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数学专业《概率统计初步》平时作业


华师大网络教育学院 专业:数学与应用数学
《概率统计初步》平时作业
************************************************************************ 第 1 讲—作业 ************************************************************************ 一、是非题(对的, 打√, 错的, 打×) 1. A 与 B 中恰有一个发生可以用 AB ? AB 表示. 2. 当 P( B ) ? 0 时, 则 P( AB) ? P( A) P( B) 的充要条件是 P( A | B) ? P( A) . 3. 若 A 与 B 互不相容, 则 A 与 B 也互不相容. 4. 设 a 是常数, 则 P( X ? a ) ? 1 ? P( X ? a ) . 5. A 与 B 至少有一个不发生可以用 AB 表示. 6. 若 AB ?? 且 P( B ) ? 0 时, 则 P( A | B ) ? ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ) ) ) ) ) ) ) ) ) )

P( A) . P( B )

7. 若 A 与 B 相互独立, 则 P( AB) ? P( A) P( B) . 8. 设 a 是常数, 则 P( X ? a ) ? 1 ? P( X ? a ) . 9. 事件 “甲、乙两种产品均畅销”的对立事件是 “甲、乙两种产品均滞销” 10. 若事件 A 与 B 相互独立, 则事件 A 与 B 也相互独立. 二、计算题 1. 写出下列随机试验的样本空间 (1) 掷一颗骰子观察出现的点数; (2) 重复抛一枚硬币, 直到出现正面的各种可能.

2. 甲、 乙两个移动靶射击运动员, 分别向目标靶射击一次, 用 A 、B 分别表示他们击中目标,

A 、 B 分别表示未击中目标 用 A 、 B 、 A 、 B 表示下列事件:
(1) 仅有一人射中目标; (2) 两个均射中目标; (3) 两个均没有射中.

3. 一口袋中有 5 只白球和 3 只黑球, 从中任取三只球, 计算以下事件的概率
第 1 页 共 9 页

(1) 取到三个白球; (2) 取到一只黑球和两个白球; (3) 至少有一只是白球.

4. 从一副 52 张的扑克牌中任取两张,求下列事件的概率 (1)一张是 A,一张是 K, (2)两张均是红桃.

5. 有 7 件产品,其中有 2 件是废品,从中任取 2 件,求 (1)均为合格品的概率; (2)一件是合格品,一件是废品的概率; (3)至少有一件是合格品的概率。 6. 设 A 和 B 独立, 已知 P( A ? B) ? 0.6, P( A) ? 0.5 , 求 P ( B ) .

7. 重复掷一枚均匀硬币 4 次, 求 (1) 正面出现 2 次的概率; (2) 正面出现不低于 2 次的概率.

8. 某气象台根据历年资料,得到某地菜月利大风的概率为

1 ,在刮大风的条件下,下雨的 5

概率为

5 ,求既刮大风又下雨的的概率。 6

9. 市场供应的节能灯中, 甲厂产品占 50%, 乙厂产品占 30%, 丙厂产品占 20%, 甲厂产品的 合格率 90%, 乙厂产品的合格率 85%, 丙厂产品的合格率 80%, 求 (1) 买到的一个节能灯是合格品的概率; (2) 已知买到的节能灯是合格品, 求这个合格品是甲厂的概率.

********************************************************************** 第 2 讲—作业 ********************************************************************** 一、是非题(对的, 打√, 错的, 打×) 1. 若 X 是连续型变量, C 是任意常数, 则 P( X ? C ) ? 0 . ( )

第 2 页 共 9 页

2. 设 ( X , Y ) 的分布函数为 F ( x, y ) , 则 F (1,2) ? 1 ? P( X ? 1, Y ? 2) . 3. 设 X ~ N (0,1), Y ~ N (0,1) , X 与 Y 相互独立, 则 2 X ? Y ~ N (0,5) .

( (

) )

二、计算题 1. —批产品中有 5 件正品和 2 件次品,从中任取 2 件,用 X 表示取到的次品数,求 X 的分 布律和 P( X ? 1) .

2. 从废品率为 10%的一批产品中,任取一件,求取到的废品数 X 的分布律,分布函数,并 绘出分布函数的图像。

3. 设 X 的密度函数为 f ( x) ? Me

?x

, x?

, 求(1) 常数 M ; (2) P(0 ? X ? 3) .

