tceic.com
简单学习网 让学习变简单
相关标签
当前位置:首页 >> 数学 >>

2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第九章 9.1


数学

北(文)

§9.1 直线的方程
第九章 平面解析几何

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

1.直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 ①定义:在平面直角坐标系中,对于一条与 x轴相交的直 线l,把x轴(正方向)按 逆时针 方向绕着交点旋转到和

直 线l重合所成的角,叫作直线l的倾斜角.当直线l与x轴平 行或重合时,规定它的倾斜角为 0° . ②倾斜角的范围为 [0°,180°) .
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

(2)直线的斜率 ①定义:一条直线的倾斜角α的 正切值 叫做这条直线的 斜率,斜率常用小写字母k表示,即k= 是90° 的直线斜率不存在. ②过两点的直线的斜率公式:经过两点P1(x1,y1),P2(x2,
y2-y1 y2) (x1≠x2)的直线的斜率公式为k= x2-x1

tan α ,倾斜角

.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

2.直线方程的五种形式 名称 点斜式 斜截式 两点式 截距式 方程 y-y0=k(x-x0)
y=kx+b y-y1 x-x1 = y2-y1 x2-x1

适用范围 不含垂直于 x 轴的直线 不含垂直于 x 轴的直线 不含直线 x=x1 (x1≠x2) 和直线 y=y1 (y1≠y2) 不含垂直于坐标轴和过 原点的直线 平面直角坐标系内的直 线都适用
思想方法 练出高分

x y + =1 a b
Ax+By+C=0 (A2+B2≠0)
题型分类

一般式
基础知识

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

3.过 P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线方程 (1)若 x1=x2,且 y1≠y2 时,直线垂直于 x 轴,方程为
x=x1 ;

(2)若 x1≠x2,且 y1=y2 时,直线垂直于 y 轴,方程为
y=y1 ;

(3)若 x1=x2=0,且 y1≠y2 时,直线即为 y 轴,方程为
x=0 ;

(4)若 x1≠x2,且 y1=y2=0 时,直线即为 x 轴,方程为
y=0 .
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

4.线段的中点坐标公式 若点 P1、 P2 的坐标分别为(x1, y1)、 (x2, y2), 且线段 P1P2
x1+x2 2 ? ?x= y1+y2 的中点 M 的坐标为(x,y),则? ? ?y= 2

,此公式为

线段 P1P2 的中点坐标公式.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难

题号
1 2 3 4 5

答案
(1) √(2) ×(3) × (4) × (5) ×(6) ×(7) ×(8)√

解析

C
4
? ? π? ?π ?0, ? ∪? ,π? 4? ?2 ? ?

x+y+1=0 或 4x+3y=0

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 直线的倾斜角与斜率
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例1】

经过P(0,-1)作直线

l,若直线l与连接A(1,-2), B(2,1)的线段总有公共点,则 直线l的斜率k和倾斜角α的取 值范围分别为__________, ____________________.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 直线的倾斜角与斜率
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例1】

经过P(0,-1)作直线
本题考查斜率求解公式以及 k与α的函数关系,解题关键 是在求倾斜角时要对其分锐 角、钝角的讨论.

l,若直线l与连接A(1,-2), B(2,1)的线段总有公共点,则 直线l的斜率k和倾斜角α的取 值范围分别为__________, ____________________.
基础知识 题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 直线的倾斜角与斜率
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例1】

经过P(0,-1)作直线

如图所示,结合图形: 为使l与线段AB总有 公共点,
则kPA≤k≤kPB,而kPB>0, kPA<0,故k<0时,倾斜角α为钝 角,k=0时,α=0,k>0时,α为 锐角.

l,若直线l与连接A(1,-2), B(2,1)的线段总有公共点,则 直线l的斜率k和倾斜角α的取 值范围分别为__________, ____________________.
基础知识 题型分类

-2-?-1? 又kPA= =-1, 1-0 -1-1 kPB= =1,∴-1≤k≤1. 0-2
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 直线的倾斜角与斜率
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例1】

