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吉林省东北师范大学附属中学2016届高考数学第一轮复习 导数的应用学案 理


课题:导数的应用
一、知识梳理: (阅读选修教材 2-2 第 18 页—第 22 页) 1.函数的单调性与导数的关系:利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤:

?1? 求 f ?( x) ; ? 2 ? 确定 f ?( x) 在 ? a, b ? 内符号; ? 3? 若 f ?( x) ? 0 在 ? a, b ? 上恒成立,则 f ( x) 在

? a, b ? 上是增函数;若 f ?( x) ? 0 在 ? a, b ? 上恒成立,则 f ( x) 在 ? a, b ? 上是减函数
① f ?( x) ? 0 ? f ( x) 为增函数( f ?( x) ? 0 ? f ( x) 为减函数). ② f ( x) 在区间 ? a, b ? 上是增函数 ? f ?( x ) ≥ 0 在 ? a, b ? 上恒成立;

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特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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f ( x) 在区间 ? a, b ? 上为减函数 ? f ?( x) ≤ 0 在 ? a, b ? 上恒成立.
2.极值: 极大值: 一般地,设函数 f ( x) 在点 x0 附近有定义,如果对 x0 附近的所有的点,都有 点. 极 小 值 : 一 般 地, 设 函数 f ( x) 在 x0 附 近 有 定 义 , 如 果对 x0 附 近 的 所 有 的 点 , 都有
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f ( x) ? f ( x0 ) ,就说 f ( x0 ) 是函数 f ( x) 的一个极大值,记作 y 极大值 ? f ( x0 ) , x0 是极大值

f ( x) ? f ( x 0 )就说 f ( x0 ) 是函数 f ( x ) 的一个极小值,记作 y 极小值 ? f ( x0 ) , x0 是极小值点.
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极大值与极小值统称为极值 在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值 请注意 以下几点: ( 1 )极值是一个局部概念 由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较 是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小. ( 2 )函数的极值不是唯一的 即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不 止一个. ( 3 )极大值与极小值之间无确定的大小关系 即一个函数的极大值未必大于极小值. ( 4 )函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点 而使函数取得 最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点. 判别 f ( x0 ) 是极大、极小值的方法:
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,则 x0 是 f ( x) 的极大值点, f ( x0 ) 是极值,并且如果 f ?( x) 在 x0 两侧满足“左正右负” 如果 f ?( x) 在 x0 两侧满足 “左负右正” , 则 x0 是 f ( x) 的极小值点, f ( x0 ) f ( x0 ) 是极大值; 是极小值. 求可导函数 f ( x) 的极值的步骤:

若 x0 满足 f ?( x0 ) ? 0 ,且在 x0 的两侧 f ( x) 的导数异号,则 x0 是 f ( x) 的极值点,

?1? 确定函数的定义区间,求导数 f ?( x) ? 2 ? 求方程 f ?( x) ? 0 的根 ? 3? 用函数的导数为 0 的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格.检查
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f ?( x) 在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么 f ( x) 在这个根处取得极大值;如果
左负右正,那么 f ( x) 在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号,那么 f ( x) 在这个根 处无极值.如果函数在某些点处连续但不可导,也需要考虑这些点是否是极值点 .

1

3.函数的最大值和最小值: 一般地,在闭区间 ?a, b? 上连续的函数 f ( x) 在 ?a, b? 上必有最大 值与最小值. 说明: 如函数 f ( x) ? ?1? 在开区间 (a, b) 内连续的函数 f ( x) 不一定有最大值与最小值.

1 在 x

(0,??) 内连续,但没有最大值与最小值;

? 2 ? 函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的;函数的极值是比较极值点附近
函数值得出的.

? 3? 函数 f ( x) 在闭区间 ?a, b? 上连续,是 f ( x) 在闭区间 ?a, b? 上有最大值与最小值的
充分条件而非必要条件.

