如图,ABCD 是正方形,G 是 BC 上(除端点外)的任意一点, DE⊥AG 于点 E,BF∥DE,交 AG 于点 F.下列结论不一定成立的 是( )
24

A.△AED≌△BFA C.△BGF∽△DAE

B.DE-BF=EF D.DE-BG=FG

【点评】此题是课本改编题人教八下习题 19.2 第 20 题。以正方形为依托,考察正方形边之间、角之间、所形成的 三角形之间的关系。重点考察了正方形的性质、全等三角形、相似三 角形等的基础知识 例 20.已知:如图,在菱形 ABCD 中,F 为边 BC 的中点,DF 与对角线 AC 交于
点 M,过 M 作 ME⊥CD 于点 E,∠1=∠2。 (1)若 CE=1,求 BC 的长; (2)求证 AM=DF+ME。

B F M
2

1

A

C

E

D
B F M E
2

B F M E G
2

1

A

B F M
2

1

A

G

1

A

C

D

C

E

D

C

D

【点评】此题从尊重学生出发,为学生展示自己不同的数学思维提供了机会。

G

11、注重动手操作探究,考察基本活动经验
例 21.(12 分) (2012?贵阳)如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两 部分,我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线. (1)三角形有 条面积等分线,平行四边形有 条面积等分线; (2)如图① 所示,在矩形中剪去一个小正方形,请画出这个图形的一条面积等分 线; (3)如图② ,四边形 ABCD 中,AB 与 CD 不平行,AB≠CD,且 S△ABC<S△ACD, 过点 A 画出四边形 ABCD 的面积等分线,并写出理由.

25

答案: (1)6 条,无数条; (2)如图(2)所示 (3)如图(3)所示 例 22. “三等分任意角”是数学史上一个著名问题 . 已知一个角 ?MAN, 设 ?? ? ?MAN.
(Ⅰ)当 ?MAN ? 69? 时, ?? 的大小为 (度) ;

1 3

(Ⅱ) 如图, 将 ? M A N 放置在每个小正方形的边长为 1 cm 的网格中, 角的一边 AM 与水平方向的网格线平行,另一边 AN 经过格点 B ,且 AB ? 2.5 cm.现要求只 能使用带刻度 的直尺,请你在图中作出 ?? ,并简要说明作法(不要求证 ... 明)
N



N

B

A E
2.5

C 5 F D
M

A
第(18)题

M

B

12.注重对图形变化内容的考察,体会变中的不变性
将图形变换作为一种解决问题,研究问题的方法和工具,在近几年中考试题 中屡见不鲜,要求学生通过平移、旋转、翻折等适当的变换,构造出新的图形, ,

26

以此来解决问题。 例 23.两个等边△ABD、△CBD 的边长均为 1,将△ABD 沿 AC 方向向右平移到 ,则阴影部分的周长是 ?A1 B1C1 的位置,得到如图(2) 。

D

D

C1 C B1

A

C B



A1 B

【点评】借助于的平移的的考察,体会无论等边△ABD 沿 AC 方向怎样平移,六 边形的周长永远保持一个定植。 解释了数学问题中的“变”与“不变”的和谐统一。 例 24.已知:如图 1,在面积为 3 的正方形 ABCD 中,E、F 分别是 BC 和 CD 边上的两点,AE⊥ BF 于点 G,且 BE=1. (1)求证:△ ABE≌ △ BCF; (2)求出△ ABE 和△ BCF 重叠部分(即△ BEG)的面积; (3)现将△ ABE 绕点 A 逆时针方向旋转到△ AB'E' (如图 2) ,使点 E 落在 CD 边上的点 E' 处, 问△ ABE 在旋转前后与△ BCF 重叠部分的面积是否发生了变化? F E' F 请说明理由. C D D C
E

G

B'

A

图1

B

A

图2

B

【点评】考察图形的旋转,体会图形面积变中的不变性

13.注重研究问题方法的考察,体会变换的工具性
例 25.如图,四边形 ABCD 中,∠ BAD=120° ,∠ B=∠ D=90° ,在 BC、CD 分别 找一点 M、N,使△ AMN 周长最小时,则∠ AMN+∠ ANM 的度数为( ) A.130° C.110° B.120° D.100°

