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直线与圆锥曲线解答题


评卷人

得分

一、选择题(题型注释)

评卷人

得分

二、填空题(题型注释)

评卷人

得分

三、解答题(题型注释)

1.已知椭圆具有性质:若 M、N 是椭圆 C 上关于原点对称的两个点

, P 是椭圆上任意一 点,则当直线 PM , PN 的斜率都存在时,其乘积恒为定值。类比椭圆,写出双曲线

C ':

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的类似性质,并加以证明。 a 2 b2

答案:

1. 略 2.已知抛物线方程为 y 2 = 2 px (p > 0) ,直线 l:x + y = m 过抛物线的焦点且被抛物线截得的 弦长为 3,求 p 的值。

答案:
p ?p ? 2.解:由直线 l 过抛物线的焦点 F ? ,? ,得直线 l 的方程为 x ? y ? . 0 2 ?2 ?
p ? ?x ? y ? , 由? 2 消去,得 y2 + 2 py - p2 = 0 . ? y 2 ? 2 px, ?
2 2 2 由题意得 D = (2 p) + 4 p > 0,y1 + y2 = - 2 p,y1 y2 = - p .





线







线





A x1 , y1 ), B(x2 , y2 ) (



AB ? x1 ? x2 ? p ?

3 p p ? y1 ? ? y2 ? p ? 2 p ? ( y1 ? y2 ) ? 4 p .,∴ 解得 p ? . 2 2 4

略 3.已知圆 M : x ? y ? 2x ? 4 y ? 3 ? 0 ,若圆 M 的切线过点(0,1),求此切线的方程.
2 2

答案:

3.解:依题意,圆 M 的圆心为(-1,2),半径为 2 --------3’ 设所求切线方程为 y=kx+1 或 x=0-----------5’ 当 x=0 时,不合题意舍去---------6‘ 当 y=kx+1 时 , 由

| 2 ? k ?1| 1? k
2

? 2 - - - - - -8'

即k 2 ? 2k ? 1 ? 0 即k ? 1 ? ? ? ? ? ?9'

所以所求切线方程为 y=x+1---------------10’ (附:直接看出(0,1)为切点的类似给分) 略 4.已知圆 C : x ? y ? 5m (m ? 0) ,直线 l 过点 M(-m,0)且与圆 C 相交于 A, B
2 2 2

两点. (Ⅰ)如果直线 l 的斜率为 1 ,且 | AB |? 6 ,求 m 的值; (Ⅱ)设直线 l 与 y 轴交于点 P ,如果 | PA |? 2 | PM | ,求直线 l 的斜率.

??? ?

???? ?

答案:
4.(I)解:由已知,直线 l 的方程为 y ? x ? m ,圆心(0,0)到 l 直线的为 因为|AB|=6,所以 5m ? (
2

|m| . 2

|m| 2 ) ? 9 ,解得 m2 ? 2 .由 m ? 0 ,得 m ? 2 . 2

(II) 解 : 设 A( x1 , y1 ) , 直 线 l : y ? k ( x ? m) , 则 点 P(0, km ). 因 为

? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ???? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? | P A ? 2 |P M |, 所 以 P A 2 P 或 PA ? ?2PM , 当 P A 2 P 时 , | ? M ? M

( x1 , y1 ? km) ? 2(?m, ?km) ,所以 x1 ? ?2m , y1 ? ?km .

? x12 ? y12 ? 5m2 ? 由方程组 ? x1 ? ?2m 得 k ? ?1 . ? y ? ?km ? 1 ??? ? ???? ? 当 PA ? ?2PM 时, ( x1 , y1 ? km) ? ?2(?m, ?km) ,所以 x1 ? 2m , y1 ? 3km . ? x12 ? y12 ? 5m2 1 ? 由方程组 ? x1 ? 2m 得k ? ? . 3 ? y ? 3km ? 1
综上,直线 l 的斜率为±1, ? .

1 3


2

5.(12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C1 : 2 x

? y2 ? 1 .

(1)过 C1 的左顶点引 C1 的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及 x 轴围成的 三角形的面积; (2)设斜率为 1 的直线 l 交 C1 于 P、Q 两点,若 l 与圆 x ? y ? 1相切,
2 2

求证:OP⊥OQ; (3)设椭圆 C2

: 4 x 2 ? y 2 ? 1 . 若 M、N 分别是 C1 、 C2 上的动点,且 OM⊥ON,

求证:O 到直线 MN 的距离是定值.

答案:
5. (1)双曲线 C1 :
x2
1 2

? y 2 ? 1 ,左顶点 A(?

2 2

, 0) ,渐近线方程: y ? ? 2 x . 1 分

过点 A 与渐近线 y ?

2 x 平行的直线方程为

y ? 2 (x ?

2 2

) ,即 y ? 2 x ? 1 . 2 分
2 4

?x ? ? ?y ? ? 2 x ? 解方程组 ? ,得 ? ?y ? 1 ?y ? 2 x ?1 2 ?
所求三角形的面积为 S

3分

? 1 | OA || y |? 2

2 8

4分

(2)设直线 PQ 的方程是 y ? x ? b . 因直线与已知圆相切, 故 由?
|b | 2

? 1 ,即 b2 ? 2

5分

? y ? x?b ,得 x 2 ? 2bx ? b2 ? 1 ? 0 . 6 分 2 2 ?2 x ? y ? 1

设 P(x1, y1)、Q(x2, y2),则 ?

