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二项式定理解题技巧


二项式定理 1.二项式定理:
0 1 r n (a ? b)n ? Cn an ? Cn an?1b ? ?? Cn an?r br ? ?? Cn bn (n ? N ? ) ,

2.基本概念: ①二项式展开式:右边的多项式叫做 (a ? b) 的二项展开式。
n

②二项式系数:展开式中各项的系数 Cn


r

(r ? 0,1, 2, ???, n) .

③项数:共 (r ? 1) 项,是关于 a 与 b 的齐次多项式 ④通项:展开式中的第 r 3.注意关键点: ①项数:展开式中总共有 (n ? 1) 项。 ②顺序:注意正确选择 a , b ,其顺序不能更改。 (a ? b) 与 (b ? a) 是不同的。
n n

r r ? 1 项 Cn a n?r br 叫做二项式展开式的通项。用 Tr ?1 ? Cn an?r br 表示。

③指数: a 的指数从 n 逐项减到 0 ,是降幂排列。 b 的指数从 0 逐项减到 n ,是升幂排列。各项的次数和等于 n . ④系数:注意正确区分二项式系数与项的系数,二项式系数依次是 Cn , Cn , Cn , ???, Cn , ???, Cn . 项的系数是 a 与 b 的系数(包括
0 1 2 r n

二项式系数) 。 4.常用的结论: 令a

? 1, b ? x,

0 1 2 r n (1 ? x)n ? Cn ? Cn x ? Cn x2 ? ?? Cn xr ? ?? Cn xn (n ? N ? ) 0 1 2 r n (1? x)n ? Cn ? Cn x ? Cn x2 ?? ? Cn xr ?? ? (?1)n Cn xn (n ? N? )

令 a ? 1, b ? ? x, 5.性质:

①二项式系数的对称性:与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等,即 Cn ②二项式系数和:令 a

0

n k k ·· ? Cn ,· Cn ? Cn ?1

0 1 2 r n ? b ? 1 ,则二项式系数的和为 Cn ? Cn ? Cn ? ?? Cn ? ?? Cn ? 2n , 1 2 r n ? Cn ??? Cn ? ?? Cn ? 2n ?1 。

变形式 Cn

③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和: 在二项式定理中,令 a 从而得到: Cn
0

0 1 2 3 n ? 1, b ? ?1 ,则 Cn ? Cn ? Cn ? Cn ? ?? (?1)n Cn ? (1 ?1)n ? 0 ,

2 4 2 1 3 2 ? Cn ? Cn ??? ?Cn r ? ??? ? Cn ? Cn ? ? ? Cn r ?1 ? ??? ?

1 n ? 2 ? 2n ?1 2

④奇数项的系数和与偶数项的系数和:

0 1 2 n (a ? x) n ? Cn a n x 0 ? Cn a n ?1 x ? Cn a n ?2 x 2 ? ? ? Cn a 0 x n ? a0 ? a1 x1 ? a2 x 2 ? ? ? an x n 0 1 2 n ( x ? a ) n ? Cn a 0 x n ? Cn ax n ?1 ? Cn a 2 x n ?2 ? ? ? Cn a n x 0 ? an x n ? ? ? a2 x 2 ? a1 x1 ? a0

令x ? 1, 则a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? an ? (a ? 1) n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ① 令x ? ?1, 则a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? (a ? 1) n ? ? ? ? ? ? ? ?② (a ? 1) n ? (a ? 1) n ① ? ②得, a0 ? a2 ? a4 ? ? an ? (奇数项的系数和) 2 (a ? 1) n ? (a ? 1) n ① ? ②得, a1 ? a3 ? a5 ? ? an ? (偶数项的系数和) 2
n 2 ⑤二项式系数的最大项:如果二项式的幂指数 n 是偶数时,则中间一项的二项式系数 Cn 取得最大值。 n ?1 2 n n ?1 2 n

如果二项式的幂指数 n 是奇数时,则中间两项的二项式系数 C
n

,C

同时取得最大值。

⑥系数的最大项:求 (a ? bx) 展开式中最大的项,一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别



? A ? Ar ,从而解出 r 来。 A1 , A2 , ???, An?1 ,设第 r ? 1 项系数最大,应有 ? r ?1 ? Ar ?1 ? Ar ? 2

6.二项式定理的十一种考题的解法: 题型一:二项式定理的逆用; 例: Cn
1 2 3 n ? Cn ? 6 ? Cn ? 62 ? ?? Cn ? 6n?1 ? n

.