27

【点评】以轴对称为工具,找出周长的最小值。

14.注重对综合分析能力的考察,体会变换的思想性
这类命题主要是以等腰三角形、正方形、矩形等内容为载体,思维含量颇为 丰富,或探究图形中的数量关系,或研究问题结论中的一般性,解决问题时往往 需要添加辅助线或画出新的图形。这些题入口容易,层层递进,出口难。 例 26.如图所示,现有一张边长为 4 的正方形纸片 ABCD ,点 P 为正方形 AD 边上 的一点(不与点 A、点 D 重合)将正方形纸片折叠,使点 B 落在 P 处,点 C 落在

G 处,PG 交 DC 于 H,折痕为 EF,连接 BP、BH.
(1)求证:∠APB=∠BPH; (2)当点 P 在边 AD 上移动时,△PDH 的周长是否发生 变化?并证明你的结论; (3)设 AP 为 x,四边形 EFGP 的面积为 S,求出 S 与 x 的函数关系式,试问 S 是 否存在最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由 .
A P D

A

P
1 3 Q

B

E H G F B C

E
M 2

H G F C

D
EP ? ED ? ?1 ? ?2

? ? 解答: (1) ?1 ? ?3 ? 90?, ?2 ? ?PDC ? 90? ? ?3 ? ?PDC? ? ?APD ? ?DPH ? AB ∥ DC ? ?APD ? ?PDC ?
(2)

?ADP ? ?QDP ? PQ ? PA ? ??HDP周长 ? DA ? DC ? 8 ?HDQ ? ?HDC ? HQ ? HC?

(3)略

15.关注坐标与图形位置及性质的考察
表现在两个方面:一是通过坐标确定图形的位置;二是将图形的 位置坐标化,通过数量关系来研究与图形性质有关的问题。问题的设
28

置一般以坐标或含有网格的平面直角坐标系。 例 27. (2012?广州)如图,⊙ P 的圆心为 P(﹣3,2) ,半径为 3,直线 MN 过点 M(5,0)
且平行于 y 轴,点 N 在点 M 的上方. (1)在图中作出⊙ P 关于 y 轴对称的⊙ P′ .根据作图直接写出⊙ P′ 与直线 MN 的位置关系. (2)若点 N 在(1)中的⊙ P′ 上,求 PN 的长.
21 世纪教育网

解: (1)如图所示,⊙ P′ 即为所求作的圆,⊙ P′ 与直线 MN 相交; (2)设直线 PP′ 与 MN 相交于点 A, 在 Rt△ AP′ N 中,AN= 在 Rt△ APN 中,PN= = = = = , .

【点评】此题将几何作图和计算与坐标融为一体,较好的考察了学生 对坐标与图形的理解和综合运用知识解决问题的能力。

16.关注坐标与图形变换的考察
这类题将图形变换以坐标化,通过数量关系解决问题。主要考察学生对图形 变换的理解与对应点的坐标变化规律的掌握情况。一般解答常以画图和填空、选 择题的形式出现。

例 28.(2013 年吉林长春 3 分)如图,在平面直角坐标系中,点 A 的 坐标为(0,3) ,△OAB 沿 x 轴向右平移后得到△O′A′B′,点 A 的对 应点在直线 y ? 3 x 上一点,则点 B 与其对应点 B′间的距离为【
4



29

A.

9 4

B.3 D.5

C.4

【点评】 此题将坐标变换与正比例函数综合起来,考察坐标与图形变换的掌握情 况。

17.关注图形与图形运动变化的考察
这类题是将图形坐标化,再把运动变化规律用代数式、方程、函数呈现出来。 例 29. 已知点 A(3,4) ,点 B 为直线 x=-1 上的动点,设 B(-1,y) . (1)如图 1,若点 C(x,0)且-1<x<3,BC⊥AC,求 y 与 x 之间的函数关系式; (2)在(1)的条件下,y 是否有最大值?若有,请求出最大值;若没有,请说 明理由; (3)如图 2,当点 B 的坐标为(-1,1)时,在 x 轴上另取两点 E,F,且 EF=1.线 段 EF 在 x 轴上平移,线段 EF 平移至何处时,四边形 ABEF 的周长最小?求出此 时点 E 的坐标.