? x1 ? x2 ? 2b . 2 ? x1 x2 ? ?b ? 1

又 y1 y2 ? ( x1 ? b)( x2 ? b) ,所以

OP ? OQ ? x1 x2 ? y1 y2 ? 2 x1 x2 ? b( x1 ? x2 ) ? b 2

? 2(?b2 ? 1) ? b ? 2b ? b2 ? b2 ? 2 ? 0 , 故 OP⊥OQ 8 分
(3)当直线 ON 垂直于 x 轴时, |ON|=1,|OM|=
2 2

,则 O 到直线 MN 的距离为
2 2

3 3

. 9分

当直线 ON 不垂直于 x 轴时, 设直线 ON 的方程为 y ? kx (显然 | k |? 为 y ? ? 1 x. k

),则直线 OM 的方程

?x ? ? ? y ? kx 由? 2 ,得 ? 2 2 ?y ? ?4 x ? y ? 1 ?
2

1 4? k 2 k2 4? k 2

,
1? k 2 2 k 2 ?1

所以 | ON |2 ?

1? k 2 4? k 2

. 同理 | OM |2 ?

10 分

设 O 到直线 MN 的距离为 d,因为
(| OM |2 ? | ON |2 )d 2 ?| OM |2 | ON |2 , 11 分
1 所以 d 2 ? 1 |OM | 2 1 ? |ON | 2 ? 3k 2 ? 3 k 2 ?1

? 3 ,即 d=

3 3

.

综上,O 到直线 MN 的距离是定值。 12 分 6.给定抛物线 c∶y2 =4x,F是 c 的焦点,过点F的直线 l 与 c 相交于A,B两点. ( 1 ) 设 (2)设 = l 的 斜 率 为 1 , 求 与 夹 角 的 余 弦 值 ;

,若 λ∈[4,9],求 l 在 y 轴上的截距的取值范围.

答案:
6.解: (1)C的焦点为F(1,0),直线 l 的斜率为1,所以 l 的方程为 y=x-1. 将 整 y = 理 x - 得 1 x2 代 - 入 方 6x 程 + y2 1 = 4x = , 0.

设 A (x1 , y1) , B (x2 , y2) , 则 有

x1 + x2 = 6 , x1x2 = 1.

. 所 以 ( 2 ) 由 题 设 与 的 夹 角 的 余 弦 值 为 -3 / √ 41

得 (x2 - 1 , y2) = λ(1 - x1 , - y1) ,

即 由 ∴ 联 立 ① , 、 ③ 解 得 x2 = λ , 依 题 意 有 λ > ② 得 ③ 0.

∴ B(λ,

),或 B(λ,-

),又 F(1,0),得直线 l 方程为(λ-1)y=

(x



1)







1)y





(x



1)



当 λ∈[4,9]时,l 在方程 y 轴上的截距为

或-

,把

看作函

数,设 g(λ)=

,λ∈[4,9],

,可知 g(λ)

= 数

在[4,9]上是递减的(或用导数 g′(λ)=-

<0,证明 g(λ)是减函 ).

∴ 即 直 线 l 在 y 轴 上 截 距 的 变 化 范 围

, 为

.

略 7.已知圆 C 的方程为 x ? ( y ? 4) ? 4 ,点 O 是坐标原点.直线 l : y ? kx 与圆 C 交于 M 、
2 2

N 两点.
(Ⅰ)求 k 的取值范围; (Ⅱ)设 Q(m, n) 是线段 MN 上的点,且 数.

2 1 1 .请将 n 表示为 m 的函 ? ? 2 2 | OQ | | OM | | ON |2

答案:
7.

略 8.已知点 P 是直角坐标平面内的动点,点 P 到直线 l1:x ? ?2 的距离为 d1 ,到点 F (?1 0) , 的距离为 d 2 ,且

d2 2 .(1)求动点 P 所在曲线 C 的方程;(2)直线 l 过点 F 且与曲线 C ? d1 2

交于不同两点 A、B(点 A 或 B 不在 x 轴上),分别过 A、B 点作直线 l1 : x ? ?2 的垂线,对应 的垂足分别为 M 、N ,试判断点 F 与以线段 MN 为直径的圆的位置关系(指在圆内、圆 上、圆外等情况);(3)记 S1 ? S ?FAM , S 2 ? S ?FMN , S3 ? S ?FBN (A、B、 M 、N 是(2)中的 点),问是否存在实数 ? ,使 S 2 ? ? S1S3 成立.若存在,求出 ? 的值;若不存在,请说明
2

理由.

a2 (理)若上述问题中直线 l1 : x ? ? 、点 F (?c, 、曲线 C: 0) c
2 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0,c ? a 2 ? b 2 ) ,则使等式 S 2 ? ? S1S3 成立的 ? 的值仍保持不变.请给 2 a b

出你的判断 证明).

(填写“不正确”或“正确”)(限于时间,这里不需要举反例,或

进一步思考问题:若上述问题中直线 l1 : x ? ?

a2 、点 F (?c, 、曲线 C: 0) c

2 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0,c ? a 2 ? b 2 ) ,则使等式 S 2 ? ? S1S3 成立的 ? 的值仍保持不变.请给 2 a b

出你的判断

(填写“不正确”或“正确”)(限于时间,这里不需要举反例,或证明).

答案:
8. (1) 设动点为 P( x,y ) ,依据题意,有

( x ? 1) 2 ? y 2 2 x2 ? ? y2 ? 1. ,化简得 | x?2| 2 2
因此,动点 P 所在曲线 C 的方程是:

x2 ? y2 ? 1. 2

(2) 点 F 在以 MN 为直径的圆的外部. 理由:由题意可知,当过点 F 的直线 l 的斜率为 0 时,不合题意,故可设直线 l :
? x2 2 x ? my ? 1 ,如图所示.联立方程组 ? 2 ? y ? 1 ,可化为 (2 ? m2 ) y 2 ? 2my ? 1 ? 0 , ? ? x ? my ? 1 ?
2m ? ? y1 ? y2 ? 2 ? m 2 . ? 则点 A( x1,y1 )、B( x2,y2 ) 的坐标满足 ? ?y y ? ? 1 ? 1 2 2 ? m2 ?