经过P(0,-1)作直线
π 又当0≤k≤1时,0≤α≤ ; 4 3π 当-1≤k<0时, 4 ≤α<π.
故倾斜角α的取值范围为 π 3π α∈[0, ]∪[ ,π). 4 4

l,若直线l与连接A(1,-2), B(2,1)的线段总有公共点,则 直线l的斜率k和倾斜角α的取 值范围分别为__________, ____________________.
基础知识 题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 直线的倾斜角与斜率
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例1】

经过P(0,-1)作直线
π 又当0≤k≤1时,0≤α≤ ; 4 3π 当-1≤k<0时, ≤α<π. 4
故倾斜角α的取值范围为 π 3π α∈[0, ]∪[ ,π). 4 4

l,若直线l与连接A(1,-2), B(2,1)的线段总有公共点,则 直线l的斜率k和倾斜角α的取
[ -1,1] , 值范围分别为__________ π 3π [0, ]∪[ ,π) ____________________. 4 4
基础知识 题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 直线的倾斜角与斜率
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例1】

经过P(0,-1)作直线

直线倾斜角的范围是[0,π),而 这个区间不是正切函数的单调区 间,因此根据斜率求倾斜角的范 ? ? π? ?π 围时,要分 ?0,2 ? 与 ?2,π? 两种情 ? ? ? ? 况讨论.由正切函数图像可以看 ? π? 出当α∈ ?0,2 ? 时,斜率k∈[0, ? ? π +∞);当α= 时,斜率不存在; 2 ?π ? 当α∈ ?2,π? 时,斜率k∈(-∞, ? ? 0).
思想方法 练出高分

l,若直线l与连接A(1,-2), B(2,1)的线段总有公共点,则 直线l的斜率k和倾斜角α的取

[-1,1] , 值范围分别为__________ π 3π [0, ]∪[ ,π) ____________________. 4 4
基础知识 题型分类

题型分类·深度剖析
跟踪训练1 (1)若直线l与直线y=1,x=7分别交于点P,Q,且 ( B ) 线段PQ的中点坐标为(1,-1),则直线l的斜率为 1 1 3 2 A. B.- C.- D. 3 3 2 3 (2)直线xcos α+ 3y+2=0的倾斜角的范围是 ?π π? ?π 5π? ? ? π? ?5π A.?6,2 ?∪?2, 6 ? B.?0,6 ?∪? 6 ,π? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?π 5π? 5π? C.?0, 6 ? D.?6, 6 ? ? ? ? ?
解析 (1)依题意,设点P(a,1),Q(7,b),
? ?a+7=2 则有? ? ?b+1=-2

(

)

,解得a=-5,b=-3,

-3-1 1 从而可知直线l的斜率为 =- . 3 7+5
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练1 (1)若直线l与直线y=1,x=7分别交于点P,Q,且 ( B ) 线段PQ的中点坐标为(1,-1),则直线l的斜率为 1 1 3 2 A. B.- C.- D. 3 3 2 3

(2)直线xcos α+ 3y+2=0的倾斜角的范围是 ( B ) ?π π? ?π 5π? ? ? π? ?5π A.?6,2 ?∪?2, 6 ? B.?0,6 ?∪? 6 ,π? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?π 5π? 5π? C.?0, 6 ? D.?6, 6 ? ? ? ? ? 3 (2)由xcos α+ 3y+2=0得直线斜率k=- cos α. 3 3 3 ∵-1≤cos α≤1,∴- 3 ≤k≤ 3 . 3 3 设直线的倾斜角为θ,则- 3 ≤tan θ≤ 3 . ? ? π? ?π π 5π ? ? ? ? 0 , , π 结合正切函数在 上的图像可知,0≤θ≤6或 6 ≤θ<π. 2∪2
? ? ? ?

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 求直线的方程
思维启迪 解析 思维升华

【 例 2】

根据所给条件求直

线的方程: (1)直线过点(-4,0),倾斜角 10 的正弦值为 ; 10 (2)直线过点(-3,4),且在两 坐标轴上的截距之和为12; (3)直线过点(5,10),且到原 点的距离为5.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 求直线的方程
思维启迪 解析 思维升华

【 例 2】

根据所给条件求直

线的方程: (1)直线过点(-4,0),倾斜角 10 的正弦值为 ; 10 (2)直线过点(-3,4),且在两 坐标轴上的截距之和为12; (3)直线过点(5,10),且到原 点的距离为5.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

本题考查直线方程的三种形 式,解题关键在于设出正确的 方程形式.