? 4 ? 函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一
个,也可能没有一个. 利用导数求函数的最值步骤: 由上面函数 f ( x) 的图象可以看出, 只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数 值进行比较,就可以得出函数的最值了. 设函数 f ( x) 在 ?a, b? 上连续,在 ( a , b ) 内可导,则求 f ( x) 在 ?a, b? 上的最大值与最小 值的步骤如下:

?1? 求 f ( x) 在 (a, b) 内的极值; ? 2 ? 将 f ( x) 的各极值与 f (a) 、 f (b) 比较得出函数 f ( x) 在 ?a, b? 上的最值.
二、题型探究 【探究一】 :讨论函数的单调性 例 1:设 函数 ,试讨论函数的单调性 (解析:注意讨论 K 的范围,注意函数的定义域) 时,单调递增;时,单调递减; (,1)单调递增。

【探究二】 :导数与函数的极值和最值 例 2:设函数,其中求函数的极大值和极小值。 (极大值 0;极小值)

例 3:已知函数
2

(1)、求的最小值;)

(2) 、若对所有的,都有 ,求实数 a 的取值范围。(a)

【探究三】 :已知函数的极大值和最值,求参数的值或取值范围。 例 4:函数 f ( x) ? x 3 ? 6 x ? 5, x ? R (Ⅰ) 求 f ( x) 的单调区间和极值; (增区间: (-),(,)减区间为:();极大值:5+4 极小值: 5-4.) (Ⅱ)若关于 x 的方程 f ( x) ? a 有 3 个不同实根,求实数 a 的取值范围.( 5-4) (Ⅲ)已知当 x ? (1, ??) 时, f ( x) ≥ k ( x ? 1) 恒成立,求实数 k 的取值范围. (K5)

2ax ? a 2 ? 1 ( x ? R ) ,其中 a ? R . 例 5.已知函数 f ( x) ? x2 ? 1
(Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2,f (2)) 处的切线方程; (Ⅱ)当 a ? 0 时,求函数 f ( x) 的单调区间与极值. 【分析】(I)解:当 a ? 1 时, f ( x) ?

2x 4 , f (2) ? . 又 5 x ?1
2

f '( x) ?

2( x 2 ? 1) ? 2 x.2 x 2 ? 2 x 2 6 ? 2 , f '(2) ? ? . 25 ( x 2 ? 1)2 ( x ? 1)2

所以,曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 y ?

4 6 ? ? ( x ? 2), 即 5 25

6 x ? 25 y ? 32 ? 0.
(II)解: f '( x) ?

2a( x 2 ? 1) ? 2 x(2ax ? a 2 ? 1) ?2( x ? a)(ax ? 1) ? . ( x 2 ? 1) 2 ( x 2 ? 1)2

由于 a ? 0, 以下分两种情况讨论. (1)当 a ? 0 时,令 f '( x) ? 0, 得到 x1 ? ? , x2 ? a. 当 x 变化时, f '( x), f ( x) 的变化情况 如下表:
3

1 a

x

1? ? ? ??, ? ? a? ?

?

1 a

? 1 ? ?? ,a? ? a ?
?
?

a

? a, ?? ?
?
?

f '( x )

?
?

0 极小值

0 极大值

f ( x)

1? ? 1 ? ? 所以 f ( x) 在区间 ? ??, ? ? , ? a, ??? 内为减函数,在区间 ? ? , a ? 内为增函数. a? ? a ? ?
函数 f ( x) 在 x1 ? ?

1 ? 1? ? 1? 处取得极小值 f ? ? ? , 且 f ? ? ? ? ?a 2 . a ? a? ? a?

函数 f ( x) 在 x2 ? a 处取得极大值 f ( a ), 且 f (a) ? 1 . (2)当 a ? 0 时,令 f '( x) ? 0, 得到 x1 ? a, x2 ? ? 如下表:

1 .当 x 变化时, f '( x), f ( x) 的变化情况 a

x
f '( x )

? ??, a ?
?
?

a
0 极小 值

1? ? ? a, ? ? a? ?
?
?

?

1 a

? 1 ? ? ? , ?? ? ? a ?

0 极大 值

?
?

f ( x)

1? ? 1 ? ? 所以 f ( x) 在区间 ? ??, a ? , ? ? , ?? ? 内为减函数,在区间 ? a, ? ? 内为增函数. a? ? a ? ?
函数 f ( x) 在 x1 ? a 处取得极大值 f ( a ), 且 f (a) ? 1 . 函数 f ( x) 在 x2 ? ?

1 处取得极小值 a

? 1? f ?? ?,且 ? a?