解答: (1)△AMC∽△CDB ?
1 1 3 y ? ? x2 ? x ? 4 2 4

4 x ?1 ? 3? x y
B D
-1

y
A

(2)当 x=1 时, y 有最大值 1 (3)只要 BE+AE 最小,四边形 BEFA 的周长就最小 作 AA/∥x 轴,使 AA/=1

C

M

x

y A'
A

30

B B' E F

x

作点 B 关于 x 轴的对称点 B/,连接 A/ B/ 交 x 轴于点 E,E 点即为所求 ∵AA/过点(0,-1)和(2,4)解析式为 y ?
2 ∴E( ,0) 5
5 x ?1 2

统计与概率领域
18.考察基本概念,密切联系学生生活实际
例 30.下列调查中,适宜采用全面调查(普查)方式的是( A.调查市场上老酸奶的质量情况 B.调查某品牌圆珠笔芯的使用寿命 C.调查乘坐飞机的旅客是否携带了危禁物品 D.调查我市市民对伦敦奥运会吉祥物的知晓率 )

19.考察识图能力,突显现代公民应有的素养
例 31. (2012?嘉兴)小敏为了解本市的空气质量情况,从环境监测 网随机抽取了若干天的空气质量情况作为样本进行统计, 绘制了如图 所示的条形统计图和扇形统计图(部分信息未给出) .

请你根据图中提供的信息,解答下列问题: (1)计算被抽取的天数;

31

(2)请补全条形统计图,并求扇形统计图中表示优的扇形的圆心角 度数; (3)请估计该市这一年(365 天)达到优和良的总天数.

20.完整的统计活动中突显统计思想和统计决策的意义
例 32. (本题满分 8 分)去年 4 月,我市开展了“北海历史文化进课堂”的活动, 北海某校政教处就同学们对北海历史文化的了解程度进行随机抽样调查, 并 绘制成了如下两幅不完整的统计图。
不了解 10% 很了解 10%

了 解 很 少

基本了 解 30%

25 20 15 10 5 0

人数/人

不了解

了解很少

基本了解

了解 很了解 程度

第 22 题图 根据统计图中的信息,解答下列问题: ( 1 )本次调查的样本容量是 ________ ___ ,调查中“了解很少”的学生占 ___________%; (2)补全条形统计图; (3)若全校共有学生 900 人,那么该校约有多少名学生“很了解”北海的历史 文化? (4)通过以上数据的分析,请你从爱家乡、爱北海的角度提出自己的观点和建 议。
【答案】 (1)50 50 (2)正确作出图形。 (见下图) (4)不了解和很少了解的约占 60﹪,说明同学们对北海历史文化关注不够,建议加强有关 北海历史文化的教育,多种形式的开展有关活动(只要说得有理就给分)

【点评】此题的最大的特点就是用数据说话,通过调查获得数据, 根据样本估计总体的思想, 学生可以掌握全学校学生对北海历
32

史的了解情况, 依托数据给出有力的建议, 这就是统计在决策 中的重要作用。

21.运用统计数据解决实际问题,考察学生对不确定性思想 的理解和应用能力
例 33.小明参加班长竞选,需进行演讲答辩与民主测评,民主测评时 一人一票,按“优秀、良好、一般”三选一投票.如图是 7 位评 委对小明“演讲答辩”的评分统计图及全班 50 位同学民主测评 票数统计图.

(1)求评委给小明演讲答辩分数的众数,以及民主测评为“良 好”票数的扇形圆心角度数; (2)求小明的综合得分是多少? (3)在竞选中,小亮的民主测评得分为 82 分,如果他的综合得分 不小于小明的综合得分,他的演讲答辩得分至少要多少分?
【解答】 :(1)小明演讲答辩分数的众数是 94 分, 民主测评为“良好”票数的扇形的圆心角度数是:(1-10%-70%)× 360° =72° . (2)演讲答辩分:(95+94+92+90+94)÷ 5=93,
33

民主测评分:50× 70%× 2+50× 20%× 1=80, 所以,小明的综合得分:93× 0.4+80× 0.6=85.2. (3)设小亮的演讲答辩得分为 x 分,根据题意,得: 82× 0.6+0.4x≥85.2, 解得:x≥90. 答:小亮的演讲答辩得分至少要 90 分.

【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用.读懂统计图,从统计 图中得到必要的信息是解决问题的关键. 条形统计图能清楚地表示出 每个评分的数据.

22.概率试题简洁明了、考察概率思想
例 34. 小勇第一次抛一枚质地均匀的硬币时正面向上,他第二次再抛 这枚硬币时,正面向上的概率是 . 【点评】 此题的最大特点是简洁, 且其中蕴含着深刻的概率意义内涵。 例 35. 掷两枚普通正六面体骰子,所得点数之和为 11 的概率为 ( ) A. B. C. D.

