tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

【步步高】2015高考数学(福建,理)一轮作业:7章 章末检测]


第七章

章末检测
)

(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.(2011· 山东)设集合 M={x|x2+x-6<0},N={x|1≤x≤3},则 M∩N 等于( A.[1,2) B.[1,2] C.(2,3] D.[2,3] 2.(2011· 商丘

月考)下列命题中为真命题的是( ) A.若 a>b,c>d,则 ac>bd B.若|a|>b,则 a2>b2 C.若 a>b,则 a2>b2 D.若 a>|b|,则 a2>b2 3.若实数 a、b 满足 a+b=2,则 3a+3b 的最小值是( ) A.18 B.6 C.2 3 4.不等式 y≥|x|表示的平面区域是( 4 D.2 3 )

5.(2011· 北京)如果 log 1 x< log 1 y<0,那么(
2 2

)

A.y<x<1 C.1<x<y

B.x<y<1 D.1<y<x 则 x+y 的最大值为( )

x+3y-3≥0, ? ? 6.若实数 x,y 满足不等式组?2x-y-3≤0, ? ?x-y+1≥0, A.9

15 7 B. C.1 D. 7 15 7.点 P(a,3)到直线 4x-3y+1=0 的距离等于 4,且在 2x+y-3<0 表示的平面区域内, 则 a 的值为( ) A.3 B.7 C.-3 D.-7 sin 1 sin 2 sin n 8.(2011· 黄冈月考)设 an= + 2 +…+ n ,则对任意正整数 m,n (m>n)都成立 2 2 2 的是( ) m· n A.|an-am|< 2 m-n B.|an-am|> 2 1 C.|an-am|< n 2 1 D.|an-am|> n 2

9.今有一台坏天平,两臂长不等,其余均精确,有人要用它称物体的重量,他将物体 放在左右托盘各称一次,取两次称量结果分别为 a、b.设物体的真实重量为 G,则( ) a+b a+b a+b A. =G B. ≤G C. >G D. ab<G 2 2 2 1 ??1 ??1 ? 10.设 M=? ? a-1??b-1??c-1?,且 a+b+c=1 (其中 a,b,c 为正实数),则 M 的取 值范围是( ) 1 1 ? ? A.? B.? C.[1,8) D.[8,+∞) ?0,8? ?8,1? 2 11.(2011· 许昌月考)对一切实数 x,不等式 x +a|x|+1≥0 恒成立,则实数 a 的取值范 围是( ) A.[-2,+∞) B.(-∞,-2) C.[-2,2] D.[0,+∞) 1 1 12.若实数 x、y 满足 2+ 2=1,则 x2+2y2 有( ) x y A.最大值 3+2 2 B.最小值 3+2 2 C.最大值 6 D.最小值 6 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.关于 x 的不等式 x2+(a+1)x+ab>0 的解集是{x|x<-1 或 x>4},则实数 a、b 的值 分别为________. 14.(2011· 陕西)如图,点(x,y)在四边形 ABCD 内部和边界上运动,那么 2x-y 的最小 值为________.

15. (2011· 汤阴模拟)已知正数 a、 b 满足 ab=a+b+3, 则 ab 的取值范围为____________, a+b 的取值范围是____________. x 16.(2011· 山东)设函数 f(x)= (x>0),观察: x+2 x f1(x)=f(x)= , x+2 x f2(x)=f(f1(x))= , 3x+4 x f3(x)=f(f2(x))= , 7x+8 x f4(x)=f(f3(x))= , 15x+16 …… 根据以上事实,由归纳推理可得: 当 n∈N*且 n≥2 时,fn(x)=f(fn-1(x))=________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.(10 分)解关于 x 的不等式 a
3 x - +1 x

1 ≤ (其中 a>0 且 a≠1). a

18.(12 分)(2011· 惠州月考)函数 f(x)对一切实数 x,y 均有 f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x 成 立,且 f(1)=0. (1)求 f(0); (2)求 f(x); (3)当 0<x<2 时不等式 f(x)>ax-5 恒成立,求 a 的取值范围.

19.(12 分)(2011· 汕头月考)设数列{an}是公比为 q 的等比数列,Sn 是它的前 n 项和. (1)求证:数列{Sn}不是等比数列; (2)数列{Sn}是等差数列吗?为什么?

20.(12 分)(2011· 嘉兴月考)某投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙项目 可能的最大盈利率分别为 100%和 50%,可能的最大亏损率分别为 30%和 10%,投资人计划 投资金额不超过 10 万元,要求确保可能的资金亏损不超过 1.8 万元,问投资人对甲、乙两 个项目各投资多少万元,才能使可能的盈利最大?