? 1? f ? ? ? ? ?a 2 . ? a?

【考点】本小题考查导数的几何意义,两个函数的和、差、积、商的导数,利用导数研究函 数的单调性和极值等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法.

1 2 x ? 2ax , 2 g ( x) ? 3a2 ln x ? b ,其中 a ? 0 .设两曲线 y ? f ( x) , y ? g ( x) 有公共点,且在该点处的 切线相同. (Ⅰ)用 a 表示 b ,并求 b 的最大值; (Ⅱ)求证: f ( x) ≥ g ( x) ( x ? 0 ) .
例 6.已知定义在正实数集上的函数 f ( x ) ? 解析:本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识,考查综合运用数学知识解 决问题的能力 解:
4

(Ⅰ)设 y=f(x)与 y=g(x) (x>0)在公共点(x0,y0)处的切线相同,

? f ?( x) ? x ? 2a, g ?( x) ?

3a 2 ,由题意 f ( x0 ) ? g ( x0 ), f ?( x0 ) ? g ?( x0 ) . x

?1 2 x0 ? 2ax0 ? 3a 2 ln x0 ? b, ? 3a 2 ?2 即? 由 x ? 2 a ? 得: x0 ? a, 或x0 ? ?3a(舍去 ). 0 2 x0 ? x 0 ?2a ? 3a . ? x0 ?
1 2 5 a ? 2a 2 ? 3a 2 ln a ? a 2 ? 3a 2 ln a. 2 2 5 2 2 令 h(t ) ? t ? 3t ln t (t ? 0), 则h?(t ) ? 2t (1 ? 3 ln t ). 于是 2
即有 b ? 当 t (1 ? 3 ln t ) ? 0,即0 ? t ? e 3时,h?(t ) ? 0; 当 t (1 ? 3 ln t ) ? 0,即t ? e 时,h?(t ) ? 0.
1 1 1 3 1

故 h(t )在(0,e 3)为增函数,在( e 2 ,??) 为减函数,

3 于是 h(t)在 (0,??)的最大值为 h(e ) ? e 3 . 2
(Ⅱ)设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ?

1 3

2

1 2 x ? 2ax ? 3a 2 ln x ? b( x ? 0), 2

则 F ?( x) ? x ? 2a ?

3a 2 ( x ? a)(x ? 3a) ? ( x ? 0). x x

故 F ( x ) 在 ( 0 , a ) 为 减 函 数 , 在 ( a,+ ? ) 为 增 函 数 , 于 是 函 数

F ( x)在(0, ? ?)上的最小值是 F (a) ? F ( x0 ) ? f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? 0.
故当 x>0 时,有 f ( x) ? g ( x) ? 0,即当x ? 0时,f ( x) ? g ( x) 【探究四】 .利用导数求和: 例 7:试求下列代数式的和

?1? Sn ? 1? 2x ? 3x2 ???? ? nxn?1 ( x ? 0 ,

x ? N * ).

* 1 2 3 n ( x ? N ). ? 2Cn ? 3Cn ???? ? nCn ? 2 ? Sn ? Cn

分析:这两个问题可分别通过错位相减法及利用二项式定理来解决。转换思维角度,由求导 公式 ( x )' ? nx
n n ?1

,可联想到它们是另外一个和式的导数,利用导数运算可使问题的解决更

加简捷。

5

解: (1)当 x=1 时,

;当 x≠1 时, 两边都是关于 x 的函数,求导得





(2)∵ 两边都是关于 x 的函数,求导得 令 x=1 得 , 即 三、 方法提升:

, 。



1.通过求导求函数不等式的基本思路是:以导函数和不等式为基础,单调性为主线,最(极 值)为助手,从数形结合、分类讨论等多视角进行综合探索. 2.求函数单调性与极值,注意解题的一般步骤; 3.定积分注意几何意义。 四.反思感悟:

五.课时作业 1、设函数 f ( x) ? x ? a ,集合 M= {x | f ( x) ? 0} ,P= {x | f ' ( x) ? 0} ,若 M P,则实数 a 的取值范围是
x ?1

(

) A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞) )

