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1994年全国高中数学联赛试题及解答


1994 年全国高中数学联赛试题
第一试 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1、设 a,b,c 是实数,那么对任何实数 x, 不等式 asinx+bcosx+c>0 都成立的充要条件是 (A) a,b 同时为 0,且 c>0 (C) (B) (D)

a2+b2=c a2+b2>c
2 2 2 2 2 2

/>
a2+b2<c

2、给出下列两个命题:⑴ 设 a,b,c 都是复数,如果 a +b >c ,则 a +b -c >0;⑵设 a,b,c 都是复 数,如果 a +b -c >0,则 a +b >c .那么下述说法正确的是 (A)命题⑴正确,命题⑵也正确 (C)命题⑴错误,命题⑵也错误 (B)命题⑴正确,命题⑵错误 (D)命题⑴错误,命题⑵正确
2 2 2 2 2 2

1 3、已知数列{an}满足 3an+1+an=4(n≥1),且 a1=9,其前 n 项之和为 Sn,则满足不等式|Sn-n-6|< 的 125 最小整数 n 是 (A)5 (B)6 (C)7 (D)8

π logbsina logbcosa logbcosa 4、已知 0<b<1,0<a< ,则下列三数:x=(sina) ,y=(cosa) ,z=(sina) 4 (A)x<z<y (B)y<z<x (C)z<x<y (D)x<y<z

5、在正 n 棱锥中,相邻两侧面所成的二面角的取值范围是 (A)(

n-2 π ,π ) n

(B)(

n-1 π ,π ) n

π (C)(0, ) 2

(D)(

n-2 n-1 π, π) n n

|x+y| |x-y| 6、在平面直角坐标系中,方程 + =1 (a,b 是不相等的两个正数)所代表的曲线是 2a 2b (A)三角形 (C)非正方形的长方形 (B)正方形 (D)非正方形的菱形

二、填空题(每小题 9 分,共 54 分) 1.已知有向线段 PQ 的起点 P 和终点 Q 的坐标分别为
-1-

-1,1)和(2,2),若直线 l:x+my+m=0 与 PQ
1

的延长线相交,则 m 的取值范围是
3

. .

?x +sinx-2a=0, π π 2.已知 x,y∈[- , ],a∈R 且? 3 则 cos(x+2y) = 4 4 ?4y +sinycosy+a=0

5 2 5 2 2 2 2 2 3.已知点集 A={(x,y)|(x-3) +(y-4) ≤( ) },B={(x,y)|(x-4) +(y-5) >( ) },则点集 A∩B 中 2 2 的整点(即横、纵坐标均为整数的点)的个数为 θ 4.设 0<θ <π , ,则 sin (1+cosθ )的最大值是 2 . . .

5.已知一平面与一正方体的 12 条棱的夹角都等于 α ,则 sinα =

6.已知 95 个数 a1,a2,a3,…,a95, 每个都只能取+1 或-1 两个值之一,那么它们的两两之积的和

a1a2+a1a3+…+a94a95 的最小正值是



-2-

2

第二试 一、(本题满分 25 分) x 的二次方程 x +z1x+z2+m=0 中,z1,z2,m 均是复数,且 z1-4z2=16+20i,设这个方 程的两个根 α 、β ,满足|α -β |=2 7,求|m|的最大值和最小值.
2 2

二、(本题满分 25 分) 将与 105 互素的所有正整数从小到大排成数列,试求出这个数列的第 1000 项。

E

三、(本题满分 35 分) 如图,设三角形的外接圆 O 的半径为 R,内心为 I, ∠B=60?,∠A<∠C,∠A 的外角平分线交圆 O 于 E. 证明:(1) IO=AE; (2) 2R<IO+IA+IC<(1+ 3)R.
B O I

A

C

-3-

3

四、 (本题满分 35 分) 给定平面上的点集 P={P1,P2,…,P1994}, P 中任三点均不共线,将 P 中的所有的点 任意分成 83 组,使得每组至少有 3 个点,且每点恰好属于一组,然后将在同一组的任两点用一条线段相连, 不在同一组的两点不连线段,这样得到一个图案 G,不同的分组方式得到不同的图案,将图案 G 中所含的以

P 中的点为顶点的三角形个数记为 m(G).
(1)求 m(G)的最小值 m0. (2)设 G*是使 m(G*)=m0 的一个图案, 若 G*中的线段(指以 P 的点为端点的线段)用 4 种颜色染色,每条线 段恰好染一种颜色.证明存在一个染色方案,使 G*染色后不含以 P 的点为顶点的三边颜色相同的三角形.

