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空间图形的基本关系与公理


1.理解空间直线、平面位置关系的定义. 2.了解可以作为推理依据的公理和定理. 3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些 空间图形的位置关系的简单命题.

热 点 提 示

1.以空间几何体为载体,考查逻辑推理能力.

2.通过判断位置关系,考查空间想像能力.
3.应用公理、定理证明点共线、线共面等问题.

4.多以选择、填空的形式考查,有时也出现在解答题中.

1.直线与直线的位置关系

平行于同一条直线的两条直线平行 (2)平行公理:
?
2

(3)异面直线所成角的范围

(0,

?

[思考探究]
垂直于同一直线的两条直线有怎样的位置关系? 提示:可能平行、相交或异面.

2.直线和平面的位置关系

3.平面与平面的位置关系

4、空间图形的公理

公理1:如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条
直线上 公理2:过

所有的点 都在这个平面内(即直线在平面内).
不在同一直线上 的三点,有且只有一个平面.

公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们 有且只有一条 过该点的公共直线. 公理4:(平行公理)平行于 同一直线 的两直线互相平行.

(1)经过一条直线和这条直线外一点,可以确定一 个平面吗? (2)经过两条相交直线,可以确定一个平面吗? (3)经过两条平行直线可以确定一个平面吗? 提示:(1)可以 (2)可以 (3)可以

5、等角定理:空间中,如果两个角的两边分别对应平行,并且方向相同, 那么这两个角相等或互补。

结论1:空间中,如果两个角的两边分别对应平行,并且对应边的 方向都相反,那么这两个角相等。 结论2:空间中,如果两个角的两边分别对应平行,并且一组对应 边方向相同,另一组对应边的方向相反,那么这两个角互补。

1.给出下列命题: ①和已知直线都相交的两条直线在同一个平面内; ②三条两两相交的直线在同一个平面内;

③有三个不同公共点的两个平面重合;
④两两平行的三条直线确定三个平面. 其中正确命题的个数是 ( A.0 C.2 ) B.1 D.3

解析:①中两直线可能异面;②中三条直线可能确 定三个平面;③中两平面可能相交;④三直线可能 共面. 答案:A

2.已知a,b是异面直线,直线c∥a,则c与b ( A.一定是异面直线

)

B.一定是相交直线

C.不可能是平行直线

D.不可能是相交直线

解析:c与b不可能是平行直线,否则c∥b,又c∥a, 则有a∥b,与a,b异面矛盾.

答案:C

3.直线a,b,c两两平行,但不共面,经过其中两条直线

的平面的个数为(
A.1 C.6

)
B.3 D.0

解析:如图所示,可知确定3个平面.

答案:B

4.若直线l上有两点到平面α的距离相等,则直线l与平面α
的关系是 .

解析:当这两点在α的同侧时,l与α平行;
当这两点在α的异侧时,l与α相交. 答案:平行或相交

5.a,b,c是空间中的三条直线,下面五个命题: ①若a∥b,b∥c,则a∥c; ②若a⊥b,b⊥c,则a∥c;

③若a与b相交,b与c相交,则a与c相交;
④若a?平面α,b?平面β,则a,b一定是异面直线; ⑤若a,b与c成等角,则a∥b. 上述命题中正确的命题是________.

解析:①正确;②时中,a与c可以相交、平行或异面; ③中,a与c可以相交、平行或异面;④中,a? α,b β并不能说明a与b不同在任何一个平面内; ⑤中,a与b可以相交、平行或异面. 答案: ①

6、在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若M为棱BB1的中点,

则异面直线B1D与AM所成角的余弦值是

.

解析:如图所示,取CC1的中点N,连结MN,DN,
则MN AD,

∴四边形AMND为平行四边形, ∴AM DN,∴∠B1DN即为异面直线所成角.

连结B1N,设正方体棱长为a,则B1D= a, DN= a,B1N= a,

∴cos∠B1DN=



.

如图,四边形ABEF和ABCD 都是直角梯形,∠BAD=∠FAB =90°,BC AD,BE FA,

G、H分别为FA、FD的中点. (1)证明:四边形BCHG是平行四边形; (2)C、D、F、E四点是否共面?为什么?

[思路点拨]

(2)法一:证明D点在EF、CH确定的平面内. 法二:延长FE、DC分别与AB交于M,M′,

可证M与M′重合,从而FE与DC相交.

[课堂笔记] (1)证明:由已知FG=GA,FH=HD,可得 GH 又BC AD. AD,∴GH BC,

∴四边形BCHG是平行四边形.

(2)法一:由BE

AF,G为FA中点知BE

GF,

∴四边形BEFG为平行四边形,
∴EF∥BG. 由(1)知BG∥CH,∴EF∥CH, ∴EF与CH共面. 又D∈FH,∴C、D、F、E四点共面.

法二:如图,延长FE、DC分别

与AB交于点M,M′,
∵BE AF,∴B为MA的中点,

∵BC

AD,∴B为M′A的中点,

∴M与M′重合,即EF与CD相交于点M(M′),

∴C、D、E、F四点共面.

1.公理2的三个推论 推论1:经过一条直线和直线外的一点,有且只有一个 平面. 推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.

推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.
这三个推论可以作为证明共面问题的理论依据.

2.证明共面问题主要包括线共面、点共面两种情况,其
常用方法如下:

(1)纳入平面法:先确定一个平面,再证明有关点、线
在此平面内. (2)辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面α,再 证明其余元素确定平面β,最后证明平面α、β重合.

如图,在四面体ABCD中作截面PQR,PQ、CB的延
长线交于M,RQ、DB的延长线交于N,RP、DC的 延长线交于K. 求证:M、N、K三点共线.

[思路点拨]

[课堂笔记]

?

M、N、K在平面BCD与平面PQR的交线上,即M、N、K三 点共线.

在四面体ABCD中,E、F、

G、H分别是AB、AD、BC、
CD上的点,且EF∩GH=P, 求证:B、D、P三点共线.

证明:∵E∈AB,F∈AD, ∴EF 平面ABD, 平面BCD,又EF∩GH=P,

同理,GH

∴P∈平面ABD,P∈平面BCD, 而平面ABD∩平面BCD=BD, ∴P∈直线BD,即B、D、P三点共线.

1.证明共线问题的理论依据 公理3:如果不重合的两个平面有一个公