2、若曲线 y ? x4 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则 l 的方程为( A. 4 x ? y ? 3 ? 0 C. 4 x ? y ? 3 ? 0 B. x ? 4 y ? 5 ? 0 D. x ? 4 y ? 3 ? 0

3、 函数 f ( x) 的定义域为开区间 (a, b) , 导函数 f ?( x ) 在 (a, b) 内的图象如图所示, 则函数 f ( x) 在

6

开区间 (a, b) 内有极小值点( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D. 4 个 4、设 f(x)可导,且 f′(0)=0,又 x?0 A.可能不是 f(x)的极值
lim f ?( x ) x =-1,则 f(0)(

y

y ? f ?( x)

b

a

O

x

)

B. 一定是

f(x)的极值
C.一定是 f(x)的极小值
2 2

D.等于 0
n

5、设函数 fn(x)=n x (1-x) (n 为正整数),则 fn(x)在[0,1]上的最大值为( A.0 B.1 C.
(1 ? 2 n ) 2?n

)

D. n ? 2

4(

n

) n?1

6、y=e A.0

sinx

cos(sinx),则 y′(0)等于( B.1
3

) C.-1 D.2 )
2

7、函数 f(x)=x -6bx+3b 在(0,1)内有极小值,则实数 b 的取值范围是( A、 (0,1)
5 4 3

B、 (-∞,1)

C、 (0,+∞) )

D、 (0, 1 )

8、方程 6x -15x +10x +1=0 的实数解的集合中(

A、至少有 2 个元素 B、至少有 3 个元素 C、至多有 1 个元素 D、恰好有 5 个元素 9、(2011·福建理,5)?1(e +2x)dx 等于( ?0 A.1 B.e-1
2
x

) C.e D.e+1

10. 已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 的导数为 f ?( x ) , f ?(0) ? 0 ,对于任意实数 x ,有

f ( x) ≥ 0 ,则
A. 3

f (1) 的最小值为 f ?(0)
B.

5 2

C. 2

D.

3 2

二、填空题 11.曲线 y=2x -3x 共有____个极值. 12.已知 f ( x) 为一次函数,且 f ( x) ? x ? 2
3 2

?

1 0

f (t )dt ,则 f ( x) =_______.

7

13. 若 f ( x) ? e

?

1 x

,则 lim
t ?0

f (1 ? 2t ) ? f (1) ? t

___________.

14. 已 知 函 数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? c在x ? ?2 处 取 得 极 值 , 并 且 它 的 图 象 与 直 线

y ? ?3x ? 3 在点(1,0)处相切,则函数 f ( x) 的表达式为
三、解答题 15、已知: x ? 1 ,证明不等式: x ? ln ?1 ? x ?

16、设 f ( x) ? ax3 ? x 恰有三个单调区间,试确定 a 的取值范围,并求出这三个单调区间

(天津)已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? 3x 在 x ? ?1 处取得极值. 17、

?1? 讨论 f (1) 和 f (?1) 是函数的 f ( x) 的极大值还是极小值;(大,小) ? 2 ? 过点 A(0,16) 作曲线 y ?
(a=1,b=0)

f ( x) 的切线,求此切线方程.(y=9x+16)

18.f(x)=lnx-ax ,x∈(0,1] (1)若 f(x)在区间(0,1]上是增函数,求 a 范围; (2)求 f(x)在区间(0,1]上的最大值.

2

19.设函数 f(x)=(1+x) -2ln(1+x)
8

2

(1)若定义域内存在 x0,使得不等式 f(x0)-m≤0 成立,求实数 m 的最小值; (2)g(x)=f(x)-x -x-a 在区间[0,3]上恰有两个不同的零点,求 a 范围.
2

1 1 20、已知函数 f ( x) ? ln( ? ax) ? x 2 ? ax ( a 为常数, a ? 0 ). 2 2 1 (Ⅰ)若 x ? 是函数 f ( x ) 的一个极值点,求 a 的值;(a=2) 2
1 (Ⅱ)求证:当 0 ? a ? 2 时, f ( x ) 在 [ , ??) 上是增函数; 2

1 (Ⅲ)若对任意 的 a ? (1,2) ,总存在 .. ..x0 ? [ 2 ,1] ,使不等式成立,求实数 m 的取范围.