21.(12 分)先阅读下列不等式的证法,再解决后面的问题: 2 1 已知 a1,a2∈R,a1+a2=1,求证:a2 1+a2≥ . 2 证明:构造函数 f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2,

2 2 2 2 f(x)=2x2-2(a1+a2)x+a2 1+a2=2x -2x+a1+a2.

1 2 2 2 因为对一切 x∈R,恒有 f(x)≥0,所以 Δ=4-8(a2 1+a2)≤0,从而得 a1+a2≥ . 2 (1)若 a1,a2,…,an∈R,a1+a2+…+an=1,请写出上述问题的推广式; (2)参考上述证法,对你推广的问题加以证明.

22.(12 分)(2009· 山东)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知对任意的 n∈N*,点(n,Sn) x 均在函数 y=b +r(b>0 且 b≠1,b,r 均为常数)的图象上. (1)求 r 的值; (2)当 b=2 时,记 bn=2(log2an+1)(n∈N*), b1+1 b2+1 bn+1 证明:对任意的 n∈N*,不等式 · · …· > n+1成立. b1 b2 bn

第七章

章末检测

1.A [∵x2+x-6<0,∴-3<x<2, ∴M={x|-3<x<2}. 又∵N={x|1≤x≤3},∴M∩N={x|1≤x<2}.] 2.D + 3.B [由基本不等式,得 3a+3b≥2 3a· 3b=2 3a b=6,当且仅当 a=b=1 时取等号, a b 所以 3 +3 的最小值是 6.] 4.A

5.D [不等式转化为 6.A [画出可行域如图:

?1<y<x.]

令 z=x+y,可变为 y=-x+z,作出目标函数线,平移目标函数线,显然过点 A 时 z 最大. ?2x-y-3=0, ? 由? 得 A(4,5), ? ?x-y+1=0 ∴zmax=4+5=9.] |4a-3×3+1| ? ? =4, 5 7.C [由题意? 解得 a=-3.] ? ?2a+3-3<0, 8.C [|an-am| +1? sin?n+2? sin m ?sin?n+ + +…+ m ? =? + n 1 2 ? 2n 2 ? 2 ? sin ? n + 1 ? sin ? n + 2 ? ? ?+? ?+…+?sinmm? ≤? + + ? ? ? ? 2 ? ? 2n 1 ? ? 2n 2 ? 1 1 n+1- m+1 2 1 1 1 2 1 1 1 < n+1+ n+2+…+ m= = n- m< n.] 2 1 2 2 2 2 2 1- 2 9.C [设左、右臂长分别为 l1、l2, 则 l1· G=l2· a,① l2· G=l1· b.② ①×②,得 G2=ab,∴G= ab.∵l1≠l2, a+b 故 a≠b, > ab=G.] 2 1 1 1 10.D [∵M=( -1)( -1)( -1) a b c b+c a+c a+b 2 bc 2 ac 2 ab = · · ≥ · · =8, a b c a b c 1 当且仅当 a=b=c= 时,等号成立. 3 ∴M≥8.] 11.A [当 x=0 时,对任意实数 a,不等式都成立; x2+1 1 |x|+ ?=f(x), 当 x≠0 时,a≥- =-? |x|? ? |x| 问题等价于 a≥f(x)max,∵f(x)max=-2,故 a≥-2. 综上可知,a 的取值范围是[-2,+∞).] 2 x2 2y2 x2 ? 12+ 12?=1+2y 12.B [x2+2y2=(x2+2y2)· 1=(x2+2y2)· · 2 + 2+2≥3+2 ?x y ? x y x2 y2 2 2 2y x =3+2 2,当且仅当 2 = 2时等号成立.] x y 13.-4,1 解析 由题意知, - 1、 4 为方程 x2+(a+1)x+ab=0 的两根, ∴a+1=-3, ab=-4.∴a

