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贵州省遵义航天高级中学2016届高三高考冲刺押题卷(十二模)数学(理)试题


2016 届高三第十二次模拟考试

理科数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第 22~24 题为选考题,其它 题为必考题。考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。考试结束后,将本试卷和答题卡 一并交回。 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的姓名、准考 证

号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号;非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损。 5.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的. 1.集合 A ? y y ? A. ? 2.复数

?

x ,0 ? x ? 4 , B ? ?x x2 ? x ? 0?,则A ? B ? (
B. ?1, 2? ) C. ?i D. i ) C.

?



0 ? ? ?1, 2? ? ??,

D.

1? ? ? 2, ? ?? ? ??,

2?i 的共轭复数是( 1 ? 2i 3 3 A. ? i B. i 5 5
A.2 C.4

3.若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是( B.3 D.5

4.已知等比数列 ?an ? 中, a3 ? 4 , a6 (A)

?

1 ,则公比 q =( 2
(D) ? 2



1 2

(B) ?

1 2

(C)2

? ? ? ? ? ? ? ? 5.已知向量 a , b 满足 a ? b ? ?1, ?3? , a ? b ? ? 3, 7 ? ,则 a ? b ? (
A. ? 12 B. ? 20 ) C. 12 D. 20


[Z-XK]

6.下列说法中正确的是:( A.若命题
2

p : ?x0 ? R, x0 ? x0 ? 1 ? 0, 则 ?p : ?x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0

B.命题“若圆 C : ?x ? m ?1? ? ( y ? m)2 ? 1 与两坐标轴都有公共点,则实数 m ? [0,1]”的逆否命题为真
2

命题 C.若α ∈R,则“α =0”是“sin α ? cos α ”的必要不充分条件 D.已知随机变量 X ~ N (2,? 2 ) ,若 P( X ? a) ? 0.32 ,则 P ( X ? 4 ? a ) ? 0.68

?x ? y ? 1 ? 0 ? 7.已知实数 x, y 满足不等式组 ? x ? y ? 3 ,则 z ? x ? 2 y 的最小值为( ?x ? 2 y ? 0 ?
A、 ? 4 表面积是( A、 3 2 ? 3 ) B、 3( 15 ? 3) C、 3 15 ? 3 2 B、 5 C、 4 D、无最小值



8.已知正三棱锥 P ? ABC 的外接球的半径为 2,且球心在点 A,B,C 所确定的平面上,则该正三棱锥的 D 3( 2 ? 3) )

9.奇函数 f ( x) 的定义域为 R ,若 f ( x ? 2) 为偶函数,且 f (1) ? 1, 则f (8) ? f (9) ? ( A.-2 B.-1 C.0 D.1

10.数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 ,对任意的 n ? N * 都有 an?1 ? a1 ? an ? n , 则
1 1 1 ? ( ? ? ......? a2016 a1 a2
2015 2016
2

) C.
4034 2017

A.

B.

2016 2017

D.

4032 2017

11.已知双曲线 x ?

y2 ? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,双曲线的离心率为 e,若双曲线上一点 P 使 3


sin ?PF2 F1 ? e ,则 F2 P ? F2 F1 的值为( sin ?PF1 F2
A.3 B 2 C

?3

D

?2

12.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足:当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? sin x ,若不等式 f (?4t ) ? f (2m ? mt2 ) 对任意实数 t 恒成立,则实数 m 的取值范围是 ( A. (??,? 2 ) C B D )

(? 2 ,0)
(??,? 2 ) ? ( 2,??)
5 ,则 sin2 ? = 13

(??,0) ? ( 2,??)

二.填空题 13.已知 ? 是第三象限角, cos ? ? ?