-4-

4

1994 年全国高中数学联赛解答 第一试 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1、设 a,b,c 是实数,那么对任何实数 x, 不等式 asinx+bcosx+c>0 都成立的充要条件是 (A) a,b 同时为 0,且 c>0 (C) (B) (D)
2 2

a2+b2=c

a2+b2<c

a2+b2>c
2 2 2 2

解:asinx+bcosx+c= a +b sin(x+φ )+c∈[- a +b +c, a +b +c].故选 C. 2、给出下列两个命题:(1)设 a,b,c 都是复数,如果 a +b >c ,则 a +b -c >0.(2)设 a,b,c 都是 复数,如果 a +b -c >0,则 a +b >c .那么下述说法正确的是 (A)命题(1)正确,命题(2)也正确 (C)命题(1)错误,命题(2)也错误
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

(B)命题(1)正确,命题(2)错误 (D)命题(1)错误,命题(2)正确
2 2 2 2 2 2

解:⑴正确,⑵错误;理由:⑴a +b >c ,成立时,a +b 与 c 都是实数,故此时 a +b -c >0 成立; ⑵ 当 a +b -c >0 成立时 a +b -c 是实数, 但不能保证 a +b 与 c 都是实数, 故 a +b >c 不一定成立. 故 选 B. 1 3、已知数列{an}满足 3an+1+an=4(n≥1),且 a1=9,其前 n 项之和为 Sn,则满足不等式|Sn-n-6|< 的 125 最小整数 n 是 (A)5 (B)6 (C)7 (D)8
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 解:(an+1-1)=- (an-1),即{ an-1}是以- 为公比的等比数列, 3 3 1 n 1-(- ) 3 1 n-1 1 n 1 1 ∴ an=8(- ) +1.∴ Sn=8? +n=6+n-6(- ) ,?6? n< ,?n≥7.选 C. 3 1 3 3 125 1+ 3 π logbsina logbcosa logbcosa 4、已知 0<b<1,0<a< ,则下列三数:x=(sina) ,y=(cosa) ,z=(sina) 的大 4 小关系是 (A)x<z<y (B)y<z<x (C)z<x<y
-5-

(D)x<y<z
5

解:0<sina<cosa<1.logbsina>logbcosa>0. logbsina logbcosa logbcosa ∴ (sina) < (sina) < (cosa) 即 x<z<y.选 A. 5、在正 n 棱锥中,相邻两侧面所成的二面角的取值范围是 (A)(

n-2 π ,π ) n

(B)(

n-1 π ,π ) n

π (C)(0, ) 2

(D)(

n-2 n-1 π, π) n n

解: 设相邻两侧面所成的二面角为 θ , 易得 θ 大于正 n 边形的一个内角 θ 趋于 π ,故选 A.

n-2 π, 当棱锥的高趋于 0 时, n

|x+y| |x-y| 6、在平面直角坐标系中,方程 + =1 (a,b 是不相等的两个正数)所代表的曲线是 2a 2b (A)三角形 (C)非正方形的长方形 (B)正方形 (D)非正方形的菱形

解:x+y≥0,x-y≥0 时,(一、四象限角平分线之间):(a+b)x+(b-a)y=2ab;

x+y≥0,x-y<0 时,(一、二象限角平分线之间):(b-a)x+(a+b)y=2ab; x+y<0,x-y≥0 时,(三、四象限角平分线之间):(a-b)x-(a+b)y=2ab; x+y<0,x-y<0 时,(二、三象限角平分线之间):-(a+b)x+(a-b)y=2ab.
四条直线在 a≠b 时围成一个菱形(非正方形).选 D. 二、填空题(每小题 9 分,共 54 分) 1.已知有向线段 PQ 的起点 P 和终点 Q 的坐标分别为 的延长线相交,则 m 的取值范围是 . -1,1)和(2,2),若直线 l:x+my+m=0 与 PQ

