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圆锥曲线离心率范围题型探求


建 

方 法  

稚  

锥酶线毒心察范   题型探  求  
◎张爱 零   ( 江 苏 前如 东县 丰 刹 中学  2 2 . 6 4 ( } 0 )   径t : l  ̄ J  j 以根 据 定 义 建 立焦 半 径 的 等 量 天 系 , 当 然 电 町以l _ } 1  
锥  线 共

I 剐的 性 质 足  j 线 i 一 的点 到  个 定  ’   平 u 到一条定直线 £ (   :   定 由线 , t - ) 的距 离之 卜 乙魁 … 1 \  

焦 半 径 门身 的 池 m确 定不 等 爻 系 , 一 般 情 况 F, 若  为椭 

常 数  . 椭 嘲 的 离心 率 o/ - .   <J , 双曲线 的离心   率   >l , 抛 物 

线 的 离 心 率  =l , 求阋锥 曲线 离一 c J 、 率的 取值 范匍 坦圆锥 【 I 1 {  
线这 一 章 的 主要 题 型 . 解 决 这  类 问 题 的 爻 键 是  何 寻 求  题t t ? 的 不等 父 系 , _ 尤其 是 寻求 基 本 量 n , 6 ,  之 恻 的不等 火   系, 从  遗 不 等式 水 离 心 率 范 闭 . 令 文就 厕 钳 帅 线 的 离 心 

兰   + ÷   一 : : 1   d > b > o ) 卜一 点, 有n ~ c ≤ P b ’ ≤n + c , 若P 为  
双} l } l 线一  一 ,  一 I  Ⅱ> 0 , 6 > o ) 左支£   一点 ,   为左焦 点 , 有 
』 ’   ’ ≥c - 一 n. 从而 j 构 造  等式 .  
2   2  

率池  问 题 从 以 t - " h t 方丽 I 作 以探 求 .   题 型… : 利 用 圆锥 曲线 上 点 坐 标 的 范 围 求 离 心 率 范 围 
2   2  

例3  l   知双 I 轴线   一 毛 一 : 1 (  > 0 , b > 0 ) 的左 、 右焦  
点  别 为   ,   ’ , , 若 在双 曲线 昀右 支   存 在 一 点 P, 使得  

院 1 锥n t t 线 卜 所  点  标 椰  范 『 , 对 于 
f 0  
2  


+   一 
o 
2  

I 『 J   I=3   l 『 j   I , 求 双 曲 线 昀 离心 率 c的 取 值 范  .  

解  『 J 舟 双  线 的   史 } 二   点,   I P I ,   t —I   P F   I =2 a ,  
’ . .

1 ( “ > b > 0 ) 彳 丁 I  I ≤n , I , l ≤6   埘丁 : ) 议I t i l 线+ - 2   - - -   1 2= — J ( ¨ >  
“  ‘ ,  

  I P 2   I= ,   ≥  _ 。 c 上, .   .I<f≤ 2  

0, ^>O) 柯l xt ≥“; 根 据 点 的  标 池  构 造 天 干 “, ^ , 。的 齐 

例4   已知椭闻兰 ; + ÷ , 一 =l 【 n > b > 0 ) 的左右焦点分别  
为   (一c, 0) ,  : ( c , 0 ) , 若 双 曲线 上 存 在 一 点 P  
一  双曲   率 的取 值 范 周.  

? 欠不等 天 系.  
..

2  

1  

例 1   P   知 椭 圆 
n  

+  
b  

=l (   , >6>0 )的长 轴 丘 右 网 瑞 

点 分 别 为 4, B, 如 果 椭 圆上 存 在 一 点 ( J , 使  4   r J   :l 2 0。 , 求 

椭 圆 的 离心 率  的取 伯 范 围   解 没   , ¨  > 0)  A (一 H , 0 ) . / 3 ( “   0 ) , Q A的 斜 率   为   - 二 …   一 一   的 斜 率  =一  一  l 为   A p , { :l   2 f ) ‘   ,  
…   ~



’  “<c , . ? .s i n P b ’ I  ’ 2 <s i n P F 2 F 1 , 点 P在 舣 舢 线 的 
=  

n Pb '   t F 支j  , 在  中s   i A P 一 2 - L. t J 2 _ k z F.   订l 支. j  , 在    中   i   , 】 F i J 1 , 】




,   P   ’  , 根  P F , =c P F   , 根 




据双曲线定 义   : , ,   一,   = 2 n ,  

+t a n   1 20 ”  

. _ 』   :  
侈 0   5  

≥一 , .   ∈ ( 1 ,   +I 1 ?  


