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数列通项公式的求法(习题课)


由递推公式求通项公式
邢台市第二中学:林英

复习回顾
一、观察法 二、利用等差数列、等比数列的通项公式 三、累加法——推导等差数列通项公式的方法

四、累乘法——推导等比数列通项公式的方法

小试牛刀
1、已知数列{an}满足a1=1, an+1=2an ,求 an 2、已知数列{an

}满足a1=1,an+1=an +2n+1 求数列{an}的通项公式.

思考?已知数列{a }满足a =1,a
n 1

n+1=2an+1

求数列{an}的通项公式.

法一:观察法 法二 由an+1=2an+1
故 an?1 ? 1 ? 2(an ? 1)

数列 ?an ? 1?是首项为2,公比为2的等比数列,即 an ? 1 ? 2n ? a ? 2n ? 1
n

a ? 2a ? 1 法三 ? ? ? a ? a ? 2 ( a ? a ) 两式相减得 n ? 1 n n n ? 1 ?a ? 2 a ? 1
n ?1 n n n ?1

令bn ? an?1 ? an (n ? N ), b1 ? 2

则bn ? an?1 ? an ? 2 ? 2n?1 ? 2n
? an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1 ?2 ?2
n ?1 n?2

? 2 ? ? ? 2 ?1 ? 2 ?1
n ?3
n

法四

法五
解 : an ? 2an?1 ? 1 ? 2(2an?2 ? 1) ? 1 ? ? ? 2n?1 a1 ? 2n?2 ? 2n?3 ? ? ? 22
n?1 2 ?1 n ?1 ? 2 ?1 ? 2 ? ? 2n ? 1 2 ?1

已知数列{an}的首项以及满足 条件an+1=pan+q(p、q为常数) 时,求该数列的通项公式.
观察法(又叫猜想法,不完全归纳法)(需证明)

可转化为an+1-an=p(an-an-1),利用数列{an+1-an}求解

迭代法

练一练

数列{an}满足a1=1,2an=3an-1+1(n≥2),求an.

小结
由递推公式求数列的通项公式: (1)an+1=an+d(d为常数) 等差数列 (2)an+1=qan(q为常数) 等比数列 (3)an+1=an+f(n) (4)an+1=f(n)an (5)an+1=pan+q(p,q为常数) (6)an+1=pan+f(n)(p为常数) 累加法 累乘法 构造法 构造法 构造法

作业
(1)数列{an} 满足 an –an-1=n, 且 a1=1,求an (2)数列{an} 满足 an =2n-1﹒an-1,求an. (3)数列{an}满足a1=1,2an=3an-1+1(n≥2),求an.

数学家当消防员
一天,数学家觉得自己已经受够了数学, 于是他跑到消防队去宣布他想当消防员。 消防队长说:“您看上去不错,可是我得先给您一个测试。” 消防队长带数学家到消防队后院小巷,巷子里有一个货栈、 一只消火栓和一卷软管。 消防队长问:“假设货栈起火,您怎么办?” 数学家 回答:“我把消火栓接到软管上,打开水龙,把火浇灭。” 消防队长说:“完全正确!最后一个问题:假设您走进小巷, 而货栈没有起火,您怎么办?” 数学家疑惑地思索了半天,终于答道:“我就把货栈点着。” 消防队长大叫起来:“什么?太可怕了!您为什么要把货栈 点着?” 数学家回答:“这样我就把问题简化为一个我已经解决过的 问题了。”


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