题型分类·深度剖析
题型二 求直线的方程
思维启迪 解析 思维升华

【 例 2】

根据所给条件求直

线的方程: (1)直线过点(-4,0),倾斜角 10 的正弦值为 ; 10 (2)直线过点(-3,4),且在两 坐标轴上的截距之和为12; (3)直线过点(5,10),且到原 点的距离为5.
基础知识 题型分类



(1)由题设知,该直线的斜率存

在,故可采用点斜式.

设倾斜角为α, 10 则sin α= 10 (0<α<π), 3 10 1 从而cos α=± 10 ,则k=tan α=± 3. 1 故所求直线方程为y=± 3(x+4). 即x+3y+4=0或x-3y+4=0.

(2)由题设知截距不为0,设直线方 x y 程为a+ =1, 12-a
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 求直线的方程
思维启迪 解析 思维升华

【 例 2】

根据所给条件求直

线的方程: (1)直线过点(-4,0),倾斜角 10 的正弦值为 ; 10 (2)直线过点(-3,4),且在两 坐标轴上的截距之和为12; (3)直线过点(5,10),且到原 点的距离为5.
基础知识 题型分类

又直线过点(-3,4), -3 4 从而 + =1, a 12-a
解得a=-4或a=9.
故所求直线方程为4x-y+16=0或 x+3y-9=0. (3)当斜率不存在时,所求直线方程 为x-5=0;

当斜率存在时,设其为k,
则所求直线方程为y-10=k(x-5),
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 求直线的方程
思维启迪 解析 思维升华

【 例 2】

根据所给条件求直

线的方程: (1)直线过点(-4,0),倾斜角 10 的正弦值为 ; 10 (2)直线过点(-3,4),且在两 坐标轴上的截距之和为12; (3)直线过点(5,10),且到原 点的距离为5.
基础知识 题型分类

即kx-y+(10-5k)=0.
|10-5k| 由点线距离公式,得 =5, k2+1 3 解得k= . 4
故所求直线方程为3x-4y+25=0.

综上知,所求直线方程为x-5=0 或3x-4y+25=0.

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 求直线的方程
思维启迪 解析 思维升华

【 例 2】

根据所给条件求直

线的方程: (1)直线过点(-4,0),倾斜角 10 的正弦值为 ; 10 (2)直线过点(-3,4),且在两 坐标轴上的截距之和为12; (3)直线过点(5,10),且到原 点的距离为5.
基础知识 题型分类

在求直线方程时,应先选择适当的 直线方程的形式,并注意各种形式 的适用条件.用斜截式及点斜式 时,直线的斜率必须存在,而两点 式不能表示与坐标轴垂直的直线, 截距式不能表示与坐标轴垂直或经 过原点的直线.故在解题时,若采 用截距式,应注意分类讨论,判断 截距是否为零;若采用点斜式,应 先考虑斜率不存在的情况.
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练2 求适合下列条件的直线方程: (1)经过点P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等; (2)经过点A(-1,-3),倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍.
解 (1)设直线l在x、y轴上的截距均为a,
若a=0,即l过点(0,0)和(3,2),

2 ∴l的方程为y=3x,即2x-3y=0. x y 若a≠0,则设l的方程为 + =1, a a 3 2 ∵l过点(3,2),∴a+a=1, ∴a=5,∴l的方程为x+y-5=0.
综上可知,直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练2 求适合下列条件的直线方程: (1)经过点P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等; (2)经过点A(-1,-3),倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍.
(2)由已知:设直线y=3x的倾斜角为α ,则所求直线的倾斜角为2α.
2tan α 3 ∵tan α=3,∴tan 2α= =-4. 1-tan2α

又直线经过点A(-1,-3),
3 因此所求直线方程为y+3=-4(x+1),

即3x+4y+15=0.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 直线方程的综合应用
思维启迪 解析 思维升华

【例3】

已知直线l过点P(3,2),

且与x轴、y轴的正半轴分别交 于A、B两点,如图所示,求 △ABO的面积的最小值及此时 直线l的方程.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 直线方程的综合应用
思维启迪 解析 思维升华