又 AM ? l1 、 BN ? l1 ,可得点 M (?2,y1 ) 、 N (?2,y2 ) . 点与圆的位置关系,可以比较点到圆心的距离与半径的大小来判断,也可以计算点与直径

形成的张角是锐角、直角、钝角来加以判断.

9.12 分)已知椭圆 C : 为

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的右焦点为 F (c ,0) ,上顶点为 B,离心率 a 2 b2

1 2 2 2 ,圆 F : ( x ? c) ? y ? a 与 x 轴交于 E 、D 两点. 2
(Ⅰ)求

BD BE

的值;

(Ⅱ)若 c ? 1 ,过点 B 与圆 F 相切的直线 l 与 C 的另一交点为 A ,求 △ABD 的面积.

答案:
9.解:(Ⅰ)由题意, B(0 , b) , E (c ? a , 0) , D(c ? a , 0) ,∵ e ? 得 a ? 2c , b ?

1 2

3c ,则 B (0 , 3c) , E (?c , 0) , D(3c , 0)
,

得 BD ? 2 3c , BE ? 2c 则

BD BE

? 3 ………(4 分)

x2 y 2 ? ? 1 , F : ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 ,得 B(0, 3) 在圆 F 上, (Ⅱ)当 c ? 1 时, C : 4 3
直线 l ? BF ,则设 l : y ?

3 x? 3 3

? x2 y2 ?1 ? ? 24 5 3 16 3 ?4 3 由? 得 A(? , ) , AB ? 13 13 13 ?y ? 3 x ? 3 ? 3 ?
又点 D(3,0) 到直线 l 的距离 d ? 得 ?ABD 的面积 S ? 略

3?0?3 2

? 3,

1 16 3 24 3 1 …………(12 分) ?3 ? AB ? d ? ? 2 13 13 2

10.如图,双曲线

x2 ? y 2 ? 1 与抛物线 x 2 ? 3( y ? m) 相交于 3

A( x1 , y1 ), B(? x1 , y1 ), C (? x2 , y2 ) D( x2 , y2 ), ( x1 ? 0, x2 ? 0) ,直线 AC、BD 的交点为 P
(0,p)。

(I)试用 m 表示 x1 x2 ; (II)当 m 变化时,求 p 的取值范围。

答案:
2 10.(Ⅰ)x1x2= 3( y1 ? m) · 3( y2 ? m) = 3 y1 y2 ? m( y1 ? y2 ) ? m = 3 1 ? m .
2

(Ⅱ)p 的取值范围是 (0, ) . (Ⅰ)依题意,A、B、C、D 四点坐标是下面方程组的解:

1 2

? x2 2 ? ? y ?1 ?3 ? x 2 ? 3( y ? m) ?
消去 x,得 y -y+1-m=0, 由 Δ =1-4(1-m)>0,得 m> 且 y1+y2=1,y1y2=1-m.
2

2分

3 , 4

2 x1x2= 3( y1 ? m) · 3( y2 ? m) = 3 y1 y2 ? m( y1 ? y2 ) ? m = 3 1 ? m .
2

6分

(Ⅱ)由向量 PA =(x1,y1-p)与 PC =(-x2,y2-p)共线, 得 x1(y2-p)+x2(y1-p)=0,

??? ?

??? ?

∴p=

x1 y2 ? x2 y1 ? x1 ? x2
2

x1 (

x2 2 x2 ? m) ? x2 ( 1 ? m) xx 3 3 ? 1 2 ?m x1 ? x2 3

9分

= 1? m ? m ?

1 1 ? m2 ? m



∵m>

3 1 ,∴0<p< , 4 2 1 2
12 分

故 p 的取值范围是 (0, ) .

11.如图,已知点 F(0,1),直线 m:y=﹣1,P 为平面上的动点,过点 P 作 m 的垂线, 垂足为点 Q,且 .

(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)(理)过轨迹 C 的准线与 y 轴的交点 M 作直线 m′与轨迹 C 交于不同两点 A、B,且 线段 AB 的垂直平分线与 y 轴的交点为 D(0,y0),求 y0 的取值范围; (3)(理)对于(2)中的点 A、B,在 y 轴上是否存在一点 D,使得△ABD 为等边三角 形?若存在,求出点 D 的坐标;若不存在,请说明理由.

答案:
11. 考 直线与圆锥曲线的综合问题;圆锥曲线的轨迹问题. 点: 专 圆锥曲线中的最值与范围问题. 题: 分 (1)设 P(x,y),由题意得 Q(x,﹣1),即可得到 , , ,

,利用向量的数量积运算即可得

析:轨迹 C 的方程;

(2)利用(1)的轨迹方程即可得到准线方程及点 M 的坐标,设直线 m'的方程为 y=kx﹣1(k≠0),与抛物 立得到根与系数的关系,利用中点坐标和垂直平分线的性质即可得到线段 AB 的垂直平分线的方程即可; (3)利用(2)的结论,点到直线的距离公式及等边三角形的判定即可得出. 解 解:(1)设 P(x,y),由题意,Q(x,﹣1), 答: 由
2






2



,得 2(y+1)=x ﹣2(y﹣1),
2

化简得 x =4y.所以,动点 P 的轨迹 C 的方程为 x =4y. (2)轨迹 C 为抛物线,准线方程为 y=﹣1, 即直线 m,∴M(0,﹣1), 设直线 m'的方程为 y=kx﹣1(k≠0),由 由△=16k ﹣16>0,得 k >1. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=4k, 所以线段 AB 的中点为(2k,2k ﹣1), 所以线段 AB 垂直平分线的方程为(x﹣2k)+k[y﹣(2k ﹣1)]=0, 令 x=0,得
2 2 2 2 2

得 x ﹣4kx+4=0,

2



因为 k >1,所以 y0∈(3,+∞). (3)由(2),x1+x2=4k,x1x2=4, ∴ = = = .