=-4,b=1. 14.1

解析 令 b=2x-y,则 y=2x-b, 如图所示,作斜率为 2 的平行线 y=2x-b, 当经过点 A 时,直线在 y 轴上的截距最大,为-b,此时 b=2x-y 取得最小值,为 b =2×1-1=1. 15.[9,+∞) [6,+∞) 解析 ∵a+b≥2 ab,∴ab-3≥2 ab. 解得, ab≥3 或 ab≤-1(舍),∴ab≥9, a+b=ab-3≥6. x 16. n ?2 -1?x+2n 解析 依题意, 先求函数结果的分母中 x 项系数所组成数列的通项公式, 由 1,3,7,15, …, n 可推知该数列的通项公式为 an=2 -1.又函数结果的分母中常数项依次为 2,4,8,16,…,故 其通项公式为 bn=2n. x 所以当 n≥2 时,fn(x)=f(fn-1(x))= n . ?2 -1?x+2n 3 17.解 ①当 a>1 时,有 x- +1≤-1, x 2 x + 2x - 3 3 ∴x- +2≤0,∴ ≤0. x x ?x+3??x-1? ∴ ≤0,∴x≤-3 或 0<x≤1.(6 分) x 3 ②当 0<a<1 时,有 x- +1≥-1, x x2+2x-3 ∴ ≥0.∴-3≤x<0 或 x≥1.(8 分) x 综上,当 a>1 时,x∈(-∞,-3]∪(0,1]; 当 0<a<1 时,x∈[-3,0)∪[1,+∞).(10 分) 18.解 (1)令 x=1,y=0,得 f(1+0)-f(0)=(1+2×0+1)×1=2, ∴f(0)=f(1)-2=-2.(3 分) (2)令 y=0,f(x+0)-f(0)=(x+2×0+1)· x=x2+x, ∴f(x)=x2+x-2.(6 分) (3)f(x)>ax-5 化为 x2+x-2>ax-5,ax<x2+x+3, ∵x∈(0,2), x2+x+3 3 ∴a< =1+x+ .(8 分) x x 3 3 当 x∈(0,2)时,1+x+ ≥1+2 3,当且仅当 x= ,即 x= 3时取等号,由 3∈(0,2), x x 3 得(1+x+ )min=1+2 3. x ∴a<1+2 3.(12 分) 19.(1)证明 方法一 (反证法) 若{Sn}是等比数列. 2 2 则 S2 a1(1+q+q2), 2=S1S3,即 a1(1+q) =a1· (3 分)

∵a1≠0,∴(1+q)2=1+q+q2, ∴q=0.这与 q≠0 矛盾. ∴{Sn}不是等比数列.(6 分) 方法二 ∵Sn+1=a1+qSn,Sn+2=a1+qSn+1, ∴SnSn+2-S2 n+1=Sn(a1+qSn+1)-(a1+qSn)Sn+1 =a1(Sn-Sn+1)=-a1an+1≠0. 故 SnSn+2≠S2 n+1, ∴数列{Sn}不是等比数列.(6 分) (2)解 当 q=1 时,{Sn}是等差数列. 当 q≠1 时,{Sn}不是等差数列,否则 S1,S2,S3 成等差数列,即 2S2=S1+S3. ∴2a1(1+q)=a1+a1(1+q+q2)(10 分) 由于 a1≠0,∴2(1+q)=2+q+q2, ∴q=q2,∵q≠1,∴q=0. 这与 q≠0 矛盾,故当 q≠1 时,{Sn}不是等差数列. (12 分) 20 . 解 设 投 资 人 分 别 用 x 万 元 、 y 万 元 投 资 甲 、 乙 两 个 项 目 , 由 题 意 知 x+y≤10, ? ?0.3x+0.1y≤1.8, ?x≥0, ? ?y≥0. 目标函数 z=x+0.5y.(5 分)

上述不等式组表示的平面区域如图所示,阴影部分(含边界)即可行域. 作直线 l0:x+0.5y=0,并作平行于直线 l0 的一组直线 x+0.5y=z,z∈R,与可行域相 交,其中有一条直线经过可行域上的 M 点,且与直线 x+0.5y=0 的距离最大,这里 M 点是 直线 x+y=10 和 0.3x+0.1y=1.8 的交点.(9 分) ? ?x+y=10 解方程组? , ?0.3x+0.1y=1.8 ? 得 x=4,y=6,此时 zmax=1×4+0.5×6=7(万元). ∴当 x=4,y=6 时,z 取得最大值. 答 投资人用 4 万元投资甲项目、6 万元投资乙项目,才能在确保亏损不超过 1.8 万元 的前提下,使可能的盈利最大.(12 分) 21.(1)解 若 a1,a2,…,an∈R,a1+a2+…+an=1. 2 2 1 求证:a2 1+a2+…+an≥ .(4 分) n (2)证明 构造函数 f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-an)2=nx2-2(a1+a2+…+an)x+ 2 2 2 2 2 2 a1+a2 2+…+an=nx -2x+a1+a2+…+an.(8 分) 因为对一切 x∈R,都有 f(x)≥0, 2 2 所以 Δ=4-4n(a1 +a2 2+…+an)≤0, 1 2 2 从而证得 a2 1+a2+…+an≥ .(12 分) n