4. 设 X ~ N (0,1) , 求 (1) P( X ? 2.45) ; (2) P(?1 ? X ? 2) ; (3) P( X ? 1.5) .

5. 设 X ~ N (3,42 ) , 求 (1) P(?2 ? X ? 3) ; (2) P( X ? 2) ; (3) P( X ? ?1) .

6. 设 X 的分布律为 律.

X P

?2

?1

1

2

0.1 0.3 0.2 0.4

, 求 (1) 2 X ? 1 的分布律 ;

(2) X 的分布

2

7. 设在一个盒子中 5 个产品={2 正, 3 次}, 取 1 个产品不放回, 连取 2 次产品, 记 X 1 ? 0 : 第一次取到正品, X 1 ? 1 : 第一次取到次品, X 2 ? 0 : 第二次取到正品, X 2 ? 1 : 第二次取 到次品, 求 ( X 1 , X 2 ) 的概率分布. . 8. 将 A-B 两个球放入四个盒子(盒子编号分别为 I,II,III,IV), 记 X 1 表示第 I 个盒子中球的个 数(0,1 或 2), X 2 表示第 II 个盒子中球的个数(0,1 或 2). 求 ( X 1 , X 2 ) 的联合分布律和边缘分 布律.

?2 xe ? y , 0 ? x ? 1, y ? 0 9. 设二维随机变量 ( X , Y ) 的密度函数为 f ( x, y ) ? ? , 求边缘概率 其他 ? 0,
密度函数 f X ( x), fY ( y) .

第 3 页 共 9 页

10. 已知随机变量 ( X , Y ) 的分布律如下, 且已知 X 与 Y 独立, 求 a 、 b 的值.

X 0 1
第 3 讲—作业

Y

1 2 0.15 0.25 a b

**********************************************************************

******************************************************************** 一、是非题(对的, 打√, 错的, 打×) 1. X 与 Y 不相关的充要条件是 D( X ? Y ) ? DX ? DY . ( ) ) ) ( ( ( ) ) )

2. 设 X ~ N (0,1), Y ~ N (0,1) , X 与 Y 相互独立, 则 2 X ? Y ~ N (0,3) . ( 3. 随机变量 X 与 Y 相互独立是 D( X ? Y ) ? DX ? DY 成立的充分条件. ( 4. 设 X ~ N (0,1) , 则 X 与 X 必相关. 5. 设 E( XY ) ? E X ? E Y , 则 X 与 Y 独立. 6. 设 X ~ P(? ) , 则 E X ? D X .

二、计算题 1. 一批产品中有一、二、三等品、等外品及废品, 5 种级别的概率分别为 0.7、0.1、 0.1、 0.06 及 0.04, 若其产值 X 分别为 6 元、 5.4 元,、 5 元、4 元及 0 元. 求产品的平均产值.

2. 设随机变量的分布律为

X 0 1 2 3 4 , P 0.7 0.1 0.1 0.06 0.04

求 E X , E(3 X ? 5), E(3 X 2 )

3. 设随机变量 X 的概率密度为 f ( x ) ? ?

?e? x , x ? 0, ?2 X , 求 E X , E(3X ), E(e ) . ? 0, x ? 0,

4. 求习题 2 中的 D X .

5. 设随机变量 X 的概率密度为 f ( x ) ? ?

? 2 x, 0 ? x ? 1 , 求 D X , D( ?3 X ? 2) . 其他 ? 0, ?4 xy , 0 ? x ? 1, 0? y ? 1, , 求 其他, ? 0,

6. 设二元随机变量 ( X ,Y ) 的联合概率密度为 f ( x , y ) ? ?

第 4 页 共 9 页

E( XY 2 ) .
7. 设二元随机变量 ( X , Y ) 的联合分布律为

1 2 X Y 0 1 0.1 0.2 0.3 , 求 Cov( X , Y ) , ? X ,Y . 2 0.4 0 0

***************************************************************************** 第 4 讲—作业 ****************************************************************************** 一、是非题(对的, 打√, 错的, 打×) 1. 频率具有稳定性的理论依据是大数贝努里大数定律. 2. 通常大量微小独立随机变量之和不一定是正态分布 3. 样本观察值通常认为是大概率事件 ( ( ( ) ) )

二、计算题 1. 设 X 的期望,方差均存在, 试用切贝雪夫不等式估计概率 P(| X ? E X | ? 5 D X ) .