1 解:即 x+my+m=0 与 y= (x+1)+1 的交点的横坐标>2. 3 1 4 7m 2 ∴ x+m( x+ )+m=0,(3+m)x=-7m.x=- >2.?-3<m<- . 3 3 m+3 3
?x +sinx-2a=0, π π 2.已知 x,y∈[- , ],a∈R 且? 3 则 cos(x+2y) = 4 4 ?4y +sinycosy+a=0
3



解:2a=x +sinx=(-2y) -sin(-2y), π π π π 3 2 令 f(t)=t +sint,t∈[- , ],f ?(t)=3t +cost>0,即 f(t)在[- , ]上单调增.∴ x=-2y. 2 2 2 2
-66

3

3

∴ cos(x+2y)=1. 5 2 5 2 2 2 2 2 3.已知点集 A={(x,y)|(x-3) +(y-4) ≤( ) },B={(x,y)|(x-4) +(y-5) >( ) },则点集 A∩B 中 2 2 的整点(即横、纵坐标均为整数的点)的个数为 .
y

解:如图可知,共有 7 个点,即(1,3),(1,4),(1,5),(2,2),(2,3),
3

(4,5) (3,4)

(3,2),(4,2)共 7 点.
1

2

θ 4.设 0<θ <π , ,则 sin (1+cosθ )的最大值是 2 解:令 y= sin 则 y =4 sin 4 3 ∴ y≤ 9
2 2



O

1

2

3

x

?
2

(1+cosθ ) >0,
4

?
2

cos

?
2

2 ? ? ? =2?2sin2 cos2 cos2 ≤2( )3. 2 2 2 3

.当 tan

?
2

=

2 时等号成立. 2
D'

5 . 已 知 一 平 面 与 一 正 方 体 的 12 条 棱 的 夹 角 都 等 于 α , 则
C' B' D A B C

sinα =



A'

解:12 条棱只有三个方向,故只要取如图中 AA?与平面 AB?D?所成角即可.设 3 AA?=1, 则 A?C= 3, A?C⊥平面 AB?D?, A?C 被平面 AB?D?、 BDC?三等分. 于是 sinα = . 3

6.已知 95 个数 a1,a2,a3,…,a95, 每个都只能取+1 或-1 两个值之一,那么它们的两两之积的和

a1a2+a1a3+…+a94a95 的最小正值是



解:设有 m 个+1,(95-m)个-1.则 a1+a2+…+a95=m-(95-m)=2m-95 ∴ 2(a1a2+a1a3+…+a94a95)=(a1+a2+…+a95) -(a1 +a2 +…+a95 )=(2m-95) -95>0. 取 2m-95=±11.得 a1a2+a1a3+…+a94a95=13.为所求最小正值. .
2 2 2 2 2

第二试 一、(本题满分 25 分) x 的二次方程 x +z1x+z2+m=0 中,z1,z2,m 均是复数,且 z1-4z2=16+20i,设这个方 程的两个根 α 、β ,满足|α -β |=2 7,求|m|的最大值和最小值.
-77
2 2

解:设 m=a+bi(a,b∈R).则△=z1 -4z2-4m=16+20i-4a-4bi=4[(4-a)+(5-b)i].设△的平方根为

2

u+vi.(u,v∈R)
即(u+vi) =4[(4-a)+(5-b)i]. |α -β |=2 7,?|α -β | =28,?|(4-a)+(5-b)i|=7,?(a-4) +(b-5) =7 ,
2 2 2 2 2

即表示复数 m 的点在圆(a-4) +(b-5) =7 上,该点与原点距离的最大值为 7+ 41,最小值为 7- 41.