解: (1 ? 6)

0 1 2 3 n ? Cn ? Cn ? 6 ? Cn ? 62 ? Cn ? 63 ? ?? Cn ? 6n 与已知的有一些差距,

1 2 3 n ? Cn ? Cn ? 6 ? Cn ? 62 ? ? ? Cn ? 6n ?1 ?

1 1 2 n (Cn ? 6 ? Cn ? 62 ? ? ? Cn ? 6n ) 6 1 0 1 1 1 2 n ? (Cn ? Cn ? 6 ? Cn ? 62 ? ? ? Cn ? 6n ? 1) ? [(1 ? 6) n ? 1] ? (7 n ? 1) 6 6 6
1 2 3 n ? 3Cn ? 9Cn ? ?? 3n?1Cn ? 1 2 3 n ? Cn ? 3Cn ? 9Cn ? ?? 3n?1Cn ,则

练: Cn

.

解:设 Sn

1 2 3 n 0 1 2 3 n 3Sn ? Cn 3 ? Cn 32 ? Cn 33 ??? Cn 3n ? Cn ? Cn 3 ? Cn 32 ? Cn 33 ? ?? Cn 3n ?1 ? (1? 3)n ?1

(1 ? 3)n ? 1 4n ? 1 ? Sn ? ? 3 3
题型二:利用通项公式求 x 的系数;
n

例:在二项式 ( 4

1 3 2 n ? x ) 的展开式中倒数第 3 项的系数为 45 ,求含有 x3 的项的系数? x
2 ? 45 ,即 Cn ? 45 ,? n2 ? n ? 90 ? 0 ,解得 n ? ?9(舍去)或n ? 10 ,由

解:由条件知 Cn

n?2

r r Tr ?1 ? C10 ( x 4 )10?r ( x 3 )r ? C10 x

?

1

2

?

10? r 2 ? r 4 3

,由题意 ?

10 ? r 2 ? r ? 3, 解得r ? 6 , 4 3

则含有 x 的项是第 7 项 T6?1 练:求 ( x
2

3

6 ? C10 x3 ? 210x3 ,系数为 210 。

1 9 ) 展开式中 x9 的系数? 2x 1 r 1 1 r 2 9?r 解: Tr ?1 ? C9 ( x ) ( ? ) ? C9r x18? 2 r (? ) r x ? r ? C9r (? ) r x18?3r ,令 18 ? 3r ? 9 ,则 r ? 3 2x 2 2 1 3 21 3 9 故 x 的系数为 C9 ( ? ) ? ? 。 2 2 ?
题型三:利用通项公式求常数项; 例:求二项式 ( x
2

?

1 2 x

)10 的展开式中的常数项?

解: Tr ?1

? C (x )
r 10

2 10 ? r

45 5 1 r 20? 5 r 8 1 ( ) ? C ( ) x 2 ,令 20 ? r ? 0 ,得 r ? 8 ,所以 T9 ? C10 ( )8 ? 2 256 2 2 2 x

1

r

r 10

1 6 ) 的展开式中的常数项? 2x 1 r 1 r 6? r r r 3 ) ? (?1) r C6 26? r ( ) r x 6? 2 r ,令 6 ? 2r ? 0 ,得 r ? 3 ,所以 T4 ? (?1)3 C6 ? ?20 解: Tr ?1 ? C6 (2 x) ( ?1) ( 2x 2 1 n 2 练:若 ( x ? ) 的二项展开式中第 5 项为常数项,则 n ? ____ . x 4 2 n?4 1 4 4 ( ) ? Cn x 2 n ?12 ,令 2n ? 12 ? 0 ,得 n ? 6 . 解: T5 ? Cn ( x ) x
练:求二项式 (2 x ? 题型四:利用通项公式,再讨论而确定有理数项; 例:求二项式 (

x ? 3 x )9 展开式中的有理项?
1 1 27 ?r 6

解: Tr ?1

r r ? C9 ( x 2 )9?r (? x 3 )r ? (?1)r C9 x

,令

27 ? r ? Z ,( 0 ? r ? 9 )得 r ? 3或r ? 9 , 6

27 ? r 3 ? 4 , T4 ? (?1)3 C9 x4 ? ?84x4 , 6 27 ? r 9 ? 3 , T10 ? (?1)3 C9 x3 ? ? x3 。 当 r ? 9 时, 6
所以当 r

? 3 时,

题型五:奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和; 例:若 (

x2 ?