【点评】 此题考察了学生对等可能事件概率公式的理解, 只有放上 “等 可能”这一核心条件才能利用公式求解。

23.几何概型转化为古典概型求解
例 36.(1)如图,一个正六边形转盘被分成 6 个全等的正三角形,任 意旋转这个转盘 1 次,当旋转停止时, 指针指向阴影区域的概率是( A. C. B. D. )

34

(2)向如图所示的正三角形区域扔沙包(区域中每一个小正三角形
除颜色外完全相同),假设沙包击中每一个小三角形是等可能的, 扔沙包 1 次击中阴影区域的概率等于【 1 A. 6 3 C. 8 1 B. 4 5 D. 8 】

(3)如图,在一长方形内有对角线长分别为 2 和 3 的菱形,边长为 1 的正六
边形和半径为 1 的圆,则一点随机落在这三个图形内的概率较大的是( A.落在菱形内 C. 落在正六边形内 B.落在圆内 D.一样大 )

24.通过实验调查,考察频率与概率的关系
例 37.一个不透明的盒子里有 n 个除颜色外其他完全相同的小球,其中有 6 个
黄球,每次摸球前先将盒子里的球摇匀,任意摸出一个球记下颜色后放回盒子, 通过大量重复摸球实验后发现,摸到黄球的频率稳定在 30%,那么可以推算出 n 大约是 (A) 6 (B) ( ) 10 (C)18 (D)20

例 38. (2012?衢州)据衢州市 2011 年国民经济和社会发展统计公报显示,2011 年衢州市新开工的住房有商品房、 廉租房、 经济适用房和公共租赁房四种类型. 老 王对这四种新开工的住房套数和比例进行了统计, 并将统计结果绘制成下面两幅 统计图,请你结合图中所给信息解答下列问题: (1)求经济适用房的套数,并补全频数分布直方图;

35

(2)假如申请购买经济适用房的对象中共有 950 人符号购买条件,老王是其中 之一. 由于购买人数超过房子套数,购买者必须通过电脑摇号产生.如果对 2011 年新开工的经济适用房进行电脑摇号,那么老王被摇中的概率是多少? (3) 如果 2012 年新开工廉租房建设的套数比 2011 年增长 10%, 那么 2012 年新 开工廉租房有多少套?

【解答】 (1)如图所示: 1500÷24%=6250, 6250×7.6%=475, 所以经济适用房的套数有 475 套; (2)老王被摇中的概率为: = ;

(3)2011 年廉租房共有 6250×8%=500 套, 500(1+10%)=550 套, 所以 2012 年,新开工廉租房 550 套.

【点评】此题的特点是进口频率和概率关系的主题。通过调查或的频 率,用频率值估计概率的估计值。此题主要考查了扇形图与条形图的 综合应用,根据已知得出新开工的住房总数是解题关键.

25.树状图,列举法、列表法依然是古典概型求解的常青树
例 39. (2012?聊城)我市初中毕业男生体育测试项目有四项,其中 “立定跳远”“1000 米跑”“肺活量测试”为必测项目, 另一项“引
36

体向上”或“推铅球”中选一项测试.小亮、小明和大刚从“引体向 上”或“推铅球”中选择同一个测试项目的概率是 ________. ( ) 【点评】此题的特点在于用树状图解决是最好的办法。 例 40. (2012 贵州遵义 10 分)如图,4 张背面完全相同的纸牌(用 ①、②、③、④表示) ,在纸牌的正面分别写有四个不同的条件,小 明将这 4 张纸牌背面朝上洗匀后,先随机摸出一张(不放回) ,再随 机摸出一张. (1)用树状图(或列表法)表示两次摸牌出现的所有可能结果; (2)以两次摸出牌上的结果为条件,求能判断四边形 ABCD 是平行四 边形的概率
1 4

【答案】解: (1)画树状图得:

∴共有 12 种等可能的结果。 (2)∵能判断四边形 ABCD 是平行四边形的有:①②, ①③,②①,②④,③①,③④,④②,④③共 8 种情况, ∴能判断四边形 ABCD 是平行四边形的概率为:
8 2 = 。 12 3

37

26、 《课标》的变化也会对中考试题产生重大影响
数与代数领域里: 1、删除有效数字的要求; 2、一元一次不等式组的应用; 3、用一次函数图像求二元一次方程组的解的近似值; 4、有理数的运算要求在散步以内; 5、开平方要求百以内的平方根和立方根‘ 空间与图形领域 1、删除等腰三角形的相关知识; 2、圆与圆的位置关系;

统计与概率 1、删去极差的概念; 2、删去频数折线图;

38


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