14.某几何体的三视图如图所示 (单位: cm) ,则该几何体的体积是

cm3

m 15.若 ? (2 x ? 1)dx ? 6 ,则二项式 (1 ? 2 x)3m 的展开式各项系数和为 1



16.在 ?ABC 中, AB ? AC ? 2 AM , AM ? 1 ,点 P 在 AM 上且满足 AP ? 2PM ,则

PA? (PB ? PC) ?
三、解答题(本大题共计 70 分,解答应写出说明文字、证明过程或演算步骤) 。 17.(本小题满分 12 分)在 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A 、 B 、 C 的对边, D 为边 AC 的中点,
a ? 3 2,cos ?ABC ? 2 4

(1)若 c ? 3 ,求 sin ?ACB 的值; (2)若 BD ? 3 ,求 ?ABC 的面积.
18.(本小题满分 12 分) 甲、乙、丙三人参加微信群抢红包游戏,规则如下:每轮游戏发 50 个红包,每个 红包金额为 x 元, x ? ?1, 5? .已知在每轮游戏中所产生的 50 个红包金额的频率分布直方图如图所示. (I) 求 a 的值,并根据频率分布直方图,估计红包金额的众数; (II) 以频率分布直方图中的频率作为概率,若甲、乙、丙三人从中各抢到一个红包,其中金额在 ?1, 2 ? 的红 包个数为 X ,求 X 的分布列和期望.

19.(本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P - ABCD 中, PA ? 底面 ABCD , AD ? AB , AB // DC ,

AD = DC = AP = 2 , AB = 1 ,点 E 为棱 PC 的中点.
(Ⅰ)证明 BE ? DC ; (Ⅱ)若 F 为棱 PC 上一点,满足 BF ? AC , 求二面角 F - AB - P 的余弦值.

20.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的中心在原点 O ,焦点在 x 轴上,离心率为 离为 1 . (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程;

1 ,右焦点到右顶点的距 2

(Ⅱ)是否存在与椭圆 C 交于 A, B 两点的直线 l : y ? kx ? m(k ? R) ,使得 OA? OB ? 0 成立?若存在, 求出实数 m 的取值范围,若不存在,请说明理由.

21. (满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ?a ln x ? (a ? 1) x ? (1)讨论 f ( x) 的单调性 (2)若 f ( x) ? ? .

1 2 x (a ? 0) 2

1 2 x ? ax ? b 恒成立,求实数 ab 的最大值. 2

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅笔在答题 卡上把所选题目的题号涂黑. 22. (本题满分 10 分)选修 4—1;几何证明选讲 如图所示,已知圆 O 外有一点 P ,作圆 O 的切线 PM , M 为切点,过 PM 的中点 N ,作割线 NAB ,交圆于 A 、

B 两点,连接 PA 并延长,交圆 O 于点 C ,连接 PB 交圆 O 于点 D ,若 MC ? BC .
(1)求证:△ APM ∽△ ABP ; (2)求证:四边形 PMCD 是平行四边形. 23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中, 设倾斜角为α的直线 l:?

?x ? 1 ? t cos? (t 为参数) y ? t sin ? ?

与曲线 C: ?

? x=2cos? (θ为参数)相交于不同的两点 A,B. ?y=sin?

(Ⅰ)若α=

? ,求线段 AB 中点 M 的坐标: 3
2

(Ⅱ)若|PA|·|PB|=|OP| ,其中 P(1,0) ,求直线 l 的斜率. 24. (本题满分 10 分)选修 4—5;不等式选讲 已知函数 (1)求实数 m 的取值范围 B; (2)若 a, b, c ? ? 0, ??? , m0 为 B 中的最小元素且

f ( x) ? m? | x ? 2 |, m ? R ,且 f ( x ? 2) ? 1 的解集 A 满足 ? ?1,1? ? A .
9 1 1 1 ? ? ? m0 ,求证: a ? 2b ? 3c ? . 2 a 2b 3c

2016 届高三第十二次模拟考试

数学答案(理科)
一.选择题 BCCAA BCBDD BA 二.填空题 13、

120 169

14、

16 3

15、 -1;

16、 ?

4 9

17 解:(Ⅰ) a ? 3 2 , cos?ABC ?