【例3】

已知直线l过点P(3,2),

且与x轴、y轴的正半轴分别交 于A、B两点,如图所示,求 △ABO的面积的最小值及此时 直线l的方程.
先求出AB所在的直线方程,再 求出A,B两点的坐标,表示出 △ABO的面积,然后利用相关 的数学知识求最值.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 直线方程的综合应用
思维启迪 思维升华 x y 设直线方程为 a + b =1 解析

【例3】

已知直线l过点P(3,2),

且与x轴、y轴的正半轴分别交 于A、B两点,如图所示,求



方法一

(a>0,b>0),
6 , ab

3 2 点 P(3,2)代入得 + =1≥2 a b △ABO的面积的最小值及此时 得 ab≥24,

直线l的方程.

1 3 从而S△AOB= ab≥12,当且仅当 = 2 a 2 b 2 时等号成立,这时k=- =- , b a 3

从而所求直线方程为2x+3y-12=0.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 直线方程的综合应用
思维启迪 解析 思维升华

【例3】

已知直线l过点P(3,2),

且与x轴、y轴的正半轴分别交 于A、B两点,如图所示,求 △ABO的面积的最小值及此时 直线l的方程.

方法二

依题意知,直线l的斜率k

存在且k<0.
则直线l的方程为y-2=k(x-3) (k<0),
? ? 2 且有A?3-k,0?,B(0,2-3k), ? ?

? 2? 1 ∴S△ABO=2(2-3k)?3-k? ? ? 4 ? 1? ? = ?12+?-9k?+?-k?? ? 2? ?

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 直线方程的综合应用
思维启迪 解析 思维升华

【例3】

已知直线l过点P(3,2),

4 ? 1? ? ? ?-9k?· 且与x轴、y轴的正半轴分别交 ≥2?12+2 ?-k?? ? ? 于A、B两点,如图所示,求 =1×(12+12)=12. 2 △ABO的面积的最小值及此时 当且仅当-9k= 4 ,即k=-2时, 3 -k

直线l的方程.

等号成立.
即△ABO的面积的最小值为12.

故所求直线的方程为 2x+3y-12=0.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三 直线方程的综合应用
思维启迪 解析 思维升华

【例3】

已知直线l过点P(3,2),

直线方程综合问题的两大类型及解法 (1)与函数相结合的问题:解决这类 问题,一般是利用直线方程中的 x, y)的函数,借助函数的性质解决.
(2)与方程、不等式相结合的问题: 一般是利用方程、不等式的有关知 不等式的性质、基本不等式等)来解 决.

且与x轴、y轴的正半轴分别交 于A、B两点,如图所示,求

△ABO的面积的最小值及此时 y 的关系,将问题转化为关于 x(或 直线l的方程.

识(如方程解的个数、 根的存在问题,

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 已知直线 l:kx-y+1+2k=0(k∈R). (1)证明:直线 l 过定点; (2)若直线不经过第四象限,求 k 的取值范围; (3)若直线 l 交 x 轴负半轴于 A,交 y 轴正半轴于 B,△AOB 的面积 为 S(O 为坐标原点),求 S 的最小值并求此时直线 l 的方程.
(1)证明 直线 l 的方程是 k(x+2)+(1-y)=0,
, ∴无论 k 取何值,直线总经过定点(-2,1). 1+2k 由方程知,当 k≠0 时直线在 x 轴上的截距为- ,在 y 轴上 k
? ?x=-2 ,解得? ? ?y=1 ? ?x+2=0 令? ? ?1-y=0

(2)解

? 1+2k ?- ≤-2 k ? 的截距为 1+2k, 要使直线不经过第四象限, 则必须有 ? ?1+2k≥1 解之得 k>0;
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分



题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 已知直线 l:kx-y+1+2k=0(k∈R). (1)证明:直线 l 过定点; (2)若直线不经过第四象限,求 k 的取值范围; (3)若直线 l 交 x 轴负半轴于 A,交 y 轴正半轴于 B,△AOB 的面积 为 S(O 为坐标原点),求 S 的最小值并求此时直线 l 的方程.
当 k=0 时,直线为 y=1,符合题意,故 k≥0.
(3)解 由 l 的方程,得
? 1+2k ?- <0, k 依题意得? ? ?1+2k>0,
基础知识
? 1+2k ? ? ? A?- , 0 ?,B(0,1+2k). k ? ?