2

2

2

二、(本题满分 25 分) 将与 105 互素的所有正整数从小到大排成数列,试求出这个数列的第 1000 项。 1 1 1 解:由 105=3?5?7;故不超过 105 而与 105 互质的正整数有 105?(1- )(1- )(1- )=48 个。 3 5 7 1000=48?20+48-8, 105?20=2100.而在不超过 105 的与 105 互质的数中第 40 个数是 86. ∴ 所求数为 2186。

E

A

三、 (本题满分 35 分) 如图, 设三角形的外接圆 O 的半径为 R,内心为 I, ∠B=60?, ∠A<∠C,∠A 的外角平分线交圆 O 于 E. 证明:(1) IO=AE; (2) 2R<IO+IA+IC<(1+ 3)R. 证明:∵∠B=60°,∴∠AOC=∠AIC=120°. ∴A,O,I,C 四点共圆.圆心为弧 AC 的中点 F,半径为 R. ∴O 为⊙F 的弧 AC 中点,设 OF 延长线交⊙F 于 H,AI 延长线交弧 BC 于 D. 由∠EAD=90°(内外角平分线)知 DE 为⊙O 的直径.∠OAD=∠ODA.
E A

O I B C

但∠OAI=∠OHI,故∠OHI=∠ADE,于是 RtΔ DAE≌RtΔ HIO ∴AE=IO. 由Δ ACH 为正三角形,易证 IC+IA=IH. 由 OH=2R.∴IO+IA+IC=IO+IH>OH=2R. 设∠OHI=α ,则 0<α <30°.
-88
B C D O I F H

∴IO+IA+IC=IO+IH=2R(sinα +cosα )=2R 2sin(α +45°) 又 α +45°<75°,故 IO+IA+IC<2 2R( 6+ 2)/4=R(1+ 3)

四、 (本题满分 35 分) 给定平面上的点集 P={P1,P2,…,P1994}, P 中任三点均不共线,将 P 中的所有 的点任意分成 83 组,使得每组至少有 3 个点,且每点恰好属于一组,然后将在同一组的任两点用一条线段 相连,不在同一组的两点不连线段,这样得到一个图案 G,不同的分组方式得到不同的图案,将图案 G 中所含 的以 P 中的点为顶点的三角形个数记为 m(G). (1)求 m(G)的最小值 m0. (2)设 G*是使 m(G*)=m0 的一个图案, 若 G*中的线段(指以 P 的点为端点的线段)用 4 种颜色染色,每条线 段恰好染一种颜色.证明存在一个染色方案,使 G*染色后不含以 P 的点为顶点的三边颜色相同的三角形.

解:设 G 中分成的 83 个子集的元素个数分别为 ni(1≤i≤83),

Σ

83

ni=1994.且 3≤n1≤n2≤…≤n83.

i=1

则 m(G)=

Σ

83

Cn3 .即求此式的最小值.
i

i=1
3 -1-(

设 nk+1>nk+1.即 nk+1-1≥nk+1.则 Cn 3 +1+ Cn
i

i+1

3 2 Cn + Cn3 )= Cn -Cn2 <0.这就是说,当 nk+1 与 nk 的差
i i+1 i i+1

大于 1 时,可用 nk+1-1 及 nk+1 代替 nk+1 及 nk,而其余的数不变.此时,m(G)的值变小. 于是可知,只有当各 ni 的值相差不超过 1 时,m(G)才能取得最小值. 1994=83?24+2.故当 81 组中有 24 个点,2 组中有 25 个点时,m(G)达到最小值.

m0=81C24+2C25=81?2024+2?2300=168544.
⑵ 取 5 个点为一小组,按图 1 染成 a、b 二色.这样的五个小
a a b b a b a b b a c d d c d c d d c

3

3

组,如图 2,每个小圆表示一个五点小组.同组间染色如图 1,不 同组的点间的连线按图 2 染成 c、d 两色.这 25 个点为一组,共得 83 组. 染色法相同. 其中 81 组去掉 1 个点及与此点相连的所有线. 即 得一种满足要求的染色.
-9-

c

图1

图2

9


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