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第二章平面向量复习学案


第二章 平面向量
一、知识点回顾
复习 1、基本概念:向量 量 单位向量 相反向量 共线向量 复习 2、向量的表示方法有 复习 3、向量的运算 运算类型 向量的加法 ; ; 向量的模 ;相等向量 ;垂直向量 ; ; ; ; ; ; ;零向

二、典型例题分析 例1

? ??? ? ? ? ??? ? ? ? , b

是两个不共线向量,已知 AB = 2a + mb , CB = a + 3b ,若 A 、 B 、 C 三点 a ?

共线,求 m 的值

例2

已知 A(?1, ?1) , B(1,3) , C (2,5) ,求证 A 、 B 、 C 三点共线.

例 3 已知向量 a ? 2e1 ? 3e2 ,b ? 2e1 ? 3e2 ,c ? 2e1 ? 9e2 ,其中 e1 、e2 不共线,求实数 ? 、? ,
几何意义 代数意义
运算律及性质

使 c ? ? a ? ?b .

例 4
______

已知 a ? (? ,2? ) , b ? (3? ,2) ,如果 a 与 b 的夹角为锐角,则 ? 的取值范围是

?

?

?

?

例 5 已知| a |=1,| b |=
向量的减法

b 2 ,(1)若 a ∥ b ,求 a · ;(2)若 a 、 b 的夹角为60° ,求| a + b |;(3)

若 a - b 与 a 垂直,求 a 与 b 的夹角.

数乘向量

基础题组

向量的数量积

1、设向量 a, b 满足 | a |? 2 5, b ? (2,1), 且 a与b 的方向相反,则 a 的坐标为

? ?

?

?

?

?

?

复习 4、本章的重要定理及公式: a.平面向量基本定理 b.两个向量平行的充要条件: c.两个向量垂直的充要条件:

??? 2 ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 2、设点 M 是线段 BC 的中点,点 A 在直线 BC 外, BC ? 16, AB ? AC ? AB ? AC ,则 ???? ? AM ? ( )
; ; ; (A) 8 (B) 4 (C) 2 (D) 1 = + ,其



3、在平行四边形 ABCD 中,E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点,或 中 , R ,则 + = _________。

4、如图,正六边形 ABCDEF 中, BA? CD? EF ? ??? ? ??? ? ???? A、0 B、 BE C、 AD D、 CF 5、若向量 a=(1,1) ,b(-1,2) ,则 a·b 等于_____________. 6、. 已知 ?ABC 和点 M 满足 MA ? MB + MC ? 0 .若存在实数 m
??? ??? ???

?

?

?

练习与检测
1.已知向量 a=(4,3),b=(-1,2),若向量 a+kb 与 a-b 垂直,则 k 的值为( 23 11 23 A. B.7 C.- D.- 3 3 3 使 C. 4 F 得 D. 5 )

??? ? ??? ? ???? AB ? (1, 2), BC ? (3, 4) ;则 AC ? ( 2.若向量

)

AB? AC ? m AM 成立, m= 则

???

???

???

A. 2

B. 3

( A) (4, 6)

( B) (?4, ?6)

) (C ) (? ?, ? ?

( D) (?, ?)
)

能力提升
BC 1、如图,在矩形 ABCD 中, AB ? 2 , ? 2 ,
点 E 为 BC 的中点,点 F 在边 CD 上,若 AB? AF ? 则 AE ? BF 的值是
? ?
? ?

D

C

3.向量 a 的模为 10,它与 x 轴的夹角为 150° ,则它在 x 轴上的投影为( A.-5 3 B.5 C.-5 D.5 3 4.若|a|=2,|b|=5,|a+b|=4,则|a-b|为( ) A. 13 B.13 C. 42 5.已知 a=(2,1),与 a 平行且长度为 2 5的向量 b 是( A.(4,2) B.(-4,-2) C.(2,1)或(-2,-1) )

2,

E

D.42

. ( )B

A 2、若非零向量 a 、 b 满足 | a |?| b | , ( 2a ? b ) ? b ? 0 ,则 a 与 b 的夹角为 A.300
? ?

D.(4,2)或(-4,-2) )

B. 600

C. 1200

D. 1500

3.已知平面向量 ? 、 , ? 1 ? ? 2,? ? ? - 2?), 2? ? ? 的值是 则 ? ? , ( 4、已知直角梯形 ABCD 中, AD // BC , ?ADC ? 90 , AD ? 2, BC ? 1 ,
0

6.已知向量 i、j,i=(1,0),j=(0,1),与 2i+j 垂直的向量是( A.2i-j B.i-2j C.2i+j D.i+2j

7. 已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的动点,则 DE ? CB 的值为________; DE ? DC 的 最大值为________. 8.向量 a=(n,2)与 b=(4,n)共线,则 n=________.
1 AB ,求点 3
? ?

???? ??? ?

???? ????

??? ? ??? ? P 是腰 DC 上的动点,则 PA ? 3 PB 的最小值为____________
5、已知 a=(1,2),b=(-3,2),当 k 为何值时, (1)ka+b 与 a-3b 垂直? (2)ka+b 与 a-3b 平行?平行时它们是同向还是反向?

9.已知 a=(2,1),b=(1,2),要使|a+tb|最小,那么实数 t 的值是________. 10.已知点 A(2,3),B(-1,5),且 AC =
? ?

C 的坐标________.

11.已知 | a |? 3 , | b |? 5 ,且 a ? b ? 12 ,则向量 a 在向量 b 上的投影为______ 12.如图,平面内有三个向量 OA 、OB 、OC ,其中 OA 与 OB 的夹角为 120°,OA 与 OC 的 夹角为 30°,且 OA = OB =1, OC = 2 2 .若 OC = ? OA ? ? OB (? , ? ? R), 则? ? ? 的值 为 .

? ?

6、已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量,k 为实数,若向量 a+b 与向量 ka-b 垂直,则 k=_____________.


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