2 ,c ? 3, 4 由余弦定理: b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2c ? a ? cos?ABC 2 = 32 ? (3 2 ) 2 ? 2 ? 3 2 ? 3 ? ? 18 ,………………………………2 分 4 ? b ? 3 2 . ……………………………………………………………………4 分 14 又 ?ABC ? (0, ? ) ,所以 sin ?ABC ? 1 ? cos2 ?ABC ? , 4 c b ? 由正弦定理: , sin ?ACB sin ?ABC c ? sin ?ABC 7 得 sin ?ACB ? .………………………………………6 分 ? b 4
(Ⅱ) 以 BA,BC 为 邻 边 作 如 图 所 示 的 平 行 四 边 形 ABCE , 如 图 , 则

cos?BCE ? ? cos?ABC ? ?

BE ? 2BD ? 6, 在△BCE 中,
2

2 ,…………………8 分 4

E

由余弦定理: BE 2 ? CB2 ? CE2 ? 2CB ? CE ? cos ?BCE .

A
D B C

2 即 36 ? CE ? 18 ? 2 ? 3 2 ? CE ? (? ), 4 解得: CE ? 3, 即 AB ? 3, …………………10 分
所 以

S?ABC ?

1 acs ?A 2

?

9 7 .…………………………………………12 分 4

i

B

18.解:(I)由题可得: (0.18 ? 0.2 ? 0.32 ? a) ?1 ? 1,? a ? 0.3 众数为 2.5 .﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍4 分 (II)由频率分布直方图可得,红包金额在 1, 2 ? 的概率为

?

1 1 ,则 X ? B (3, ) , .﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍6 分 5 5

? X 的取值为 0,1, 2,3

4 64 0 P(X ? 0)=C3 ? ( )3 ? 5 125 4 1 12 2 P(X ? 2)=C3 ? ( )1 ? ( ) 2 ? 5 5 125
? X 的分布列为:

4 2 1 48 P(X ? 1)=C1 ? 3 ?( ) ? 5 5 125 1 3 1 P(X ? 3)=C3 . 3 ?( ) ? 5 125

X P

0
64 125

1

48 125

2 12 125

3
1 125
.﹍﹍﹍10 分

? E (X) ? 0 ?

64 48 12 1 3 ? 1? ? 2? ? 3? ? 125 125 125 125 5

(或 E (X) ? 3 ?

1 3 ? ). 5 5

分别为x, y, z轴正方向建立空间直角 坐标系 19 ?1?? PA ? 平面ABCD, AD ? AB,?以AB, AD, AP
向量

BE ? (0,1,1), DC ? (2,0,0),



BE ? DC ? 0

.所以

BE ? DC .



2



.





BC ? (1,2,0), CP ? (?2,?2,2), AC ? (2,2,0), AB ? (1,0,0).
由点 F 在棱 PC 上,设 CF 故 BF

? ? CP ,0 ? ? ? 1.

? BC ? CF ? BC ? ? CP ? (1 ? 2? ,2 ? 2? ,2? ) .由 BF ? AC ,得 BF ? AC ? 0 ,因

此, 2(1 ? 2? ) ? 2(2 ? 2? ) ? 0 ,解得 ?

?

3 . 4

即 BF

?n ? AB ? 0, 1 1 3 ? (? , , ). 设 n1 ? ( x, y, z) 为平面 FAB 的法向量,则 ? 1 2 2 2 ?n1 ? BF ? 0,
的一个法向量 . 取平面

x?0 ? ? 1 1 3 即? . 不妨令 z ? 1 ,可得 n1 ? (0,?3,1) 为平面 FAB ? x ? y ? z?0 ? ? 2 2 2
ABP 的法向量 n2 ? (0,1,0) ,
则 cos

n1 , n2 ?

n1 ? n2 ?3 3 10 ? ?? . n1 ? n2 10 10 ? 1

易知,二面角 F

? AB ? P 是锐角,所以其余弦值为

3 10 . 10

法二: (1)取 PD 中点 M,连接 EM,AM.由于 E,M 分别为 PC,PD 的中 点,故 EM//DC,且 EM=

1 DC,又由已知,可得 EM//AB 且 EM=AB,故 2

四边形 ABEM 为平行四边形,所以 BE//AM. 因为 PA ? 底面 ABCD, 故 PA ? CD, 而 CD ? DA, 从而 CD ? 平面 PAD, 因为 AM ? 平面 PAD,于是 CD ? AM,又 BE//AM,所以 BE ? CD.