假设存在点 D(0,y0),使得△ABD 为等边三角形, 则 D 到直线 AB 的距离
2



因为 D(0,2k +1),所以



所以 所以,存在点

,解得



,使得△ABD 为等边三角形.

点 本题主要考查抛物线的方程与性质、向量的数量积、准线与抛物线相交问题转化为方程联立得到根与系数的

评:长公式、等边三角形的定义、点到直线的距离公式、线段的垂直平分线及对称等基础知识,考查运算能力、 以及分析问题、解决问题的能力.

12.已知点 A(1,0),P1、P2、P3 是平面直角坐标系上的三点,且|AP1|、|AP2|、|AP3|成等 差数列,公差为 d,d≠0. (1)若 P1 坐标为(1,﹣1),d=2,点 P3 在直线 3x﹣y﹣18=0 上时,求点 P3 的坐标; (2)已知圆 C 的方程是(x﹣3) +(y﹣3) =r (r>0),过点 A 的直线交圆于 P1、P3 两 点,P2 是圆 C 上另外一点,求实数 d 的取值范围; (3)若 P1、P2、P3 都在抛物线 y =4x 上,点 P2 的横坐标为 3,求证:线段 P1P3 的垂直平 分线与 x 轴的交点为一定点,并求该定点的坐标.
2 2 2 2

答案:
12. 考 点: 专 题: 分 (1)利用 P1 坐标为(1,﹣1),d=2,求出|AP3|,利用点 P3 在直线 3x﹣y﹣18=0 计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 直线与圆锥曲线的关系;等差数列的通项公式;直线与圆的位置关系.

析: 上,解方程组即可求点 P3 的坐标; (2)求出圆 C 的方程是(x﹣3) +(y﹣3) =r (r>0),的圆心与半径,求出点 A 与圆的圆心的距离,通过 A 在圆内与圆外,分别求实数 d 的取值范围; (3)利用 P1、P2、P3 都在抛物线 y =4x 上,抛物线的定义,求出线段 P1P3 的斜 率,求出直线方程,通过 y=0,推出直线与 x 轴的交点为一定点,即可求该定点的坐 标. 解 解(1)因为|AP1|、|AP2|、|AP3|成等差数列,且|AP1|=1,d=2,所以|AP3|=5,
2 2 2 2

答: 设 P3(x,y) 则 ,消去 y,得 x ﹣11x+30=0,…(2 分)
2

解得 x1=5,x2=6,所以 P3 的坐标为(5,﹣3)或(6,0) (2)由题意可知点 A 到圆心的距离为 分) (ⅰ)当 时,点 A(1,0)在圆上或圆外,|2d|=||AP3|﹣|AP1||=|P1P3|, …(6

又已知 d≠0,0≤|P1P3|≤2r,所以﹣r≤d<0 或 0<d≤r (ⅱ)当 时,点 A(1,0)在圆内,所以

, 又已知 d≠0, 结论:当 ,即 时,﹣r≤d<0 或 0<d≤r;当 或 时, 或

(3)因为抛物线方程为 y =4x,所以 A(1,0)是它的焦点坐标, 点 P2 的横坐标为 3,即|AP2|=4 设 P1(x1,y1),P3(x3,y3),则|AP1|=x1+1,|AP3|=x3+1,|AP1|+|AP3|=2|AP2|, 所以 x1+x3=2x2=6 直线 P1P3 的斜率 ,则线段 P1P3 的垂直平分线 l 的斜率

2

则线段 P1P3 的垂直平分线 l 的方程为 直线 l 与 x 轴的交点为定点(5,0) 点 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆的位置关系的综合应用,直线系方

评: 程的应用,考查分析问题解决问题的能力,转化思想的应用与计算能力的考查.

13. 已知直线 y=kx-2 交抛物线 y =8x 于 A、B 两点,且 AB 的中点的横坐标为 2,求弦 AB 的 长.
2

答案:
13. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 由

?y ? k x ? 2 ? 2 ? y ? 8x

得 k x -(4k+8)x+4=0①

2 2

∵k≠0,∴x1+x2=

4k ? 8 , k2

又∵x1+x2=4,∴

4k ? 8 =4,解得 k=-1 或 k=2, k2

当 k=-1 时,①中 Δ =0,直线与抛物线相切. 当 k=2 时,x1+x2=4,x1x2=1,

2 |AB|= 1 ? 4 ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 = 5 16 ? 4 = 2 15 ,

∴弦 AB 的长为 2 15 .

14. 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y=x 2 -6x+1 与坐标轴的交点都在圆 C 上. (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)试判断是否存在斜率为 1 的直线,使其与圆 C 交于 A, B 两点,且 OA⊥OB,若存在, 求出该直线方程,若不存在,请说明理由.

答案:
14.

15.已知两圆 C1:x +y ﹣2x=0,C2:(x+1) +y =4 的圆心分别为 C1,C2,P 为一个动 点,且|PC1|+|PC2|=2 .

2

2

2

2

(1)求动点 P 的轨迹 M 的方程; (2)是否存在过点 A(2,0)的直线 l 与轨迹 M 交于不同的两点 C、D,使得 |C1C|=|C1D|?若存在,求直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.

