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充分条件与必要条件练习题及答案


例 1 已知 p:x1,x2 是方程 x2+5x-6=0 的两根,q:x1+x2=-5,则 p 是 q的 [ A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 分析 利用韦达定理转换. 解 ∵x1,x2 是方程 x2+5x-6=0 的两根, ]

∴x1,x2 的值分别为 1,-6, ∴x1+x2=1-6=-5.

因此选 A. 说明:判断命题为假命题可以通过举反例. 例 2 p 是 q 的充要条件的是 [ A.p:3x+2>5,q:-2x-3>-5 B.p:a>2,b<2,q:a>b C.p:四边形的两条对角线互相垂直平分,q:四边形是正方形 D.p:a≠0,q:关于 x 的方程 ax=1 有惟一解 分析 逐个验证命题是否等价. 解 对 A.p:x>1,q:x<1,所以,p 是 q 的既不充分也不必要条件; 对 B.p q 但 q p,p 是 q 的充分非必要条件; 对 C.p q 且 q p,p 是 q 的必要非充分条件; ]

对D.p ? q且q ? p,即p ? q,p是q的充要条件.选D.
说明:当 a=0 时,ax=0 有无数个解. 例 3 若 A 是 B 成立的充分条件,D 是 C 成立的必要条件,C 是 B 成立的充 要条件,则 D 是 A 成立的 [ ] A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 分析 通过 B、C 作为桥梁联系 A、D. 解 ∵A 是 B 的充分条件,∴A B① ∵D 是 C 成立的必要条件,∴C D②

∵C是B成立的充要条件,∴C ? B③
由①③得 A C④ 由②④得 A D. ∴D 是 A 成立的必要条件.选 B. 说明:要注意利用推出符号的传递性.

例 4 设命题甲为:0<x<5,命题乙为|x-2|<3,那么甲是乙的 [ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 分析 先解不等式再判定. 解 解不等式|x-2|<3 得-1<x<5. ∵0<x<5 -1<x<5,但-1<x<5 0<x<5 ∴甲是乙的充分不必要条件,选 A. 说明:一般情况下,如果条件甲为 x∈A,条件乙为 x∈B. ]

当且仅当A ? B时,甲为乙的充分条件; 当且仅当A ? B时,甲为乙的必要条件;
当且仅当 A=B 时,甲为乙的充要条件. 例 5 设 A、B、C 三个集合,为使 A (B∪C),条件 A B是 [ A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 分析 可以结合图形分析.请同学们自己画图. ]

∴A

(B∪C).

但是,当 B=N,C=R,A=Z 时, 显然 A (B∪C),但 A B” “A B 不成立, “A (B∪C)” ,而

综上所述: “A “A 即“A (B∪C)”

B” .

B”是“A

(B∪C)”的充分条件(不必要).选 A.

说明:画图分析时要画一般形式的图,特殊形式的图会掩盖真实情况. 例 6 给出下列各组条件: (1)p:ab=0,q:a2+b2=0; (2)p:xy≥0,q:|x|+|y|=|x+y|; (3)p:m>0,q:方程 x2-x-m=0 有实根; (4)p:|x-1|>2,q:x<-1. 其中 p 是 q 的充要条件的有 [ A.1 组 B.2 组 C.3 组 D.4 组 分析 使用方程理论和不等式性质. 解 (1)p 是 q 的必要条件 ]

(2)p 是 q 充要条件 (3)p 是 q 的充分条件 (4)p 是 q 的必要条件.选 A. 说明:ab=0 指其中至少有一个为零,而 a2+b2=0 指两个都为零.

?x 1 > 3 ?x 1 ? x 2 > 6 例7 ? 是? ?x 2 > 3 ?x 1 x 2 > 9



条件.

分析 将前后两个不等式组分别作等价变形,观察两者之间的关系.

解 x 1 > 3且x 2 > 3 ? x 1 +x 2 > 6且x 1 x 2 > 9 ,但当取x 1 =10,x 2 = 2 时, ?x 1 ? x 2 > 6 ?x 1 > 3 成立,而 ? 不成立 (x 2 = 2 与x 2 > 3矛盾) ,所以填“充分不 ? ?x 1 x 2 > 9 ?x 2 > 3 必要”.
?x 1 > 3 ?x 1 - 3> 0 说明: ? ?? ?x 2 > 3 ?x 2 - 3> 0

?(x 1 - 3) + (x 2 - 3) > 0 ?? ? ?(x 1 - 3)(x 2 - 3) > 0 ?x 1 +x 2 > 6 这一等价变形方法有时会用得上. ? ?x 1 x 2 - 3(x 1 +x 2 ) + 9 > 0
例 8 已知真命题“a≥b c>d”和“a<b e≤f” ,则“c≤d”是“e≤f” 的________条件. 分析 ∵a≥b c>d(原命题), ∴c≤d a<b(逆否命题). 而 a<b e≤f, ∴c≤d e≤f 即 c≤d 是 e≤f 的充分条件. 答 填写“充分” . 说明:充分利用原命题与其逆否命题的等价性是常见的思想方法. 例 9 ax2+2x+1=0 至少有一个负实根的充要条件是 [ ] A.0<a≤1 B.a<1 C.a≤1 D.0<a≤1 或 a<0 分析 此题若采用普通方法推导较为复杂,可通过选项提供的信息,用排除 法解之.当 a=1 时,方程有负根 x=-1,当 a=0 时,x=