2. 已知正常男性成人血液中,每一毫升白细胞数平均值是 7300,标准差是 700,利用切贝 雪夫不等式估计每毫升含白细胞数在 5200--9400 之间的概率。 . 3. 设一颗铁钉的重量为 X 1 , EX1 ? 1 ( 克 ), 100 个铁钉的重量大于 102(克)的概率. 4. 设轰炸机每轮轰炸中击中目标的炸弹数为 X 1 , 以及 EX 1 ? 2 , DX1 ? ? 2 ? 1.69 , 利用中 心极限定理, 求 100 轮(独立)轰炸中击中数 X : 在 180 ? X ? 220 的概率. 5. 将一枚均匀硬币连掷 100 次,利用中心极限定理, 求正面出现的次数大于 60 的概率.

DX 1 ? 0.1 (克), 利用中心极限定理 , 求一盒

6. 在次品率为 20%的一大批产品中,任取 300 件,求取出的产品中次品件数在 40 至 60 之 间的概率。

************************************************************************* 第 5 讲—作业 ************************************************************************* 一、是非题(对的, 打√, 错的, 打×)

第 5 页 共 9 页

1. 设 X1, X 2 ,

, X n 是来自于总体 X ~ N ( ?, ? 2 ) 的独立样本, 则统计量
( ( ) )

S2 ?

n 2 1 (? X i2 ? n X ) 是 ? 2 的无偏估计. n ? 1 i ?1

2. 样本均值 X 是总体均值的无偏估计.

二、计算题 1. 已知一组来自某总体 X 的样本观察值: 54 差. 67 68 78 77 66, 求样本均值和样本方

2. 从一批机床零件中, 抽取 5 个, 称得重量(kg)值: 21.5 22.7 21.5 19.3 20.6, 计算样本 均值和样本标准差. . 3. 设 X 1, X 2 , X 3 , X 4 互相独立且同服从 N (0,1) , 指出下列随机变量的分布:
2 2 (1) X12 ? X 2 ; ? X3

(2)

2 X12 ? X 2 ; 2 2 X3 ? X4

(3)

X1
2 2 X ? X3 ? X4 3 2 2

;

. 4. 设 X 是来自总体 X ~ N (80,122 ) 的一个容量为 8 的样本均值, 求 P(68 ? X ? 92) .

5. 查表确定分位数: (1) 标准正态中的分位数 u0.975 (倒查最接近), (2) 查 t 的双侧分位数表的 t0.95 (8) , (3) 查 F0.05 (1,8) ,
2 (4) 查 ?0.1 (12) ,

6. 总体 X ~ N (30,9 ) , 从总体 X 抽取的一个容量为 36 的样本, 求 P( X 36 ? EX ? 2) .
2

************************************************************************** 第 6 讲—作业 ************************************************************************** 一、是非题(对的, 打√, 错的, 打×) 1. 当 n 较大时, 可以把样本均值作为正态变量来处理. 2. 区间估计的可靠性和精确性可同时提高. . ( ( ) )

二、计算题
第 6 页 共 9 页

1. 设总体 X 的分布律为 (点)估计.

X P

0 1 2 , 来自 X 的样本 X1, X 2 , 0.5 p 0.5? p

, X n , 求 p 的矩

x ? 1 ?? ? e 2. 设 X ~ f ( x;? ) ? ? ? ? ? 0

x?0 其它

, 试由样本值 x1 , x2 ,..., xn , 导出最大似然法参数 ? 估

计公式.

x ? 1 ?? ? e 3. 设电子管寿命服从 X ~ f ( x;? ) ? ? ? ? ? 0

x?0 其它

的分布, 现有样本观测值:

16

29

50

68 100 130 140 270 280

340 410 450 520 620 190 210 800 1100; 4. 设总体服从指数分布 X ~ E (? ) , x1 , x2 ,..., xn 为来自总体的样本观测值 , 试求未知参数

? 的点估计.
5. 设某种节能灯的寿命服从 X ~ N ( ?,8) , 已知 10 个样本的的均值为 x10 ? 1147 , 求置信 度为 95%的置信区间. 6. 设铁水含碳量 X ~ N ( ?, ? 2 ) , 且 ? ? 0.108 , 现今实际测试了 9 炉样本 , 样本平均
2 2

4.484, 求可靠性为 95%的 ? 的置信区间.