1
3

x 1

2

) n 展开式中偶数项系数和为 ?256 ,求 n .

解:设 (

x2 ?

3

x

2

) n 展开式中各项系数依次设为 a0 , a1 , ???an ,

令x ? ?1 ,则有 a0 ? a1 ? ???an ? 0, ①, 令x ? 1 ,则有 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ???? ? (?1)n an ? 2n , ②

将①-②得: 2(a1 ? a3 有题意得, ?2
n?1

? a5 ????) ? ?2n , ?a1 ? a3 ? a5 ???? ? ?2n?1,

? ?256 ? ?28 ,? n ? 9 。

练:若 ( 3

1 5 1 n ? 2 ) 的展开式中,所有的奇数项的系数和为 1024 ,求它的中间项。 x x
0 2 4 2 1 3 2 ? Cn ? Cn ??? ?Cn r ???? ? Cn ? Cn ? ?? Cn r ?1 ???? ? 2n?1 ,? 2n?1 ? 1024 ,解得 n ? 11
61 ? 1 6 5 1 5 ) ( 2 ) ? 462 ? x ?4 , T6?1 ? 462 ? x 15 x x

解:?Cn

所以中间两个项分别为 n ? 6, n ? 7 , T5?1 题型六:最大系数,最大项; 例:已知 ( 少? 解:?Cn
4

5 ? Cn ( 3

1 ? 2 x) n ,若展开式中第 5 项,第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列,求展开式中二项式系数最大项的系数是多 2
6 5 ? Cn ? 2Cn ,?n2 ? 21n ? 98 ? 0, 解出 n ? 7或n ? 14 ,当 n ? 7 时,展开式中二项式系数最大的项是

35 3 1 4 1 T4和T5 ?T4的系数 ? C7 ( ) 4 23 ? , , T5的系数 ? C7 ( )3 24 ? 70, 当 n ? 14 时,展开式中二项式系数最大 2 2 2 7 1 7 7 的项是 T8 ,? T8的系数 ? C14 ( ) 2 ? 3432 。 2
练:在 (a ? b)
2n

的展开式中,二项式系数最大的项是多少?

解:二项式的幂指数是偶数 2n ,则中间一项的二项式系数最大,即 T2 n
2

?1

? Tn ?1 ,也就是第 n ? 1 项。

练:在 (

x 1 n ? ) 的展开式中,只有第 5 项的二项式最大,则展开式中的常数项是多少? 2 3x
n 1 ? 1 ? 5 ,即 n ? 8 ,所以展开式中常数项为第七项等于 C86 ( ) 2 ? 7 2 2

解:只有第 5 项的二项式最大,则
7

例:写出在 (a ? b) 的展开式中,系数最大的项?系数最小的项? 解:因为二项式的幂指数 7 是奇数,所以中间两项( 第4,5项 )的二项式系数相等,且同时取得最大值,从而有 T4 的系数最小, T5
4 ? C7 a3b4 系数最大。 3 ? ?C7 a4b3

1 ? 2 x) n 的展开式中系数最大的项? 2 1 1 12 12 12 0 1 2 解:由 Cn ? Cn ? Cn ? 79, 解出 n ? 12 ,假设 Tr ?1 项最大,? ( ? 2 x ) ? ( ) (1 ? 4 x) 2 2
例:若展开式前三项的二项式系数和等于 79 ,求 (
r r ?C12 4r ? C12?1 4r ?1 ? Ar ?1 ? Ar ? ?? ?? r r ,化简得到 9.4 ? r ? 10.4 ,又? 0 ? r ? 12 ,? r ? 10 ,展开式中系数最 r ?1 r ?1 ? Ar ?1 ? Ar ? 2 ?C12 4 ? C12 4 ?