答案:
15. 考 点: 专 题: 分 (1)写出两圆的圆心坐标,根据∵|PC1|+|PC2|=2 >2=|C1C2|可知动点 P 的轨迹是 存在型;圆锥曲线的定义、性质与方程. 直线与圆锥曲线的关系;圆与圆的位置关系及其判定.

析: 以 C1 和 C2 为焦点、长轴长为 2a= 程;

的椭圆,从而易求椭圆方程即所求轨迹方

(2)当斜率不存在时容易判断,当存在斜率时,设直线 l 的方程为 y=k(x﹣2), 联立直线 l 方程与椭圆方程消掉 y 得 x 的二次方程,则有△>0,设交点 C(x1, y1),D(x2,y2),CD 的中点为 N(x0,y0),求出二次方程的两解,从而可得线 段 CD 中点 N 的横坐标,代入直线方程可得纵坐标,要使|C1C|=|C1D|,必须有 C1N ⊥l,即 k 解 =﹣1,解出方程的解 k,再检验是否满足△>0 即可;

解:(1)两圆的圆心坐标分别为 C1(1,0),C2(﹣1,0), >2=|C1C2|,

答: ∵|PC1|+|PC2|=2

∴根据椭圆的定义可知,动点 P 的轨迹为以原点为中心,C1(1,0)和 C2(﹣1, 0)为焦点,长轴长为 2a= 所以 a= ,c=1,b= 的椭圆, = =1, ;

∴椭圆的方程为

,即动点 P 的轨迹 M 的方程为

(2)假设存在这样的直线 l 满足条件, 当直线 l 的斜率不存在时,易知点 A(2,0)在椭圆 M 的外部,直线 l 与椭圆 M 无 交点,所以直线 l 不存在. 当直线 l 斜率存在时,设斜率为 k,则直线 l 的方程为 y=k(x﹣2),
2 2 2 2

由方程组

得(2k +1)x ﹣8k x+8k ﹣2=0①,

依题意△=(﹣8k ) ﹣4(2k +1)(8k ﹣2)>0,即﹣2k +1>0,解得﹣ , 当﹣ y0), 方程①的解为 , ,则 = , <k<

2

2

2

2

2

<k<

时,设交点 C(x1,y1),D(x2,y2),CD 的中点为 N(x0,

∴y0=k(x0﹣2)=k(

﹣2)=

, =﹣1,

要使|C1C|=|C1D|,必须有 C1N⊥l,即 k

∴k

=﹣1,化简得 0=﹣1,显然不成立;

所以不存在直线 l,使得|C1C|=|C1D|, 综上所述,不存在直线 l,使得|C1C|=|C1D|; 点 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、圆的方程,考查存在性问题,存在性问题往

评: 往先假设存在,然后以此为条件进行推理论证,检验是否矛盾.

16.(本小题共 13 分) 设 l 为曲线 C : y ?

ln x 在点 (1, 0) 处的切线。 x

(Ⅰ)求 l 的方程; (Ⅱ)证明:除切点 (1, 0) 之外,曲线 C 在直线 l 的下方。

答案:
16.

17.(本小题满分 12 分)

已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ?的左、右焦点分别为F1,F2, 离心率为 3, 直线 a 2 b2 y ? 2与C的两个交点间的距离为 6. (I)求 a, b; ;

(II) 设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点,且
AF1 ? BF1 , 证明: AF2 、 、 2 成等比数列. AB BF

答案:
17.

18.(本小题满分 12 分)

已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ?的左、右焦点分别为F1,F2, 离心率为 3, 直线 a 2 b2 y ? 2与C的两个交点间的距离为 6. (I)求 a, b; ;

(II) 设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点,且
AF1 ? BF1 , 证明: AF2 、 、 2 成等比数列. AB BF

答案:
18.

2 x2 y ? 1 a ? 19. 已 知 椭 圆 C : 2 ? 3 a

?

1 0 的 右 焦 点 F 在 圆 D :x ? 2 ? ? y 2 ? 1 上 , 直 线 ?
2

?

l : ? my ? 3? m ? 0 ? 交椭圆于 M , 两点. x N
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设点 N 关于 x 轴的对称点为 N1 ,且直线 N1M 与 x 轴交于点 P ,试问 ?PMN 的面积 是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.

答案:
0 19.解:(Ⅰ)由题设知,圆 D :x ? 2 ? ? y 2 ? 1 的圆心坐标是 ? 2 , ? ,半径是 1 , ?
2

0 0 故圆 D 与 x 轴交与两点 ? 3 , ? , ?1, ? .-------------------------1分
所以,在椭圆中 c ? 3 或 c ? 1 ,又 b2 ? 3 , 所以, a 2 ? 12 或 a 2 ? 4 (舍去,因为 a ? 10 ) .--------------------- 3分 于是,椭圆 C 的方程为 x ?
2

12

y2 ? 1 .--------------------------4 分 3

y ? (Ⅱ)因为 M ? x1 ,1 ? 、 N ? x2 , y2 ?

? x2 y 2 ? ? ?1 ? 联立方程 ? 12 3 ? x ? my ? 3 ?

?m

2

? 4 y 2 ? 6my ? 3 ? 0 ,

?

所以 y1 ? y2 ? ? 6m , y1 y2 ? ? 23 .------------------7 分 m2 ? 4 m ?4 因为直线 N1M 的方程为

y ? y1 x ? x1 ,令 y ? 0 , ? ? y2 ? y1 x2 ? x1

略 20. (本小题满分 14 分) 已知两点 F1(-1,0)及 F2(1,0),点 P 在以 F1、F2 为焦点的椭圆 C 上,且|PF1|、 |F1F2|、|PF2|构成等差数列. (1)求椭圆 C 的方程; (2)如图 7,动直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 有且仅有一个公共点,点 M,N 是直线 l 上 的两点,且 F1M⊥l,F2N⊥l.求四边形 F1MNF2 面积 S 的最大值.