所 以 一 
一“

:  

一 一 



一  一 ,  
1 2 0  

2  

2  

知 0  努 别 为双 曲线 f一  

:1 ( n>0, 6>  
  1 Pb  1  

{ 之 简得 : / ‘   ( 』 :+   一“  ) =  一 2   Y ,  


( ) ) 的左 古焦点 , P为双 曲线   支 上 的 一点, 若 
求 双 曲线 的 离心 率 的 取伯 范  .  

1’ =  “ ,  

? .

点 

: 椭l 列 t, .  

+  一  . =1 .  
? c   t



.、  

)  
车  曲 暇 值 



. ? . ‘   … I   P   F   一   :   ? . . ’ . ?   l   P   。 :l : ‘   : 8  j “ j   P b , ’   。 一 l , } } 1    ^ I !   卜


I  

备 n   2   已知双曲线 立 j—  一 =i (  > o ,  > 0 ) 的   右焦点  
分别 匆 F   . F   , P为 双 曲线 左 芰一   一点  I , 到   准 线 距弼 为 d ,  
并 臣, ,   , t ' b _   l


I , ’   ’ . ! =2 n   f 匕人   :! P F ' :   一8 I “ } ,   ’   I +I 6 a , ’=0 ,  
l   f J   ’ . j : = 4 a ≥f ’ + U , 。 ‘ .   ∈(I , 3 1  
解决 这 炎  题 的 关 键 是 将 条 件转 化 为焦 半 径 的 卡 ¨ 关 等 
式 , 然后阿 卡 I j 用 焦半 径 的 不等 关 系 建  小 等 式 .   题型三 : 利 用基 本 不 等 式 求 离 心 率 范 围  焦点 j : 饱形 巾制 H 1 基 本 不 等 式  — f { 勾 造  等 炎 系 , 进  } 『 l j 可求 』 } : 离 心率 的 地 嗣.  

戎导 比数 列 , 求双曲线离  

围.  


P   1 ,   t

设 , ’的 坐 枷 为 (   ,   ), t ' F  
一   一  
c  

,  

_ _Pb ’  
?




P   、 d成锋 比数 列 ,  
『 J   =   .  

例6  已 知   . F ! 昂椭圆   + ÷   : I 的两f 、 焦 点, l ’ 是  
黼 圆上 一 点, 且   F   ,=6 0 。 , 求   团 离 心 事 c的 取 值  
范 嘲.  

. 

_ _ ' P为 
‘ . . 

线  志 } ~一 点,  

解  没 『 J ( ^ , )   ),   (一 、 , 0) , F 2( c - , 0),  
PF  一 2P  . , P   l - ( 1 s   60   : 4a   .3p  

!=  

。+  

≤一  

∈( 1 , j + √ 2  

?PF,≥ 4a: 一 3  x  

此类 题 目 琏将 题 中 条 件 转 化 为 圆 钳 { . 曲 线  ?  的 坐 标 ,   然 后  根 抛 点 的 坐 怀 地  构 造  等 关 系 从I i 1 i 球解 
题 型二 : 刹 用焦 半 径 范 围 求 离 心 率 范 围 

( 一 P — I "   q -  

, 4   ,  

)  

题型 四: 巧用圈形的 / t .  ̄ - . - i 特 性 求 离 心 率 范 围 

线 定 义 反映 _ r   l f l I 线 的 奉厦 属性 , 当 条 件  | 1 涉及焦 、 r  

经 常  观 以  商  形 为 载 体 的 离 心 率 范  问 题 ,   为 
数 学 学 习与 研 究

.  

2 0 1 5 . 1  

解 题 技 巧 与方 法 
婚 酶 
? 