22.(1)解 由题意:Sn=bn+r,当 n≥2 时,Sn-1=bn 1+r. - 所以 an=Sn-Sn-1=bn 1(b-1),(3 分) 由于 b>0 且 b≠1, 所以 n≥2 时,{an}是以 b 为公比的等比数列. 又 a1=b+r,a2=b(b-1), b?b-1? 所以 =b,所以 r=-1.(5 分) b+r - (2)证明 由(1)知 an=2n 1,因此 bn=2n(n∈N*), 2+1 4+1 2n+1 所证不等式为 · · …· > n+1. 2 4 2n (6 分) 3 ①当 n=1 时,左式= ,右式= 2. 2 左式>右式,所以结论成立,(7 分) 2+1 4+1 2k+1 ②假设 n=k(k∈N*)时结论成立,即 · · …· > k+1,则当 n=k+1 时, 2 4 2k 2+1 4+1 2k+1 2k+3 2k+3 · · … · > k+1· 2 4 2k 2?k+1? 2?k+1? 2k+3 = 要证当 n=k+1 时结论成立, 2 k+1 2k+3 只需证 ≥ k+2, 2 k+1 2k+3 即证 ≥ ?k+1??k+2?, 2 2k+3 ?k+1?+?k+2? 由均值不等式 = ≥ ?k+1??k+2?成立, 2 2 所以,当 n=k+1 时,结论成立.(11 分) b1+1 b2+1 bn+1 由①②可知,n∈N*时,不等式 · · …· > n+1成立.(12 分) b1 b2 bn



推荐相关:

【步步高】2015高考数学(福建,理)一轮作业:7章 章末检测]

【步步高】2015高考数学(福建,理)一轮作业:7章 章末检测]_数学_高中教育_教育专区。【步步高】2015高考数学(福建,理)一轮作业:7章 章末检测]第...


【步步高】2015高考数学(福建,理)一轮作业:1章 章末检测]

【步步高】2015高考数学(福建,理)一轮作业:1章 章末检测]_高考_高中教育_教育专区。【步步高】2015高考数学(福建,理)一轮作业:1章 章末检测]第...


【步步高】2015高考数学(福建,理)一轮作业:2章 章末检测]

【步步高】2015高考数学(福建,理)一轮作业:2章 章末检测]_高考_高中教育_教育...[4,+∞) 2 4 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 号答案二、填空...


【步步高】2015高考数学(福建,理)一轮作业:7.2 一元二次不等式及其解法]

【步步高】2015高考数学(福建,理)一轮作业:7.2 一元二次不等式及其解法]_数学_高中教育_教育专区。【步步高】2015高考数学(福建,理)一轮作业:7.2 一元二次...


【步步高】2015高考数学(福建,理)一轮作业:9.7 抛物线]

【步步高】2015高考数学(福建,理)一轮作业:9.7 抛物线]_高考_高中教育_教育专区。【步步高】2015高考数学(福建,理)一轮作业:9.7 抛物线]§...


【步步高】2015高考数学(福建,理)一轮作业:6.2 等差数列及其前n项和]

【步步高】2015高考数学(福建,理)一轮作业:6.2 等差数列及其前n项和]_数学_高中教育_教育专区。【步步高】2015高考数学(福建,理)一轮作业:6.2 等差数列及其前...


【步步高】2015高考数学(福建,理)一轮作业:4.3 三角函数的图象与性质]

【步步高】2015高考数学(福建,理)一轮作业:4.3 三角函数的图象与性质]_数学_高中教育_教育专区。【步步高】2015高考数学(福建,理)一轮作业:4.3 三角函数的图象与...


【步步高】2015高考数学(福建,理)一轮作业:6.4 数列求和]

【步步高】2015高考数学(福建,理)一轮作业:6.4 数列求和]_数学_高中教育_教育专区。【步步高】2015高考数学(福建,理)一轮作业:6.4 数列求和]§...


【步步高】2015高考数学(福建,理)一轮作业:4.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用]

【步步高】2015高考数学(福建,理)一轮作业:4.4 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用]_数学_高中教育_教育专区。【步步高】2015高考数学(福建,理)一轮作业:4.4 函...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com