答案:
20.解:(1)依题意,设椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. a 2 b2

F PF ? PF1 、 1 F 2 、 2 构成等差数列,

? 2a ? PF1 ? PF 2 ? 2 F1 F2 ? 4 , a ? 2 .
又? c ? 1,? b 2 ? 3 .

?椭圆 C 的方程为
y l M

x2 y 2 ? ? 1 . ……………………………………………………4 分 4 3

N F1 O F2 x

图7

(2) 将 直 线 l 的 方 程 y ? k x m 入 椭 圆 C 的 方 程 3x ? 4 y ? 12 中 , 得 ? 代
2 2

(4k 2 ? 3) x 2 ? 8kmx ? 4m 2 ? 12 ? 0 .

…………………………5 分
2 2 2 2

由直线 l 与椭圆 C 仅有一个公共点知, ? ? 64k m ? 4(4k ? 3)(4m ? 12) ? 0 , 化简得: m2 ? 4k 2 ? 3 . 设 d1 ? F1M ? …………………………7 分

?k ? m k 2 ?1

, d 2 ? F2 M ?

k ?m k 2 ?1



…………………………9 分 l H M

y

(法一)当 k ? 0 时,设直线 l 的倾斜角为 ? , 则 d1 ? d 2 ? MN ? tan ? ,

N O F2 x

? MN ?

d1 ? d 2 , k

F1

S?

2m 2m d 2 ? d22 1 d1 ? d 2 8 (d1 ? d 2 ) ? 1 ? 2 ? 2 ? ,………11 分 1 2 k 2k k ?1 m ? 3 ?1 m ? m 4

? m2 ? 4k 2 ? 3 , ? 当 k ? 0 时 , m ? 3 , m ?
S ? 2 3.

1 1 4 ? 3? ? 3 , m 3 3

当 k ? 0 时,四边形 F1MNF2 是矩形, S ? 2 3 . ……………………………13 分 所以四边形 F1MNF2 面积 S 的最大值为 2 3 . 略 21. 给定曲线族 2(2sinθ -cosθ +3)x -(8sinθ +cosθ +1)y=0,θ 为参数,求该曲线在直线
2

………………………………14 分

y=2x 上所截得的弦长的最大值.

答案:
21.8 5 8sinθ +cosθ +1 解:以 y=2x 代入曲线方程得 x=0,x= . 2sinθ -cosθ +3

? 8sinθ +cosθ +1 ? 5.故只要求|x|的最大值即可. ∴ 所求弦长 l=? ? ?2sinθ -cosθ +3?
由(2x-8)sinθ -(x+1)cosθ =1-3x.?(2x-8) +(x+1) ≥(1-3x) ,即 x +16x-16 ≤0. 24 7 解之得,-8≤x≤2.即|x|≤8(当 sinθ =± ,cosθ =? 时即可取得最大值).故得最大 25 25
2 2 2 2

弦长为 8 5 22.
1 x2 y 2 作斜率为 的直线 l 与椭圆 C : ? ? 1 交于 A, B 两点(如图所示),且 P(3 2 , 2 ) 3 36 4

在直线 l 的左上方. (1)证明:△ PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上; (2)若 ?APB ? 60? ,求△ PAB 的面积. y P O A x B

答案:
22.(1)设直线 l : y ? 将y?
1 x ? m , A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) . 3

1 x2 y 2 x ? m 代入 ? ? 1 中,化简整理得 3 36 4
2x 2 ? 6mx? 9m 2 ? 36 ? 0 .

于是有 x1 ? x 2 ? ?3m, x1 x 2 ?

y ? 2 y ? 2 9m 2 ? 36 , k PB ? 2 , k PA ? 1 . 则 2 x1 ? 3 2 x2 ? 3 2

k PA ? kPB ? ?
上式中,

y1 ? 2 x1 ? 3 2

?

y2 ? 2 x2 ? 3 2


( y1 ? 2)( x2 ? 3 2) ? ( y2 ? 2)( x1 ? 3 2) ( x1 ? 3 2)( x2 ? 3 2)

分子 ? ( x1 ? m ? 2 )(x 2 ? 3 2 ) ? ( x 2 ? m ? 2 )(x1 ? 3 2 )
? ? 2 x1 x 2 ? (m ? 2 2 )(x1 ? x 2 ) ? 6 2 (m ? 2 ) 3 2 9m 2 ? 36 ? ? (m ? 2 2 )(?3m) ? 6 2 (m ? 2 ) 3 2

1 3

1 3

? 3m 2 ? 12 ? 3m 2 ? 6 2m ? 6 2m ? 12 ? 0 ,

从而, k PA ? k PB ? 0 . 又 P 在直线 l 的左上方,因此, ?APB 的角平分线是平行于 y 轴的直线,所以△ PAB

的内切圆的圆心在直线 x ? 3 2 上. (2)若 ?APB ? 60? 时,结合(1)的结论可知 k PA ? 3 , k PB ? ? 3 . 直线 PA 的方程为: y ? 2 ? 3 ( x ? 3 2 ) ,代入
x2 y 2 ? ? 1 中,消去 y 得 36 4

14x 2 ? 9 6 (1 ? 3 3 ) x ? 18(13 ? 3 3 ) ? 0 .

它的两根分别是 x 1 和 3 2 ,所以 x1 ? 3 2 ?