答案解析: 1.由 x ? a ? 0,?当a>1时,1 ? x ? a;当a<1时, a ? x ? 1.
x ?1

9

?y ?

x?a a ?1 ? x ? a ? x ?1? ? x ? a ? ,? y / ? ? ? ? 0. ? ? 2 2 x ?1 ? x ?1 ? x ? 1 x ? ? ? ? 1?
/

? a ? 1.

综上可得 M P 时, ? a ? 1. 2. [解答过程]与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直的直线 l 为 4 x ? y ? m ? 0 , 即 y ? x4 在某一点的导数为 4, 而 y? ? 4 x3 ,所以 y ? x4 在(1,1)处导数为 4,此点的切线为 4 x ? y ? 3 ? 0 . 故选 A. 3.[解答过程]由图象可见,在区间(a,b)内的图象上有 2 个极小值点. 故选 B. 4.解析:由
lim
x?0

f ?(0) x =-1,故存在含有

0 的区间(a,b)使当 x∈(a,b),x≠0 时

f ?(0) x <0,于是当

x

∈(a,0)时 f′(0)>0,当 x∈(0,b)时,f′(0)<0,这样 f(x)在(a,0)上单增,在(0,b)上单 减. 答案:B 5.解析: ∵f′n(x)=2xn (1-x) -n x (1-x) ?=n x(1-x) [2(1-x)-nx] ,令 f′n(x)=0,
2 2 2
2 2

n

3 2

n-1

2

n-1

2
2

得 x1=0,x2=1,x3= 2 ? n ,易知 fn(x)在 x= 2 ? n 时取得最大值,最大值 fn( 2 ? n )=n ( 2 ? n ) (1-
2 2 2 ? n )n=4·( 2 ? n )n+1 ?.

6.解析:y′=e 答案:B

sinx

[cosxcos(sinx)-cosxsin(sinx)],y′(0)=e (1-0)=1.

0

7.解析:D8.解析:C9. 10.C 11. 2 12. f ( x) ? x ? 1 ;13. ?

2 ?1 ( 或 ? 2e ) e

;

14. f ( x) ? x 3 ? x 2 ? 8x ? 6 18.(1)∵y=f(x)在(0,1 ]上增 f ' ( x ) ? 0 在(0 ,1 ]上恒成立 即
1 1 1 ? 2ax 2 1 1 f ' ( x ) ? ? 2 ax ? ? 2ax ? 0 在(0,1 ]上恒成立 a ? a ? 得 (2) x x x 2 2x 2 1 ? 2ax 2 ? 0 ∴y=f(x)在(0,1 ]上单调递增 x

1)若 a≤0 时, f ' ( x ) ?

f(1)max=-a

10

19.解析: (1)存在 x0 使 m≥f(x0)min
f ' ( x ) ? 2(1 ? x ) ? 2 x ( x ? 2) 2 ? ( x ? ?1) 1? x 1? x
f ' ( x) ? 0 ? x ? 0

令 f ' ( x) ? 0 ? x ? 0

∴y=f(x)在(-1,0)上单减,在(0,+ ? )单增 f(0)min=1 ∴m≥1 ∴mmin=1 (2)g(x)=x+1-a-2ln(1+x)在[0,3]上两个零点 ? x+1-2ln(1+x)=a 有两个交点 令 h(x)=x+1-2ln(1+x)
h' ( x ) ? 0 ? x ? 1

h' ( x ) ? 1 ?
h' ( x ) ? 0 ? x ? 1

2 x ?1 ? x ?1 x ?1

∴y=f(x)在[0,1]上单减,(1,3]上单增, h(0)=1-2ln1=1, h(1)=2-2ln2 h(3)=4-2ln4 ∴2-ln2<a≤1 1 1 20.解析: (Ⅲ),则(Ⅱ)可知, f ( x ) 在 [ , ??) 上是增函数,所以存在 ..x0 ? [ 2 ,1] ,使不 2
1 等式成立,m<( x0 ? [ ,1] ),=+- ,设 u(a)=+-,求出函数 u(a)在 a ?(1,2)上的最小值, m< 即 2

可. u’ (a)= ,因为 a ? (1,2) ,所以 u’ (a),所以是 u’ (a)减函数,= ,所以 m .

11


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