(2)如图,在三角形 PAC 中,过点 F 作 FH//PA,交 AC 与 H.因为 PA ? 底面 ABCD,故 FH ? 底面 ABCD,从而 FH ? AC. 又 BF ? AC, 得 AC ? 平面 FHB,因此 AC ? BH. 在地面 ABCD 内,可得 CH=3HA, 从而 CF=3FP. 在平面 PDC 内,作 FG//DC 交 PD 于 G,于是 DG=3GP. 由 于 DC//AB , 故 GF//AB , 所 以 A,B,F,G 四 点 共 面 . 由 AB ? PA,AB ? AD,得 AB ? 平面 PAD,故 AB ? AG.所以 ? PAG 为二 面角 F-AB-P 的平面角. 在 ? PAG 中,PA=2,PG=

1 2 0 PD= , ? APG= 45 ,由余弦定理可 4 2

得 AG=

3 10 3 10 10 , cos?PAG ? .所以,二面角 F-AB-P 的余弦值为 2 10 10

20.(本小题满分 12 分)

x2 y 2 c 1 (Ⅰ)设椭圆 C 的方程为 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0? ,半焦距为 c . 依题意 e ? ? ,由右焦点到右顶 a 2 a b 2 2 2 点的距离为 1 ,得 a ? c ? 1 .解得 c ? 1 , a ? 2 .所以 b ? a ? c ? 3 . x2 y 2 ? ? 1.???4 分 所以椭圆 C 的标准方程是 4 3
(Ⅱ)解:存在直线 l ,使得 OA? OB ? 0 成立.理由如下:

? y ? kx ? m, ? 2 2 2 由 ? x2 y 2 得 (3 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4m ?12 ? 0 . ? 1, ? ? 3 ?4 ? ? (8km)2 ? 4(3 ? 4k 2 )(4m2 ?12) ? 0 ,化简得 3 ? 4k 2 ? m2 .
4m 2 ? 12 8km x x ? , . 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 ??? ? ??? ? 若 OA ? OB ? 0 .所以 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . x1 x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? 0 ,
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?

4m2 ? 12 8km ? km ? ? m2 ? 0 , 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 7 7 2 2 2 m 2 ? 1 代入 3 ? 4k 2 ? m2 中, 3 ? 4( m 2 ? 1) ? m 2 ,解得, 化简得, 7m ? 12 ? 12k .将 k ? 12 12 12 3 m2 ? .又由 7m2 ? 12 ? 12k 2 ? 12 , m 2 ? , 7 4 12 2 2 2 21 或 m ? ? 21 . 从而 m ? ,m ? 7 7 7 2 2 21] ? [ 21, ??) . 所以实数 m 的取值范围是 (??, ? ?12 分 7 7

(1 ? k 2 ) x1x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 ? 0 , (1 ? k 2 ) ?

a ? x 2 ? (a ? 1) x ? a ( x ? a)(? x ? 1) ? ? 21. (1) f ( x) ? ? ? a ? 1 ? x ? x x x ?a ( x ? a)( x ? 1) f ?( x) ? ? (a ? 1) ? x ? ? x x

①当 a ? 1 时, f ?( x) ? ?

( x ? 1) 2 ? 0 ,∴ f ( x) 在 (0,??) 上单调递减 x

②当 0 ? a ? 1 ,由 f ?( x) ? 0 解得 a ? x ? 1 ,∴ f ( x) 的单调递增区间为 (a,1) 单调递减区间是 (0, a ) 和 (1,??) ③当 a ? 1 时,同理可得 f ( x) 的单调递增区间为 (1, a ) ,单调递减区间是 (0,1) 和 ( a,??) 终上所述: (2) )? f ( x) ? ?