18(13 ? 3 3 ) 3 2 (13 ? 3 3 ) ,即 x1 ? .所以 14 14
3 2 (3 3 ? 1) . 7

| PA |? 1 ? ( 3 ) 2 ? | x1 ? 3 2 |?

同理可求得 | PB |? 所以

3 2 (3 3 ? 1) . 7

1 S ?PAB ? ? | PA | ? | PB | ? sin 60? 2 1 3 2(3 3 ? 1) 3 2(3 3 ? 1) 3 ? ? ? ? 2 7 7 2 ? 117 3 . 49

23. 设 0<a<b,过两定点 A(a,0)和 B(b,0)分别引直线 l 和 m,使与抛物线 y =x 有四个不 同的交点,当这四点共圆时,求这种直线 l 与 m 的交点 P 的轨迹.
2

答案:
23.解:设 l : y=k1(x - a), m : y=k2(x - b).于是 l 、 m 可写为(k1x - y - k1a)(k2x - y -

k2b)=0.
? y =x, ∴ 交点满足? ?(k1x-y-k1a)(k2x-y-k2b)=0.
2

若四个交点共圆,则此圆可写为(k1x-y-k1a)(k2x-y-k2b)+?(y -x)=0. 此方程中 xy 项必为 0,故得 k1=-k2,设 k1=-k2=k≠0. 于是 l、m 方程分别为 y=k(x-a)与 y=-k(x-b). 消去 k,得 2x-(a+b)=0,(y≠0)即为所求轨迹方程.

2

24. 已知抛物线 y
2

= 2px 及定点 A(a, b), B( – a, 0) ,(ab ? 0, b

2

? 2pa).M 是

抛物线上的点, 设直线 AM, BM 与抛物线的另一交点分别为 M1, M2. 求证:当 M 点在抛物线上变动时(只要 M1, M2 存在且 M1 ? M2.)直线 M1M2 恒过一个定 点.并求出这个定点的坐标.
y
M2

M B

O
A
M1

x

答案:
2

24.解:设 M( ,m).M1( ,m1),M2( ,m2), 2p 2p 2p

m

m1

2

m2

2

则 A、M、M1 共线,得

b-m = m1-m

a- m1
2

m2 2p

2pa-m ,即 b-m= . m1+m

2

m2 2p 2 p
- 2pa-bm 2pa ∴ m1= ,同法得 m2= ; b-m m ∴ M1M2 所在直线方程为

y-m2 = m1-m2

2pa-m2 ,即(m1+m2)y=2px+m1m2.消去 m1,m2,得 2 2 m1-m2
2 2 2 2

2

2paby-bm y=2pbmx-2pm x+4p a -2pabm.⑴ 2pa 2pa 分别令 m=0,1 代入,得 x=a,y= ,以 x=a,y= 代入方程⑴知此式恒成立.

b

b

2pa 即 M1M2 过定点(a, )

b

25. 给定整数 n≥2,设 M0(x0,y0)是抛物线 y =nx-1 与直线 y=x 的一个交点. 试证明对任意 正整数 m,必存在整数 k≥2,使(x0,y0)为抛物线 y =kx-1 与直线 y=x 的一个交 点.
2

m

m

2

答案:
25.证明:因为 y =nx-1 与 y=x 的交点为 x0=y0= 2.?(5 分) 若(x0,y0)为抛物线 y =kx-1 与直线 y=x 的一个交点,则 k=x0+
2

n± n2-4
2

1 .显然有 x0+ =n≥

x0

m

m

2

m

1

m x0

.???(10

分) 记 km=x0+

m

1

m x0



2 1 1 2 2 由于 k1=n 是整数,k2=x0+ =(x0+ ) -2=n -2 也是整数, 2 x0 x0 且

km+1=km(x0+ )-km-1=nkm-km-1,(m≥2) x0 m
1

1

(13.1)

所以根据数学归纳法,通过(13.1)式可证明对于一切正整数 m,km=x0+

m x0

是正整数,且 km

≥2 现在对于任意正整数 m,取 k=x0+

m

1

m x0

,满足 k≥2,且使得 y =kx-1 与 y=x 的交点

2

为(x0,y0).??(20 分)

m

m

26. 4 在平面直角坐标系 xOy 中,给定三点 A(0, ),B(-1,0),C(1,0),点 P 到直线 BC 3 的距离是该点到直线 AB、AC 距离的等比中项. ⑴ 求点 P 的轨迹方程; ⑵ 若直线 L 经过? ABC 的内心(设为 D),且与 P 点轨迹恰好有 3 个公共点,求 L 的 斜率 k 的取值范围.

y
P B K -1 A 1 D C O 1

x

答案:
26.解:⑴ 设点 P 的坐标为(x,y),

AB 方程:

+ =1,? 4x-3y+4=0, -1 4

x 3y

① ② ③

BC 方程:y=0, AC 方程:4x+3y-4=0,
∴ 25|y| =|(4x-3y+4)(4x+3y-4)|,
2

? 25y +16x -(3y-4) =0,? 16x +16y +24y-16=0, ? 2x +2y +3y-2=0. 或 25y -16x +(3y-4) =0,? 16x -34y +24y-16=0, ? 8x -17y +12y-8=0. ∴ 所求轨迹为圆:2x +2y +3y-2=0, 或双曲线:8x -17y +12y-8=0. 但应去掉点(-1,0)与(1,0). 1 1 ⑵ ? ABC 的内心 D(0, ):经过 D 的直线为 x=0 或 y=kx+ . 2 2 (a) 直线 x=0 与圆④有两个交点,与双曲线⑤没有交点; 1 1 5 1 (b) k=0 时,直线 y= 与圆④切于点(0, ),与双曲线⑤交于(± 2, ),即 k=0 满 2 2 8 2 足要求. 1 (c) k=± 时,直线⑥与圆只有 1 个公共点,与双曲线⑤也至多有 1 个公共点,故舍 2 去. 1 2 2 (c) k ? 0 时,k ? 时,直线⑥与圆有 2 个公共点,以⑥代入⑤得:(8-17k )x - 2 25 5kx- =0. 4 2 34 2 2 2 2 当 8-17k =0 或(5k) -25(8-17k )=0,即得 k=± 与 k=± . 17 2 ⑥
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