解得 k>0.

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 已知直线 l:kx-y+1+2k=0(k∈R). (1)证明:直线 l 过定点; (2)若直线不经过第四象限,求 k 的取值范围; (3)若直线 l 交 x 轴负半轴于 A,交 y 轴正半轴于 B,△AOB 的面积 为 S(O 为坐标原点),求 S 的最小值并求此时直线 l 的方程.
? ? 1 1 1? 1 ?1+2k? 1? ?1+2k? ∵S= · |OA|· |OB|= · · |1+2k|= · k = ?4k+k+4? ? ? 2 2? k ? 2 2? ?
2

1 ≥ ×(2×2+4)=4, 2
1 1 “=”成立的条件是 k>0 且 4k=k ,即 k=2, ∴Smin=4,此时直线 l 的方程为 x-2y+4=0.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列12 分类讨论思想在求直线方程中的应用
典例:(5 分)与点 M(4,3)的距离为 5,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程 为__________________________________________________.

思 维 启 迪

规 范 解 答

温 馨 提 醒

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列12 分类讨论思想在求直线方程中的应用
典例:(5 分)与点 M(4,3)的距离为 5,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程 为__________________________________________________.

思 维 启 迪

规 范 解 答

温 馨 提 醒

解答本题应抓住直线在两坐标轴上的截距相等,分类设出直线 的方程求解.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列12 分类讨论思想在求直线方程中的应用
典例:(5 分)与点 M(4,3)的距离为 5,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程 x+y-7-5 2=0 或 x+y-7+5 2=0 或 4x+3y=0 . 为__________________________________________________

思 维 启 迪
解析

规 范 解 答

温 馨 提 醒

x y 当截距不为 0 时,设所求直线方程为a+a=1,即 x+y-a=0, |4+3-a| ∵点 M(4,3)与所求直线的距离为 5,∴ =5,∴a=7± 5 2. 2 ∴所求直线方程为 x+y-7-5 2=0 或 x+y-7+5 2=0.

当截距为 0 时,设所求直线方程为 y=kx,即 kx-y=0.
|4k-3| 4 = 5 , ∴ k =- . 2 3 1+k 4 ∴所求直线方程为 y=-3x,即 4x+3y=0. 综上所述,所求直线方程为 同理可得
x+y-7-5 2=0 或 x+y-7+5 2=0 或 4x+3y=0.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法系列12 分类讨论思想在求直线方程中的应用
典例:(5 分)与点 M(4,3)的距离为 5,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程 x+y-7-5 2=0 或 x+y-7+5 2=0 或 4x+3y=0 . 为__________________________________________________

思 维 启 迪

规 范 解 答

温 馨 提 醒

在选用直线方程时常易忽视的情况有

(1)选用点斜式与斜截式时忽视斜率不存在的情况;
(2)选用截距式时,忽视截距为零的情况;
(3)选用两点式时忽视与坐标轴垂直的情况.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高

方 法 与 技 巧

1.要正确理解倾斜角的定义,明确倾斜角的 y2-y1 取值范围,熟记斜率公式:k= ,该 x2-x1 公式与两点顺序无关,已知两点坐标 (x1≠x2)时,根据该公式可求出经过两点的 直线的斜率.当 x1=x2,y1≠y2 时,直线的 斜率不存在,此时直线的倾斜角为 90° .

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高

2.求斜率可用 k=tan α(α≠90° ),其中 α 为倾斜

方 法 与 技 巧

角,由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分 割,牢记:“斜率变化分两段,90° 是分界, 遇到斜率要谨记,存在与否需讨论”.