1 - .故排除A、B、D选C. 2 1 解 常规方法:当a=0时,x=- . 2
当 a≠0 时

1.a> 0,则ax 2 + 2x+1= 0至少有一个负实根 ? ? ?2 1-a < 2 ? 0<a≤1. 2 .a< 0,则ax 2 + 2x+1= 0至少有一个负实根 ? ? 2 > 2 1-a > 2 ? 1-a>1 ? a< 0.
综上所述 a≤1.

? 2 ? 4 ? 4a <0 2a

? 2 ? 4 ? 4a <0 2a

即 ax2+2x+1=0 至少有一个负实根的充要条件是 a≤1. 说明:特殊值法、排除法都是解选择题的好方法. 例 10 已知 p、q 都是 r 的必要条件,s 是 r 的充分条件,q 是 s 的充分条件, 那么 s,r,p 分别是 q 的什么条件? 分析 画出关系图 1-21,观察求解.

解 s 是 q 的充要条件;(s r q,q s) r 是 q 的充要条件;(r q,q s r) p 是 q 的必要条件;(q s r p) 说明:图可以画的随意一些,关键要体现各个条件、命题之间的逻辑关系. 例 11 关于 x 的不等式

(a ? 1) 2 (a ? 1) 2 |≤ 与x 2 - 3(a+1)x+ 2(3a+1) ≤ 0的解集依次为A 2 2 与B,问“A ? B”是“1≤a≤ 3或a=-1”的充要条件吗? |x-
分析 化简 A 和 B,结合数轴,构造不等式(组),求出 a. 解 A={x|2a≤x≤a2+1},B={x|(x-2)[x-(3a+1)]≤0}

1 当2 ≤3a+1即a≥ 时, 3
B={x|2≤x≤3a+1}.

?2a≥ 2 A? B? ? 2 ? 1≤a≤ 3 ?a + 1≤ 3a + 1 1 当 2 > 3a+1即a< 时, 3
B={x|3a+1≤x≤2}

?2a≥ 3a + 1 A? B?? 2 ? a=-1. ?a + 1≤ 2 综上所述:A ? B ? a=-1或1≤a≤ 3. ∴“A ? B”是“1≤a≤ 3或a=-1”的充要条件.
说明:集合的包含关系、命题的真假往往与解不等式密切相关.在解题时要

理清思路,表达准确,推理无误.

例12 x>y,xy> 0是

1 1 < 的必要条件还是充分条件,还是充 x y

要条件? 分析 将充要条件和不等式同解变形相联系.

解 1.当

1 1 1 1 y?x < 时,可得 - < 0即 <0 x y x y xy

?y-x> 0 ?y-x< 0 则? 或? ?xy< 0 ?xy> 0, ?x<y ?x>y 即? 或? ?xy< 0 ?xy> 0,

?x<y 1 1 故 < 不能推得x>y且xy>0( 有可能得到 ? ) ,即x>y且xy x y xy<0 ? 1 1 >0并非 < 的必要条件. x y
?x>y ?x>y ? ? 2 .当x>y且xy> 0则分成两种情况讨论: ?x> 0或 ?x< 0 ? ? ?y> 0 ?y< 0 1 1 不论哪一种情况均可化为 < . x y 1 1 ∴x>y且xy> 0是 < 的充分条件. x y
说明:分类讨论要做到不重不漏. 例 13 设α ,β 是方程 x2-ax+b=0 的两个实根,试分析 a>2 且 b>1 是两 根α ,β 均大于 1 的什么条件? 分析 把充要条件和方程中根与系数的关系问题相联系,解题时需

要搞清楚条件p与结论q分别指什么.然后再验证是p ? q还是q ? p还是 p ? q.

?a> 2 解 据韦达定理得:a=α +β ,b=α β ,判定的条件是p: ? ?b>1 ?α >1 结论是q: ? ( 还要注意条件p中,a,b需要满足大前提Δ =a 2 - 4b ?β >1 ≥ 0)

?α >1 (1) 由 ? 得a=α +β > 2 ,b=α β >1, ?β >1
∴q p.

上述讨论可知:a>2,b>1 是α >1,β >1 的必要但不充分条件. 说明:本题中的讨论内容在二次方程的根的分布理论中常被使用. 例 14 (1991 年全国高考题)设甲、乙、丙是三个命题,如果甲是乙的必要条 件,丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,那么 [ ] A.丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件 B.丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件 C.丙是甲的充要条件 D.丙不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件 分析 1:由丙 乙 甲且乙 丙,即丙是甲的充分不必要条件. 分析 2:画图观察之. 答:选 A. 说明:抽象命题之间的逻辑关系通常靠画图观察比较方便


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