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2015届呼和浩特市高三年级质量普查调研考试(理)(扫描版)


2015 年呼和浩特市高三年级质量普查调研考试(一模)2015.3.12 理科数学参考答案及评分标准 一.选择题(每小题 5 分,共 60 分)
题号 答案 1 D 2 B 3 C 4 C 5 A 6 D 7 D 8 B 9 A 10 D 11 B 12 A

二.填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. 3 三.解答题
17

.解:⑴ 据题意 f ? x ? ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 ? 2sin ? 2 x ? 由 2 k? ?

14.1 或-2

15.②③

16. ?2n2 ? 4n ? 2

? ?

??

??2 6?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

3? ? 2? , k ? Z ,得 k? ? ? x ? k? ? ,k ?Z , 2 6 3

故,单调递减区间为 ? k? ?

? ?

?
6

, k? ?

2? ? ,k ?Z . 3 ? ?

………………………………………………………………………………………5 分 ⑵ 由⑴可知 f ? C ? ? 2sin ? 2C ? 由 C ? ? 0, ? ? ,可知 2C ?

? ?

??

?? 1 ? ? ? 2 ? ?1 ,整理可得 sin ? 2C ? ? ? , 6? 6? 2 ?
? ? ? ,进而可得 C ? 3 ……………8 分 ?
a 2 ? b 2 ? c 2 a 2 ? 9a 2 ? 7 1 ? ? , 2ab 6a 2 2

?

? ? 13? ?? , 6 ?6 6

由 3sin A ? sin B , 得 3a ? b , 又由余弦定理可知 cos C ?

解得 a ? 1, b ? 3 ,故 S

?ABC

1 3 3 ………………12 分 ? ab sin C ? 2 4

18.证明: (Ⅰ) 如图, 连接 NB , 交 MC 与点 G , 则 EG 是 ?ABN 的一条中位线,故 EG //AN ; ∵ EG ? 平面MEC ∴AN∥平面 MEC………………………………5 分

(Ⅱ)如图,建立空间直角坐标系, D ? DA ? DF ? DN ,其中
F



BC









3 3 N (0, 0,1) , M (2, 0,1), A(2, 0, 0), E ( , , 0), B(1, 3, 0), F (0, 3, 0), C ( ?1, 3, 0) ,所以, 2 2 ?? ???? 平面 AMN 的法向量为 n1 ? DF ? (0, 3,0) ………………………………7 分

?? ? ?? ? ???? ?? ? ??? ? 设平面 BMC 的法向量为 n2 ? ( x, y) ,则可列方程为: n2 ? MB ? 0, 且n2 ? BC ? 0 ,即 ?? 设平面 AMN 与平面 BMC 所成二面 ?x ? 3 y ? z ? 0, 且 ? x ? 0 ,所以 n1 ? (0,1, 3) ,
?? ?? ? | n1 ? n2 | 1 ? ? ? , 故? = . ……………………12 分 角的平面角为 ? ,则 | cos ? |? ?? ?? 3 | n1 | ? | n2 | 2
4 1 3 1 3 3 21 19.解: (1) P(? ? 300) ? ? ? ? ? ? ? ………………………3 分 5 4 5 5 4 5 100

(2)分布列如下:……………………………………………………9 分

?
P

0
1 50

100
7 50

200
27 100

300
21 100

400
9 25

(3)由分布列可知 E (? ) ? 275,所以公益基金数为 2750 元…………12 分 x2 y2 20.解;(1)因为依题意 a=5,c=3,所以椭圆 C 的方程为 + =1………2 分 25 16 16 2 9 2 2 2 2 2 (2)设 Q(x, y),-5≤x≤5, 所以|MQ| =(x-2) +y =x -4x+4+16- x = x 25 25 -4x+20. 50 因为对称轴 x= >5,所以当 x=5 时,|MQ|2 达到最小值, 9 所以当|MQ|最小时,Q 的坐标为(5,0).……………………………………….7 分

4 x2 y 2 (3)解:将 y ? ( x ? m)与 ? ? 1联立,消去y,整理得 5 25 16 2 x 2 ? 2mx ? m 2 ? 25 ? 0; ? ? 0, 解得 |m| ? 5; 设A(x1,y1 ),B(x 2,y 2), ? ? =|PA|2 +|PB|2
2 ? ( x1 ? m) 2 ? y12 ? ( x2 ? m) 2 ? y2

41 [( x1 ? m) 2 ? ( x2 ? m) 2 ] 25 41 ? [( x1 ? x2 ) 2 ? 2 x1 x2 ? 2m( x1 ? x2 ) ? 2m 2 ] 25 41 ? [m 2 ? (m 2 ? 25) ? 2m 2 ? 2m 2 ] 25 41 ? ? 25 25 ? 41, 故?与m无关。 ?