3.求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方 程,再求直线方程中的系数,这种方法叫待定 系数法.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高

1. 求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在; 每条直

失 误 与 防 范

线都有倾斜角,但不一定每条直线都存在斜率.
2.根据斜率求倾斜角,一是要注意倾斜角的范围;二 是要考虑正切函数的单调性.
3.利用一般式方程 Ax+By+C=0 求它的方向向量为 (-B, A)不可记错, 但同时注意方向向量是不唯一的.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

1.如图中的直线 l1、l2、l3 的斜率分别为 k1、k2、 k3,则 A.k1<k2<k3 C.k3<k2<k1 B.k3<k1<k2 D.k1<k3<k2 ( D )

解析 直线 l1 的倾斜角 α1 是钝角,
故 k1<0,直线 l2 与 l3 的倾斜角 α2 与 α3 均为锐角,且 α2>α3, 所以 0<k3<k2,因此 k1<k3<k2,故选 D.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

2.已知直线 l:ax+y-2-a=0 在 x 轴和 y 轴上的截距相 等,则 a 的值是 A.1 C.-2 或-1 B.-1 D.-2 或 1 ( D )

a+2 解析 由题意得 a+2= , a

∴a=-2 或 a=1.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

3.已知直线 PQ 的斜率为- 3,将直线绕点 P 顺时针旋 转 60° 所得的直线的斜率为 A. 3
解析 120° ,

( A ) D.1+ 3

B.- 3

C. 0

直线 PQ 的斜率为- 3,则直线 PQ 的倾斜角为

所求直线的倾斜角为 60° ,tan 60° = 3.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

x y x y 4.两条直线 l1:a-b=1 和 l2:b-a=1 在同一直角坐标系中的 图像可以是 ( A )

解析

x y x y 化为截距式 + =1, + =1. a -b b -a

假定 l1,判断 a,b,确定 l2 的位置,知 A 项符合.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

5.设直线 l 的方程为 x+ycos θ+3=0 (θ∈R),则直线 l 的倾斜 角 α 的范围是 A.[0,π)
?π 3π? C.?4, 4 ? ? ? ?π π? B.?4 ,2 ? ? ? ?π π? ?π 3π? D.?4,2 ?∪?2, 4 ? ? ? ? ?

(

)

π 解析 当 cos θ=0 时, 方程变为 x+3=0, 其倾斜角为2; 1 当 cos θ≠0 时,由直线方程可得斜率 k=- . cos θ ∵cos θ∈[ -1,1] 且 cos θ≠0,
∴k∈(-∞,-1]∪[1,+∞),

即 tan α∈(-∞,-1]∪[1,+∞),
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

5.设直线 l 的方程为 x+ycos θ+3=0 (θ∈R),则直线 l 的倾斜 角 α 的范围是 A.[0,π)
?π 3π? C.?4, 4 ? ? ? ?π π? B.?4 ,2 ? ? ? ?π π? ?π 3π? D.?4,2 ?∪?2, 4 ? ? ? ? ?

( C )

又 α∈[0,π),
?π π? ?π 3π? ∴α∈?4,2?∪?2, 4 ?. ? ? ? ?
?π 3π? 综上知,倾斜角的范围是?4, 4 ?,故选 ? ?

C.
练出高分

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

6.直线 l 与两直线 y=1,x-y-7=0 分别交于 P、Q 两点,线

2 -3 段 PQ 中点是(1,-1),则 l 的斜率是________ .

解析 设 P(m,1),则 Q(2-m,-3),
∴(2-m)+3-7=0,∴m=-2,∴P(-2,1),

1+1 2 ∴k= =- . 3 -2-1
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

7.直线 l:ax+(a+1)y+2=0 的倾斜角大于 45° ,则 a 的取值
1 (-∞,-2)∪(0,+∞) 范围是_____________________ .

解析 当 a=-1 时,直线 l 的倾斜角为 90° ,符合要求; a 当 a≠-1 时,直线 l 的斜率为- , a+1 a a 只要- >1 或者- <0 即可, a+1 a+1 1 解得-1<a<-2或者 a<-1 或者 a>0. 1 综上可知,实数 a 的取值范围是(-∞,- )∪(0,+∞). 2
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

8.若 ab>0,且 A(a,0)、B(0,b)、C(-2,-2)三点共线,则 ab

16 . 的最小值为________
解析 x y 根据 A(a,0)、B(0,b)确定直线的方程为a+b=1,

又 C(-2,-2)在该直线上, -2 -2 故 a + b =1,所以-2(a+b)=ab.又 ab>0,故 a<0,b<0.