不 等 关 系常 隐藏 在 平 面 图 形 的 背 后 , 如 三 角 形 两 边 之 和 大 

五、 运 用 判 别 式 建 立 不 等 关 系 求 解 离 心 率 范 围 

于第三边 , 两边之差 小 于第 三边等 , 分 析平 面 图形 的特征 ,  
可 以挖 掘 出所 需 不 等 关 系 .  
2  



例 1 0   在椭 圆  

+  

=1 ( n>6> 0 ) 上 有 一 点 P, 椭 

2  

例7  若F 。 , F : 是双 曲线- 5   - 一 鲁 =1的左、 右两个焦  
点, 在 双 曲 线 上存 在 一 点 P, 使 P F , = 2 P F   , 则该双 曲线离心  
率 e的 范 围是
. 
— —

圆的 两 个 焦 点 为 F  和 F   , 若 P F  ? P F  = 2 b   , 求 椭 圆的 离  
心率范 围  

解  由椭 圆 的定 义 , 可得 P F  +P F 2 = 2 a , 又 P F 。? P F  =  

2 6   , 所 以  

, p   是方 程  一2 a x+2 b  = 0 的两 根 , 由 A=  



‘ .   P F l = 2 P F 2 , . ‘ . P F  一 P F 2 =P F   , 根据 定 义 可 知 :  

( 一2 Ⅱ )  一 4   X   2 b   ≥O可 得 o   ≥2 6 。 , 所 以 椭 圆 离 心 率 的 取 值 

PF1 一P F2=2 a, 可 见 尸F 2=2 a, 则 PFl =4 a, 在 △PF1 F 2中有 

F l F 2 ≤P F l + P 尸 2 , 即2 c ≤4 0+ 2 a. 。 . c ≤3 a , 该双 曲线离心率 
e的 范 围 为 e   e( 1 , 3 】 .  

范 围 是  1 ) .  
例 1 1   设 双 曲线 c :   一Y  =1( n>0)与 直 线 z :  +   Y=2相 交 于 两 个 不 同 的 点 M , Ⅳ.求 双 曲 线 C 的 离 心 率 e的  取 值 范 围.  

例8  设椭圆  + 告= 1 ( 。 > 6 > 0 ) 的左、 右焦点分别  
为F   , F : , 如 果 椭 圆上 存 在 点 P, 使  ,   . P   ’ 2 =9 0 。 , 求 离 心 率 
e的取 值 范 围.   解  由   F l P F 2 = 9 0 。 , 知 点 P在 以 I   F 。 F 2   I =2 c为 直 径 


2  

由双 曲线 C与 直 线 1 相交于两个不同的点 , 做 知方 
2  

r  

的 圆上 . 又 点 P在 椭 圆 上 , 因 此 该 圆 与 椭 圆 有 公 共 点 P, 故 
c ≥ 6  C 2 ≥6  =。 2 一c 2


程 组j  一 Y   有两个不同的 实数解 . 消去Y 并整 理得  
【  + Y : 2  
( 1 —0   )   + 4 口   一5 a  =0有 两 个 不 同 的 实 数 解 , . ? . 口≠l  
且 △=1 6 a  一4( 1一n  )(一5 a  )>0, 所 以 Ⅱ∈ ( 0, t )U ( 1 ,  


由 此 可 得 e   e [ 5 √ -   , 1 )  

例g  椭圆  + 告= 1 ( 0 > b > o ) 左焦点为F 。 , 右准线  
£上 一 点 P, F , P 的 中 垂 线过 椭 圆 右 焦 点 , 求 离 心 率 的 取 值 
范 围 

由 双 曲 线 离 心 率 e = ÷ 0   = √ 、 ,   薯 。   . √ 、 ,   - +   一   = √ 、 f     n ‘   ,  
总结 : 在 求 解 圆锥 曲 线 离 心 率 取 值 范 围 时 , 一 定 要 认 真 

解  ‘ . ’ ,   P 的 中垂 线 过 椭 圆 右 焦 点 , . ‘ . F   F  =P F   , 又  P  ≥   一c , 。 ? 。 2 c ≥   一c , 3 c  ≥ 0   , 离心 率 的取 值 范 围  

。   ( o , 1 ) U ( 1 ,  ) 得e   e   f {  ,  U (  , +  ) , 所 以 双  

曲 线 的 离 心 率 取 值 范 围 是( {  ,   1   U ( √ 互 。 , + 。 。 ) .  
分析题设条件 , 合理 建立 不等关系 , 把握好 圆锥 曲线 的相关 
性质 , 记 住 一 些 常见 结论 、 不等关 系 , 在 做题时不 断总结 , 择  优解题. 尤 其 运 用数 形 结 合 时 要 注 意 焦 点 的 位 置 等 .  