大的项为 T11 ,有 T11

1 10 ? ( )12 C12 410 x10 ? 16896 x10 2

练:在 (1 ? 2 x) 的展开式中系数最大的项是多少?
10

解:假设 Tr ?1 项最大,?Tr ?1

r ? C10 ? 2r xr

r r ?C10 2r ? C10?1 2r ?1 ? Ar ?1 ? Ar ?2(11 ? r ) ? r ? ?? ?? r r 解得 ? ,化简得到 6.3 ? k ? 7.3 ,又? 0 ? r ? 10 , r ?1 r ?1 ?r ? 1 ? 2(10 ? r ) ? Ar ?1 ? Ar ? 2 ?C10 2 ? C10 2 , ?

7 ? r ? 7 ,展开式中系数最大的项为 T8 ? C10 27 x7 ? 15360x7 .

题型七:含有三项变两项; 例:求当 ( x 解法①: ( x
2

? 3x ? 2)5 的展开式中 x 的一次项的系数?
r ? 3x ? 2)5 ? [( x2 ? 2) ? 3x]5 , Tr ?1 ? C5 ( x2 ? 2)5?r (3x)r ,当且仅当 r ? 1 时, Tr ?1 的展开式中才有 x 的 1 1 4 ? T2 ? C5 ( x2 ? 2)4 3x ,所以 x 得一次项为 C5C4 243x 4 4

2

一次项,此时 Tr ?1
1

它的系数为 C5C4 2 解法②: ( x
2

3 ? 240 。

0 1 5 0 1 5 ? 3x ? 2)5 ? ( x ?1)5 ( x ? 2)5 ? (C5 x5 ? C5 x4 ???? ? C5 )(C5 x5 ? C5 x4 2 ???? ? C5 25 )

故展开式中含 x 的项为 C5 xC5 2

4

5

5

4 ? C5 x24 ? 240x ,故展开式中 x 的系数为 240.

练:求式子 (

x?

1 ? 2)3 的常数项? x

解: (

x?

1 1 1 6 6? r 6?2 r r r ,得 ? 2)3 ? ( x ? ) ,设第 r ? 1 项为常数项,则 Tr ?1 ? C6 (?1)r x ( )r ? (?1)6 C6 x x x x

3 6 ? 2r ? 0 , r ? 3 , ?T3?1 ? (?1)3 C6 ? ?20 .

题型八:两个二项式相乘; 例: 求(1 ? 2 x) 解:?(1 ? 2x)
3

(1 ? x)4 展开式中x2的系数.

3

m m 的展开式的通项是C3 ? (2x)m ? C3 ? 2m ? xm ,

(1 ? x)4的展开式的通项是Cn ? (?x)n ? Cn ??1n ? xn , 其中m ? 0,1,2,3, n ? 0,1,2,3,4, 4 4
令m ? n ? 2, 则m ? 0且n ? 2, m ? 1且n ? 1, m ? 2且n ? 0,因此(1 ? 2x)3 (1 ? x)4
0 2 1 1 2 0 的展开式中x2的系数等于C3 ? 20 ? C4 ? (?1)2 ? C3 ? 21 ? C4 ? (?1)1 ? C3 ? 22 ? C4 ? (?1)0 ? ?6 .

练: 求(1 ?

3

x )6 (1 ?

4

1 10 ) 展开式中的常数项. x

m n 4 m ?3 n ? 1 10 m 3 n m n 4 解: (1 ? x ) (1 ? ) 展开式的通项为C6 x ? C10 x ? C6 ? C10 ? x 12 4 x 3 6

?m ? 0, ?m ? 3, ?m ? 6, 其中m ? 0,1, 2, ???,6, n ? 0,1, 2, ???,10,当且仅当4m ? 3n, 即? 或? 或? ?n ? 0, ?n ? 4, ?n ? 8,
0 0 3 4 6 8 时得展开式中的常数项为C6 ? C10 ? C6 ? C10 ? C6 ? C10 ? 4246 .

练:已知(1 ? 解: ( x ?

x ? x 2 )( x ?