根据基本不等式 ab=-2(a+b)≥4 ab,从而 ab≤0(舍去) 或 ab≥4,故 ab≥16,
当且仅当 a=b=-4 时取等号.即 ab 的最小值为 16.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

9.已知直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 3,分别求满 足下列条件的直线 l 的方程: 1 (1)过定点 A(-3,4);(2)斜率为 . 6

解 (1)设直线 l 的方程是 y=k(x+3)+4,它在 x 轴,y 轴 4 上的截距分别是- -3,3k+4, k ? 4 ? 由已知,得(3k+4)?-k-3?=± 6, ? ? 2 8 解得 k1=-3或 k2=-3. 故直线 l 的方程为 2x+3y-6=0 或 8x+3y+12=0.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

9.已知直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 3,分别求满 足下列条件的直线 l 的方程: 1 (1)过定点 A(-3,4);(2)斜率为 . 6
(2)设直线 l 在 y 轴上的截距为 b,

1 则直线 l 的方程是 y=6x+b, 它在 x 轴上的截距是-6b,

由已知,得|-6b· b|=6,∴b=± 1.

∴直线 l 的方程为 x-6y+6=0 或 x-6y-6=0.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

10.如图,射线 OA、OB 分别与 x 轴正半轴 成 45° 和 30° 角,过点 P(1,0)作直线 AB 分别交 OA、OB 于 A、B 两点,当 AB 1 的中点 C 恰好落在直线 y= x 上时,求 2 直线 AB 的方程.

3 解 由题意可得 kOA=tan 45° =1, kOB=tan(180° -30° )=- 3 , 3 所以直线 lOA:y=x,lOB:y=- 3 x.

设 A(m,m),B(- 3n,n), ?m- 3n m+n? ? 所以 AB 的中点 C? , ? ?, 2 2 ? ?
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

10.如图,射线 OA、OB 分别与 x 轴正半轴 成 45° 和 30° 角,过点 P(1,0)作直线 AB 分别交 OA、OB 于 A、B 两点,当 AB 1 的中点 C 恰好落在直线 y= x 上时,求 2 直线 AB 的方程.

1 由点 C 在 y= x 上,且 A、P、B 三点共线得 2
? m- 3n ?m+n=1· , 2 2 ? 2 ? ?m-0= n-0 , ? ?m-1 - 3n-1
基础知识 题型分类

解得 m= 3,所以 A( 3, 3).

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

10.如图,射线 OA、OB 分别与 x 轴正半轴 成 45° 和 30° 角,过点 P(1,0)作直线 AB 分别交 OA、OB 于 A、B 两点,当 AB 1 的中点 C 恰好落在直线 y= x 上时,求 2 直线 AB 的方程.

3+ 3 3 又 P(1,0),所以 kAB=kAP= = , 2 3-1 3+ 3 所以 lAB:y= 2 (x-1),

即直线 AB 的方程为(3+ 3)x-2y-3- 3=0.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1
2

B组

专项能力提升
3 4 5 6

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1
2

B组

专项能力提升
3 4 5 6

1.直线 l 沿 x 轴负方向平移 3 个单位,再沿 y 轴正方向平移 1 个单位后,又回到原来位置,那么 l 的斜率为 1 1 A.- B.-3 C. D. 3 3 3
解析 结合图形可知选 A.

( A )

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1
2

B组

专项能力提升
3 4 5 6

2. 直线 2x-my+1-3m=0, 当 m 变动时, 所有直线都通过定点( D ) ? 1 ? ?1 ? A.?-2,3? B.?2,3? ? ? ? ? ?1 ? ? 1 ? C.?2,-3? D.?-2,-3? ? ? ? ?

解析

∵(2x+1)-m(y+3)=0 恒成立,

∴2x+1=0,y+3=0,
1 1 ∴x=- ,y=-3,定点为(- ,-3). 2 2
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1
2

B组

专项能力提升
3 4 5 6

3.经过点 P(1,4)的直线的两坐标轴上的截距都是正的,且截距之 和最小,则直线的方程为 A.x+2y-6=0 C.x-2y+7=0 B.2x+y-6=0 D.x-2y-7=0 ( B )

解析 方法一 直线过点 P(1,4),代入选项,排除 A、D,
又在两坐标轴上的截距均为正,排除 C. x y 方法二 设所求直线方程为a+b=1(a>0,b>0), 1 4 b 4a 1 4 将(1,4)代入得a+b=1,a+b=(a+b)(a+b)=5+(a+ b )≥9,