……………………………………………………………12 分 21.解(1)由题意, h( x) ? ln x ? ax2 ( x ? 0), 所以, h?( x) ?
1 1 ? 2ax 2 ? 2ax ? , x x

所以,当 a ? 0, h?( x) ? 0, h( x)单调递增;
当 a ? 0, f ( x)的单增区间为(0, ,

1 1 ),单间区间为( , +?). ………….4 分 2a 2a

(2)设函数 y ? f ( x)与y ? g ( x) 的图象的公共点 P( x0 , y0 ) ,则有
2 lnx0 ? ax0 ? x0



又在点 P 有共同的切线 ∴ f ' ( x0 ) ? g ' ( x0 ) ?

1 ? x0 1 代入①得 ? 2ax0 ? 1 ? a ? 2 x0 2 x0

lnx0 ?

1 1 ? x0 2 2 1 1 1 1 ? x ? H '( x) ? ? ? 0( x ? 0) 2 2 x 2
…………………………………….7 分

设 H ( x) ? lnx ?

所以函数 H(x)最多只有 1 个零点,观察得 x0=1 是零点 ∴a ?1 ,此时P(1 , 0)

(Ⅲ) 不妨设 M ( x1,y1 ),N( x2,y2 ),且x1 ? x2, 则 MN 中点的坐标为 ?

? x1 ? x2 y1 ? y2 ? , ? 2 ? ? 2

以 S 为切点的切线 l1 的斜率 k S ? f ' ?

2 ? x1 ? x2 ? ?? ? 2 ? x1 ? x2

以 T 为切点的切线 l2 的斜率 kT ? g ' ?

? x1 ? x2 ? ? ? a( x1 ? x2 ) ? 1 ? 2 ?


如果存在 a 使得 k S ? kT ,即
2

2 ? a( x1 ? x2 ) ? 1 x1 ? x2
2

而且有 lnx1 ? ax1 ? x1和lnx2 ? ax2 ? x2 ………………9 分 如果将①的两边乘 x1-x2 得

2( x1 ? x2 ) 2 ? a( x12 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) x1 ? x2

即,

2( x1 ? x2 ) x 2 ? ax12 ? x1 ? (ax2 ? x2 ) ? lnx1 ? lnx2 ? ln 1 x1 ? x2 x2
2( x1 ? 1) x2 . x1 ?1 x2

即, ln

x1 ? x2

设? ?

x1 2( ? ? 1) ,( ? ? 1) ? 1, 则有 ln ? ? ? ?1 x2
2( ? ? 1) , ( ? ? 1) 的单调性不难发现, ? ?1

考察 F ( ? ) ? ln ? ?

F (? )在[1, ??)上单调递增,故F (? ) ? F (1) ? 0,
所以,满足条件的实数 a 并不存在。………………………………….12 分 (1)连接 22.证明: 又 又 所以 、 ,则

是 BC 的中点,所以 , 所以 所以 、 、 …………3 分 、 四点共圆 ………..5 分

(2)延长

交圆

于点

因为

.…………………7 分 所以

所以,

……………………………10 分

23.(1)设点 Q( ?1 ,? ) ,则 ?1 ? 2? ? 8sin ? , 故点 Q 的轨迹 C2 的极坐标方程为 ? ? 8sin ? ;…………………………5 分 (2)由题, A, B 两点中必有一个是极点,不妨 A 为极点,则 B( ? ,? ) ,由题, ? ? 4 2 , 即 8sin ? ? 4 2, 所以 sin ? ?

2 , 则 a ? tan ? ? (??, ?1] ? [1, ??). ………………10 分 2

? ?2 x ? 4, x ? 1 ? 24.⑴解: f ( x ) ?| x ? 3 | ? | x ? 1 |? ?2, 1 ? x ? 3 ,解集为 (?1,5) ………………5 分 ?2 x ? 4, x ? 3 ?

| a ? 1 |? ⑵证明:∵ | x ? a | ? | x ? 1 |?| 1 ? a | ?
又∵ a ? b ? c ? 1, (b ? c) 2 ? 2(b 2 ? c 2 )

a 2 ? b2 ? c 2 b?c

?(1 ? a)2 ? 2a 2 ,
又∵ 0 ? a ? 1 ?0 ? a ?

2 ? 1 ……………………………………………..10 分


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