2

2

④ ⑤

2 34 2 ∴ 所求 k 值的取值范围为{0,± ,± }. 17 2

27.(本小题满分 12 分)
已知定点 F(2,0)和定直线 l : x ? ?2 ,动圆 P 过定点 F 与定直线 l 相切,记动圆圆心 P 的轨 迹为曲线 C (1)求曲线 C 的方程. (2)若以 M(2,3)为圆心的圆与抛物线交于 A、B 不同两点,且线段 AB 是此圆的直径时, 求直线 AB 的方程

答案:
27.(1)由题意知,P 到 F 的距离等于 P 到 l 的距离,所以 P 的轨迹 C 是以 F 为焦点, l 为 准线的抛物线,它的方程为 y ? 8 x
2

5分

(2 设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 则 y12 ? 8 x1 , y2 2 ? 8 x2

?

y2 ? y1 8 ? x2 ? x1 y2 ? y1

由 AB 为圆 M ? 2,3 ? 的直径知, y2 ? y1 ? 6 故直线的斜率为

4 3

直线 AB 的方程为 y ? 3 ? 即 4x ? 3 y ?1 ? 0 略 28.

4 ? x ? 2? 3

在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C1:2x -y =1. (1)过 C1 的左顶点引 C1 的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及 x 轴围成 的三角形的面积; (2)设斜率为 1 的直线 l 交 C1 于 P、Q 两点.若 l 与圆 x +y =1 相切,求证:OP⊥
2 2

2

2

OQ;

答案:
2 ? ? 2 28.解:(1)双曲线 C1: -y =1,左顶点 A?- ,0?,渐近线方程:y=± 2x. 1 2 ? ? 2

x2

过点 A 与渐近线 y= 2x 平行的直线方程为 y= 2?x+

? ?

2? ?,即 y= 2x+1. 2?

解方程组?

?y=- 2x, ?y= 2x+1

?x=- 42, ? 得? 1 ?y=2. ?

1 2 所以所求三角形的面积为 S= |OA||y|= . 2 8 (2)设直线 PQ 的方程是 y=x+b,因直线 PQ 与已知圆相切, 故 |b| 2 =1,即 b =2. 2
?y=x+b, ? ? ?2x -y =1,
2 2

由?

得 x -2bx-b -1=0.
? ?x1+x2=2b, ? ?x1x2=-1-b .
2

2

2

设 P(x1,y1)、Q(x2,y2),则?

又 y1y2=(x1+b)(x2+b),所以 →

OP·OQ=x1x2+y1y2=2x1x2+b(x1+x2)+b2
=2(-1-b )+2b +b =b -2=0. 故 OP⊥OQ.
2 2 2 2



29.(本题 18 分,第(1)小题 6 分;第(2)小题 12 分) x2 y 2 如图,椭圆 E : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左焦点为 F1 ,右焦点为 F2 ,过 F1 的直线交椭 a b 圆于 A, B 两点, ?ABF2 的周长为 8,且 ?AF1 F2 面积最大时, ?AF1 F2 为正三角形. (1)求椭圆 E 的方程; (2)设动直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P ,且与直线 x ? 4 相交于点 Q . 试探究:① 以 PQ 为直径的圆与 x 轴的位置关系? ② 在坐标平面内是否存在定点 M ,使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M ? 若存在,求出 M 的坐标;若不存在,说明理由. y A

F1 O

F2 x

答案:
29.解:(1)当三角形面积最大时,为正三角形,所以 A 0,b) =2c,4a=8 ( ,a

?a 2 =4,b2 =3 ,椭圆 E 的方程为

x2 y 2 + =1 4 3

? y ? kx ? m ? 2 2 2 (2)①由 ? x 2 y 2 ,得方程 (4k ? 3) x ? 8kmx ? 4m ? 12 ? 0 ?1 ? ? 3 ?4 2 2 由直线与椭圆相切得 m ? 0, ? ? 0, ? 4k ? m ? 3 ? 0. 4k 3 m 3 2 求得 P(? , ) , Q(4, 4k ? m) , PQ 中点到 x 轴距离 d 2 ? (2k ? ? ) m m 2 2m 1 2k ( PQ )2 ? d 2 ? ( ? 1)2 ? 0(4k 2 ? m2 ? 3 ? 0 ? m ? 2k ) 。 2 m
所以圆与 x 轴相交。 (2)②假设平面内存在定点 M 满足条件,由对称性知点 M 在 x 轴上,设点 M 坐标为

???? ? 4k 3 ???? M ( x1 , 0) , MP ? (? ? x1 , ), MQ ? (4 ? x1 , 4k ? m) 。 m m ???? ???? ? k 由 MP ? MQ ? 0 得 (4 x1 ? 4) ? x12 ? 4 x1 ? 3 ? 0 m 所以 4 x1 ? 4 ? x12 ? 4 x1 ? 3 ? 0 ,即 x1 ? 1 所以定点为 M (1, 0) 。

30.试题内容丢失 答案: 30.答案内容丢失
评卷人 得分

四、三角函数(题型注释)

评卷人

得分

五、高斯函数(题型注释)


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