当且仅当 b=2a,即 a=3,b=6 时,截距之和最小, x y ∴直线方程为3+6=1,即 2x+y-6=0.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1
2

B组

专项能力提升
3 4 5 6

3 . 4. 已知 A(3,0), B(0,4), 直线 AB 上一动点 P(x, y), 则 xy 的最大值是____
x y 解析 直线 AB 的方程为3+4=1,
3 设 P(x,y),则 x=3- y, 4 3 3 ∴xy=3y-4y2=4(-y2+4y) 3 =4[ -(y-2)2+4] ≤3.
即当 P
?3 ? 点坐标为?2,2?时,xy ? ?

取最大值 3.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1
2

B组

专项能力提升
3 4 5 6

5.设点 A(-1,0),B(1,0),直线 2x+y-b=0 与线段 AB 相交,则 b 的

[-2,2] . 取值范围是________

解析

b 为直线 y=-2x+b 在 y 轴上的截距,

如图,当直线 y=-2x+b 过点 A(-1,0)和 点 B(1,0)时 b 分别取得最小值和最大值.
∴b 的取值范围是[ -2,2] .

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1
2

B组

专项能力提升
3 4 5 6

6.直线 l 过点 P(1,4),分别交 x 轴的正方向和 y 轴的正方向于 A、B 两点. (1)当|PA|· |PB|最小时,求 l 的方程; (2)当|OA|+|OB|最小时,求 l 的方程.

解 依题意,l 的斜率存在,且斜率为负.
设 l:y-4=k(x-1)(k<0).
4 令 y=0,可得 A(1- k,0);
令 x=0,可得 B(0,4-k).
42 (1)|PA|· |PB|= ? ? +16· 1+k2 k 4 1 2 =- (1+k )=-4( +k)≥8.(注意 k<0) k k
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1
2

B组

专项能力提升
3 4 5 6

6.直线 l 过点 P(1,4),分别交 x 轴的正方向和 y 轴的正方向于 A、B 两点. (1)当|PA|· |PB|最小时,求 l 的方程; (2)当|OA|+|OB|最小时,求 l 的方程.

1 ∴当且仅当k=k 且 k<0 即 k=-1 时, |PA|· |PB|取最小值.
这时 l 的方程为 x+y-5=0. 4 4 (2)|OA|+|OB|=(1- k)+(4-k)=5-(k+ k)≥9. 4 ∴当且仅当 k=k 且 k<0,即 k=-2 时,|OA|+|OB|取最小值.

这时 l 的方程为 2x+y-6=0.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分


推荐相关:

2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第九章 专题五

2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第九章 专题五_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)...


2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第九章 平面解析几何

2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第九章 平面解析几何_数学_高中教育_教育专区。压轴题目突破练——平面解析几何 A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) 一...


2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第十章 10.2

2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第十章 10.2_数学_高中教育_教育专区...题型一 频率分布直方图的绘制与应用 例1 某校从参加高一年级期中考试的学生中...


2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第五章 5.3

2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第五章 5.3_数学_高中教育_教育专区。今日推荐 89份文档 爆笑大撞脸 超爆笑笑话 有趣及爆笑图片汇集 绝对经典搞笑照片...


2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第二章 2.1

2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第二章 2.1_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第...


2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第三章 3.2

2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第三章 3.2_高三数学_数学_高中教育_教育专区。§ 3.2 导数与函数的单调性、极值、最值 1. 函数的单调性 如果在...


2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第六章 6.1

2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第六章 6.1_高三数学_数学_高中教育_教育专区。§ 6.1 数列的概念及简单表示法 1. 数列的定义 按一定次序排列的一...


2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第7讲 解三角形的实际应用举例

2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第7讲 解三角形的实际应用举例_数学_高中教育_教育专区。第7讲一、选择题 解三角形的实际应用举例 1.有一长为 1 的...


2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第四章 4.1

2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第四章 4.1_数学_高中教育_教育专区。§ 4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数 1. 角的概念 (1)任意角:①定义:角...


2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第三章_3.3

2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第三章_3.3_数学_高中教育_教育专区。§ 3.3 导数的综合应用 1. 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com