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5.3复数的四则运算导学案


淅川中学

高二数学(理)选修 2-2 第五章 导学案 编写:牛会芬

校审:王明璞

编号 24

5.3 复数的四则运算
学习目标: 学习目标:1、掌握复数的加、减、乘、除四则运算及其运算律; 2、培养类比思想和逆向思维。 3、培养学生探索精神和良好的学习习惯。 学习重点: 学习重点:复数的加、减、乘、除四则运算及其运算律。 学习难点:运用类比思想由实数运算法则探究复数运算法则。 学习难点: 教学过程: 教学过程: ; 复习旧知 1,复数的定义 实数 2,复数 a + bi 虚数

纯虚数 非纯虚数 3,任意一个复数 z = a + bi 与复平面内得点 是复数的一个几何意义; 4,一个复数 z = a + bi 与复平面内的向量 OZ =

是一一对应的,这

uuu r

是一一对应

5,设复数 z = a + bi 在复平面内对应的点是 Z( a, b ) ,点 Z 到原点的距 离 OZ 叫做 或 ,记作 Z ,显然 Z = ;

自主梳理 1 复数的加法:设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,则它们和为 z1 : +z2= 复数的和仍然为 ,其实部为 z1、z2 的 和,虚部为 z1、z2 的 和。 复数加法满足(1)交换律: ;(2)结合律(z1+z2)+z3= 。 2 复数的减法:(加法的逆运算)复数 a+bi 减去复数 c+di 的差是(a+bi)-(c+di) : 根据复数相等的定义:(a+bi)-(c+di)= 复数的差仍然是 , 其实部为两个复数 , 虚部为两个复数 。 3 复数的乘法:设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,则它们 : 积为 z1? z2=(a+bi) (c+di)= 复数的积仍然为 ,复数的乘法与 乘法相似。 复数乘法满足(1)交换律: (1)z1? z2= ;(2)结合律(z1? z2)? z3= (3)分配律 z1 (z2+z3)= (4)复数的运算性质 由运算性质得 结论
( a ± b) 2 =

zmzn =



(z )

m n

=

( z1 z2 ) n =

(3a + 2b)(3a ? 2b) =

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高二数学(理)选修 2-2 第五章 导学案 编写:牛会芬

校审:王明璞

编号 24

6 共扼复数: :

相等而虚部 zz =

的两个数。 复数 z 的共轭复数用

表示。

若 z=a+bi,则 z =

z ____

z

问:若 z1 , z2 是共轭复数,那么(1)在复平面内,它们所对应的点的位置关系为: (2) z1 ? z2 是一个怎样的数? 7 复数的除法:(乘法的逆运算)复数 a+bi 除去复数 c+di 的商是 : 0) 利用共轭复数性质:
(c+di≠

a + bi = = c + di 问题探讨: 问题 1:复数集是实数集的扩展,能否把实数集中的四则运算推广到复数集? 复数的加,减,乘,除又是怎样呢?

问题 2 ;复数的几何意义是什么,说出复数加法的几何意义以及减法的几何意 义,复平面上两点的距离,即|Z1Z2|=|z1-z2|吗?

例题解答 1]计算:(1) (4+3i)+(2-i); (2) ( 3 ? i )+( 2 3 ? 4i ) [例 1]
(3) ( 2 ? i ) ? ( 3 + i ) ;(4) ( 4 ? 9i ) ? ( 4 + 9i )

[例 2] (1) (2-3i)(1-2i); (2) (1 + i ) ;
4

(3) ( 2 ? i )

2

(2 + i)

2

;

(4)

?1 ; 2i

(5)

?2 3 + i 2 1996 1 ? 2i +( ) ;(5) 1? i 1 + 2 3i 2 + 3i

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高二数学(理)选修 2-2 第五章 导学案 编写:牛会芬

校审:王明璞

编号 24

3]若 [例 3] z ∈ C 且 | z + 2 ? 2i |= 1, 则 | z ? 2 ? 2i | 的最小值是 A.2 B.3 C.4

( D.5



练习:已知复数 z 满足|z|=1,求|z-2|取值范围。

当堂检测 1.(1-i) ·i =( 2.设复数 ω = ? A. ? ω 3.复数 (1 + ) 的值是
4
2

)A.2-2i

B 2+2 ) C. ?

C 2

D.-2

1 3 + i, 则1 + ω =( 2 2
B. ω
2

1

1 i

4.复数 ( B.1 )

1 ? i 10 ) 的值是 1+ i
C.32

ω

D.

1

ω2
( )

A.-1 5 复数

D.-32 C.-

(?1 + 3i )5 的值是 ( 1 + 3i
5 的共轭复数是( i?2

A.-16 B.16

1 1 3 D. ? i 4 4 4
D. 2 ? i

课后作业 1. 复数 )A. i + 2
B. i ? 2 C. ?2 ? i

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1 3 3 2. 复数 ( + i ) 的值是( )A. ?i B. i C. ?1 D.1 2 2 2 ? bi 3. 如果复数 的实部和虚部互为相反数,那么实数 b 的值为( ) 1 + 2i 2 2 B. ? 2 C. ? D. A. 2 3 3 2 4.若 z = 1 + 2i ,则 z ? 2 z 的值为 1? z 5. 若复数 z 满足 = i ,则 | z + 1| 的值为 1+ z uuu r uuu r 6 在复平面内,复数 6 + 5i 与 ?3 + 4i 对应的向量分别是 OA 与 OB ,其中 O 是原点, uuu r uuu r 求向量 AB , BA 对应的复数及模的大小.

7,已知 z(1+2i)=3+i,求 z

8.已知复数 z = (2 + i ) m ?
2

6m ? 2(1 ? i ) 当实数 m 取什么值时,复数 z 是 1? i

(1) 零;(2) 虚数;(3) 纯虚数

9. 已知 2i ? 3 是关于 x 的方程 2 x 2 + px + q = 0 的一个根,求实数 p, q 的值.

10.计算: 1 3 3 1 1 3 (1 ) ( ? + i )(1 + i ) ; 2) ( i ? )(? + ( i) 2 2 2 2 2 2 5(4 + i ) 2 3 ? 2i 3?i 2+i (3 ) ; 4) ( (5 ) , 2) ( i (2 + i ) (1 + 2i )2 (1 + i )2 ? 1 7 + 4i



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