1 2 x ? ax ? b 恒成立, 2 1 1 ??a ln x ? (a ? 1) x ? x 2 ? ? x 2 ? ax ? b 恒成立, 2 2 即 a ln x ? x ? b ? 0 恒成立, a a?x 令 g ( x) ? a ln x ? x ? b( x ? 0), g ?( x) ? ? 1 ? , x x ? g ( x) 在 (0, a ) 上递增, (a, ??) 上递减, ? g ( x)max ? g (a) ? a ln a ? a ? b ? 0 ,

?b ? a ? a ln a,?ab ? a2 ? a2 ln a ,
令 h( x) ? x ? x ln x( x ? 0) , h?( x) ? x ? 2 x ln x ? x(1 ? 2ln x) , ? h( x) 在 (0, e 2 ) 上 递 增 , 在
2 2

1

(e 2 , ??) 上递减,? h( x) max ? h(e 2 ) ?
e ? 实数 ab 的最大值为 . 2

1

1

e e ,? ab ? , 2 2

22.【解析】 (1)∵ PM 是圆 O 的切线, NAB 是圆 O 的割线, N 是 PM 的中点,

PN NA ? ,又∵ ?PNA ? ?BNP , ∴△ PNA ∽△ BNP , BN PN ∴ ?APN ? ?PBN , 即 ?APM ? ?PBA .∵ MC ? BC , ∴ ?MAC ? ?BAC , ∴ ?MAP ? ?PAB , ∴△ APM ∽△ ABP. (5 分) (2)∵ ?ACD ? ?PBN ,∴ ?ACD ? ?PBN ? ?APN ,即 ?PCD ? ?CPM , ∴ PM // CD , ∵△ APM ∽△ ABP,∴ ?PMA ? ?BPA , ∵ PM 是圆 O 的切线,∴ ?PMA ? ?MCP ,∴ ?PMA ? ?BPA ? ?MCP ,即 ?DPC ? ?MCP , ∴ MC // PD , ∴四边形 PMCD 是平行四边形. (10 分)
2 2 ∴ MN ? PN ? NA ? NB , ∴

23. .解析: (1)将曲线 C 的参数方程化为普通方程是

x2 ? ? y 2 ? 1 .当 ? ? 时,设点 M 对应的参数为 t0 .直 3 4

1 ? x ?2? t ? 2 x2 ? 线 l 方程为 ? ( t 为参数) ,代入曲线 C 的普通方程 ? y 2 ? 1 ,得 13t 2 ? 56t ? 48 ? 0 , 4 ?y ? 3 ? 3 t ? ? 2

设直线 l 上的点 A , B 对应参数分别为 t1 , t2 .

则 t0 ?

t1 ? t2 12 3 28 ? ? ,所以点 M 的坐标为 ( , ? ). 2 13 13 13

……………………5 分

? x2 ? x ? 2 ? t cos ? (2) 将 ? 代入曲线 C 的普通方程 ? y 2 ? 1 , 4 ? ? y ? 3 ? t sin ?
得 (cos2 ? ? 4sin 2 ? )t 2 ? (8 3sin ? ? 4cos ? )t ? 12 ? 0 ,

12 , | OP |2 ? 7 , 2 cos ? ? 4sin ? 12 5 所以 ? 7 ,得 tan 2 ? ? . 2 2 16 cos ? ? 4sin ?
因为 | PA | ? | PB |?| t1t2 |?
2

由于 ? ? 32cos? (2 3sin ? ? cos ? ) ? 0 ,

5 5 .所以直线 l 的斜率为 . ………………………10 分 4 4 24.【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法及柯西不等式的应用,意在考查代数变形能力.
故 tan ? ? 【解析】 (1)因为 f ( x ? 2) ? m? | x | ,所以 f ( x ? 2) ? 1 等价于 x ? m ?1 ,由 ? ?1,1? ? A 知 A 是非空集合, 所以 1 ? m ? x ? m ? 1 ,结合 ? ?1,1? ? A 可得 m ? 1 ? 1 ? m ? 2 ,即 实数 m 的取值范围是 ? 2, ?? ? (5 分) (2)由(1)知 m0 ? 2 ,所以

1 1 1 ? ? ?2 a 2b 3c
2

1 1 1 ? 9 1 ?1 1 1 ? ? ? 2b ? ? 3c ? ? ? ?? a? ∴ a ? 2b ? 3c ? ? a ? 2b ? 3c ? ? ? ? ? 2 . (10 分) 2 a 2b 3c ? ? a 2b 3c ? ?


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