7. 设已知灯寿 X 的 DX ? 8 , ? ? 5% ,样本容量 10 个, 观察均值 x10 ? 1147 , 利用 “切贝 谢夫不等式”, 估计 EX ? ? 的置信区间, 即区间估计. .
2 8. 设铁水含碳量 X ~ N ( ?, ? ) , 且 ? ? 0.108 , 现今实际测试了 9 炉样本 , 样本平均
2 2

4.484, 求可靠性为 95%的 ? 的置信区间.

9. 新生儿体重 X ~ N ( ?, ? ) ,今得 12 个数据
2

3100, 2520, 3000, 3000, 3600, 3160, 试以 95%的置信度, 求 ? 的置信区间.

3560, 3320, 2880, 2600, 3400, 2540,

第 7 页 共 9 页

10. 设测得新生儿体重 X ~ N ( ?, ? 2 ) 的 12 个数据为 3100, 2520, 3000, 3000, 3600, 3160, 3560, 3320, 2880, 2600, 3400, 2540,

2 试以 95%的置信度( ? ? 0.05 ), 估计方差 DX ? ? 的置信区间.

************************************************************************ 第 7 讲—作业 ************************************************************************ 一、是非题(对的, 打√, 错的, 打×) 1. 如果检验时接受了原假设 H 0 , 但仍不能说原假设 H 0 是绝对真的. ( )

二、计算题 1. 某种产品在正常情况下, 质量 X

N (12, 1) (单位:g). 更新设备后, 从新生产的产品中随

机抽取 100 个, 测得样本均值 x ? 12.5 g. 若方差没有变化, 问设备更新后, 产品的平均质量 是否有显著变化? ( ? ? 0.05 )
2 2 2. 设 新 生 儿 体 重 X ~ N ( ?, ? ) , 其 中 ? 未 知 , 但 已 知 样 本 容 量 n ? 20 , 样 本 均 值

x20 ? 3160 , 样本标准差 s ? 300 , 检验水平 ? ? 0.01 , 检验 ? ? 3140 .
3. 设某制砖厂, 正常的情况下制造的砖的抗断强度 X ~ N (32.5, ? ) , 改进工艺后, 取 6 块
2

砖, 测试后的平均强度为 x ? 31.13 ( kg/cm2), 标准差 s ? 1.1 , 给出检验水平 ? =0.05, 试检 验工艺改进后, 砖的抗断强度有无变化. 4. 已知包装机在正常的情况下, 每袋包装糖重量的均值为 0.5 公斤, 标准差 ? ? 0.015 公斤, 并服从 X : N (? ,0.0152 ) 分布. 某日开工后随机地抽取的 9 袋糖的净重为(公斤)

0.497

0.506

0.518

0.524

0.498

0.511

0.520

0.515

0.512

问机器是否正常 ? 即是否有 H0 : ? ? ?0 ? 0.5 ? . 5. 设含钢含碳量 X ~ N ( ?, ? ) , 取出的 5 个样本为 4.421, 4.052, 4.357, 4.287, 4.683.
2

检验: H0 : ? ? 0.108
2

2

6. 某车间生产铜丝, 生产一直较稳定, 可认为其折断力 X 服从正态分布,今从产品中随机 抽取 10 根检查折断力,得数据如下(单位:kg); 578 572 570 568 572 570 572 570 596 584
第 8 页 共 9 页

是否可相信该车间生产的钢丝折断力的方差为 64(取 ? ? 0.05 )? . **************************************************************** 第 8 讲—作业 **************************************************************** 1. 从某高三年级中随机抽取 10 名, 测得其身高(m), 体重(kg)如下: (1.71, 65), (1.63, 63), (1.84,70), (1.90,75), (1.58,60), (1.60,55), (1.75, 64), (1.78,69), (1.80,65), (1.64,58). 考察体重 Y 与身高 X 的关系. 2. 下表列出不同重量与弹簧可伸展长度的数据资料:

5 10 15 20 25 30 长度Y (cm) 7.25 8.12 8.95 9.90 10.9 11.8
(1) 根据数据作散点图; (2) 计算 Y 关于 X 的线性回归方程. 3. 某企业某产品的产量与单位成本数据如下

重量X (g)

2 3 4 3 4 5 . Y 单位成本(元 / 件) 73 72 71 73 69 68
(1) 建立 Y 关于 X 的线性回方程; (2) 计算 X 与 Y 的样本相关系数; (3) 当线性回归方程有效时, 预测产量为 6 千件时, 单位成本为多少?

X 产量(千件)

第 9 页 共 9 页


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