1 n ) 的展开式中没有常数项, n ? N *且2 ? n ? 8, 则n ? ______ . 3 x

1 n ) 展开式的通项为Cr ? x n ? r ? x ?3r ? Cr ? x n ? 4 r , 通项分别与前面的三项相乘可得 n n 3 x

Cr ? xn?4r ,Cr ? xn?4r ?1,Cr ? xn?4r ?2 ,?展开式中不含常数项,2 ? n ? 8 n n n
? n ? 4r且n ? 4r ? 1且n ? 4r ? 2,即n ? 4,8且n ? 3,7且n ? 2,6,?n ? 5.
题型九:奇数项的系数和与偶数项的系数和; 例: 在( x ? 解: 设( x ?

2)2006的二项展开式中, 含x的奇次幂的项之和为S,当x ? 2时, S ? _____.

2)2006 =a0 ? a1x1 ? a2 x2 ? a3 x3 ??? a2006 x2006 -------①

(?x ? 2)2006 =a0 ? a1x1 ? a2 x2 ? a3 x3 ??? a2006 x2006 -------② ① ? ②得2(a1x ? a3 x3 ? a5 x5 ??? a2005 x2005 ) ? ( x ? 2)2006 ? ( x ? 2)2006
1 ? ( x ? 2) 2006 展开式的奇次幂项之和为S ( x) ? [( x ? 2) 2006 ? ( x ? 2) 2006 ] 2
3?2006

1 2 2 当x ? 2时, S ( 2) ? [( 2 ? 2) 2006 ? ( 2 ? 2) 2006 ] ? ? 2 2
题型十:赋值法; 例:设二项式 (3
3

? ?23008

1 x ? ) n 的展开式的各项系数的和为 p ,所有二项式系数的和为 s ,若 x

p ? s ? 272 ,则 n 等于多少?
解:若 (3 令x
3

1 0 n x ? ) n ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ??? ? an x n ,有 P ? a0 ? a1 ? ??? ? an , S ? Cn ??? ?Cn ? 2n , x

? 1 得 P ? 4n ,又 p ? s ? 272 ,即 4n ? 2n ? 272 ? (2n ? 17)(2n ?16) ? 0 解得

2n ? 16或2n ? ?17(舍去) ,? n ? 4 .
? 1 ? ? 练:若 ? 3 x ? ? ? x? ?
n

的展开式中各项系数之和为 64 ,则展开式的常数项为多少?

? 1 ? ? 解:令 x ? 1 ,则 ? 3 x ? ? ? x? ?
3 C6 (3 x )3 ? (?

n

的展开式中各项系数之和为 2

n

? 64 ,所以 n ? 6 ,则展开式的常数项为

1 3 ) ? ?540 . x

例: 若(1 ? 2 x) 解: 令x

2009

? a0 ? a1 x1 ? a2 x 2 ? a3 x 3 ? ? ? a2009 x 2009 ( x ? R ), 则

a a1 a2 ? 2 ? ??? ? 2009 的值为 2 2 22009

a a a a a a 1 ? , 可得a0 ? 1 ? 2 ? ??? ? 2009 ? 0,? 1 ? 2 ? ??? ? 2009 ? ? a0 2 2009 2 2 2 2 2 2 2 22009 a a a 在令x ? 0可得a0 ? 1,因而 1 ? 2 ? ??? ? 2009 ? ?1. 2 2 2 22009
5

练: 若( x ? 2)

? a5 x5 ? a4 x4 ? a3 x3 ? a2 x2 ? a1x1 ? a0 , 则a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? ____.
? ?32, 令x ? 1得a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? ?1,

解: 令x ? 0得a0

?a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 31.
题型十一:整除性; 例:证明: 3 证: 3
2 n?2
2 n? 2

? 8n ? 9(n ? N * ) 能被 64 整除

? 8n ? 9 ? 9n?1 ? 8n ? 9 ? (8 ? 1)n?1 ? 8n ? 9

0 1 n?1 n n?1 ? Cn?18n?1 ? Cn?18n ???? ? Cn?1 82 ? Cn?181 ? Cn?1 ? 8n ? 9 0 1 n?1 0 1 n?1 ? Cn?18n?1 ? Cn?18n ???? ? Cn?1 82 ? 8(n ? 1) ? 1? 8n ? 9 ? Cn?18n?1 ? Cn?18n ???? ? Cn?1 82

由于各项均能被 64 整除?3

2 n?2

? 8n ? 9(n ? N * )能被64整除


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