为  - )   .
解 决 此 类 问 题 的关 键 是 画 出 图 形 , 从 图形 的 特 性 中 寻 
找不等关系.  

( 上接 1 1 5页)  

但应注意 , 在上 述的 ( 2 ) 和( 3 ) 两种 情形 中 , 有 简 单 命 

对于这类 全 称命 题 和 特称 命 题 中 的 “ 所有的” 及“ 某 

题的时候 , 如: 命题 : “ 若  ≠ 1 且  ≠ 一1 , 则  ≠ 1 . ” 和“ 若 
=1 。 则  =1或  = 一1 . ” 都 是简单 命题. 因此 , 在 判 断 这 

两种命题的类型时 , 一 定 要 结 合 真 值 表 加 以确 认 , 否 则 容 易 
出错.  

误 区 之 四 :否 命 题 就 是 简 单 的 条 件 和 结 论 同 时否 定 
例 5   写 出 下 列 命 题 的否 命 题 :  

些” 都应看作是该命 题的大前提 , 而 在 写 出 一 个 命 题 的 否 命  题、 逆命题 、 逆否命题时 , 其 大 前 提 是 不 变 的. 如: 命题 “ 对 所  有 的  > 0 , 若 8>b , 则n c > b c ” 中的“ 对所有的 c > 0 ” 是 该 命  题 的大前提 , 在写出其否命题 、 逆命题 、 逆否命 题时 , 这个大  前 提 是 不 变 的. 命题 ( 1 ) 中的主词是 “ 三 角形” , 若 将 其 改 写  成“ 若 P则 q ” 的形式为“ 在所 有的三角 形 中, 若 一 个 三 角 形  是等边三角形 , 则 它 的各 内 角 都 相 等 ” . 故其 否命题 是 : “ 在  所 有 的三 角 形 中 , 若一个三角形不 是等边三 角形 , 则 它 的各  内角 不 都 相 等 ” , 即“ 所有非 等边 三角形各 内角不 都相 等” .   而命题 ( 2 ) 中 的 主词 是 “ 数” , 且 在 本 题 中所 指 的 是 “ 整数 ” ,  

( 1 ) 所 有 等边 三 角 形 各 角 都 相 等 ;   ( 2 ) 有 些质 数是 奇 数.   说明 对于命题 ( 1 ) 就在 《 名师伴你行》 的第 4 7页 中 给  出的否命题是 : “ 有些 等边三 角形各 角不都 相等 ” , ( 这 与 前 

文所说 的全称命题 的否 定形 式相 同) , 而给 出的命题 的否定  却是 “ 所 有的等边三角形 各角 不都相 等” . 其 他 很 多 书 中 也 
是这么给 的, 而 这 些 书 中对 命 题 ( 2 ) 给 出 的答 案 是 : “ 所 有 质  数不是奇数 ” .  

若改 写成 “ 若 P则 q ” 的形 式为 : “ 在某 些整 数 中, 若 一个 数  是质数 , 则 它 是 奇 数 ”, 因此 , 它 的否命 题 是 : “ 在 某 些 整 数 
中, 若一个数不是质数 , 则它 不是奇 数 ” , 即“ 有 些 非 质 数 不  是奇数 ” .  

分析

显然 , 命题 ( 1 ) 是真命题 , 其 逆命题也 是真命题.  

对 于 全称 命 题 和 特 称 命 题 在 写 出其 否 定 形 式 和 否 命 题 
时, 一定要引起高度重视.  

由于 一 个 命 题 的否 命 题 与 逆 命 题 是 等 价 的命 题 , 因此 , 命 题  ( 1 ) 的否 命 题 应 该 是 真 命 题 . 但“ 有 些 等 边 三 角 形 各 角 不 都  相等 ” 是 假命 题 , 所 以它 不是该 命题 的否命 题 , 而是 该命 题  的否定形式. 同理 , “ 所有质数不是 奇数 ” 是命 题 ( 2 ) 的否 定  形式 , 而不是命题 ( 2 ) 的否命题.  

【 参考文献 1  
《 名师伴你行》 数 学 高 一 同 步 创 新版 ( 上册 ) 4 4 页《 常 见  复合 命 题 的 三 个 误 区》  

故学 学 习 与研 究

2 0 1 5 . 1 1  


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