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辽宁省大石桥市第二高级中学2015-2016学年高一数学3月月考试题


大石桥二高中 2015-2016 学年度高一下学期 3 月月考 高一数学试卷

一、选择题(每小题只有一个正确选项,每小题 5 分,共 60 分) 1.某中学有高级教师 28 人,中级教师 54 人,初级教师 81 人,为了调查他们的身体状况,从他们中抽取 容量为 36 的样本,最适合抽取样本的方法是( ) A.简单随机抽样 B.系统抽样 C.分层抽样 D.先

从高级教师中随机剔除 1 人,再用分层抽样 2.将两个数 a ? 2010, b ? 2011交换使得 a ? 2011, b ? 2010 ,下面语句正确一组是

3.10 名工人某天生产同一种零件,生产的件数是 15,17,14,10,15,17,17,16,14,12;设其平均 数为 a ,中位数为 b ,众数为 c ,则有( ) A. a ? b ? c B. b ? c ? a C. c ? b ? a D. c ? a ? b 4 .小强和小华两位同学约定下午在大良钟楼公园喷水池旁见面,约定谁先到后必须等 10 分钟,这时若另一 人还没有来就可以离开.如果小强是 1:40 分到达的,假设小华在 1 点到 2 点内到达,且 小华在 1 点到 2 点之间何时到达是等可能的,则他们会面的概率是 A.

1 6

B.

1 2

C.

1 4

D.

1 3

5.某时段内共有 100 辆汽车经过某一雷达地区,时速频率分布直方图如图所示,则时速超过 60km/h 的汽 车数量为( )

A.38 辆 B.28 辆 6. 根据如下样本数据 x y
?

C.10 辆 4 5 6

D.5 辆 7 8

3

4.0

2.5

?0.5


0.5

?2.0

?3.0

可得到的回归方程为 y ? bx ? a ,则( A. a ? 0, b ? 0 7.给出下列命题: (1)小于 B. a ? 0, b ? 0

C. a ? 0, b ? 0

D. a ? 0, b ? 0

的角是锐角 (2)第二象限角是钝角(3)终边相同的角相等 )
1

(4)若 α 与 β 有相同的终边,则必有 α ﹣β =2kπ (k∈Z) ,正确的个数是(

A.0 B.1 C.2 D.3 8.若角 α 与角 β 的终边关于 y 轴对称,则( ) A.α +β =π +kπ (k∈Z) B.α +β =π +2kπ (k∈Z) C. D.

9.如果已知 sin ? ? cos ? ? 0,sin ? ? tan ? ? 0 ,那么角

?
2

的终边在(



A.第一或第三象限 B.第二或第四象限 C.第一或第二象限 D.第四或第三象限 10.设扇形的半径长为 2cm ,面积为 4cm 2 ,则扇形的圆心角的弧度数是( )

A.2 B.4 C.1 D.3 11.在样本的频率分布直方图中,共有 n 个小矩形,若中间一个小矩形的面积等于其余(n-1)个小矩形面 积的

1 ,且样本容量为 300,则中间一组的频数为( 5

)

A.30 B.40 C.50 D.60 12.下图是用模拟方法估计圆周率 ? 的程序框图, P 表示估计结 果,则图中空白框内应填入(



A. P ?

N 1000

B. P ?

4N 1000

C. P ?

M 1000

D. P ?

4M 1000

二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 13.用辗转相除法或更相减损术求得 1855 与 1120 的最大公约数为

. .

14.设集合 P ? {0,1,2} , x ? P 且 y ? P ,则点 ( x, y ) 在圆 x2 ? y 2 ? 4 内部的概率为
6 5 3 2

15.用秦九韶算法计算多项式 f ? x ? ? 2x ? 2x ? x ? x ? 2x ? 4 ,当 x ? 2 时, v 4 的值是______. 16.已知角α 的终边经过点 P(3, 3 ) ,则与α 终边相同的角的集合是___ ___. 三、解答题(写出必要的文字说明和解题过程,写在草纸上无效) 17. (本小题满分 10 分)已知在半径为 10 的圆 O 中,弦 AB 的长为 10。 (1)求弦 AB 所对的圆心角 ? ?0 ? ? ? ? ? 的大小。
2

(2)求 ? 所在的扇形弧长 l 及弧所在的弓形的面积 S。 18. (本题满分 12 分)某公司的广告费支出 x 与销售额 y(单位:万元)之间有下列对应数据 x y 2 30 4 40 5 60 6 50 8 70

(1)画出散点图,并判断广告费与销售额是否具有相关关系;

? ? bx ? a ; (2)根据表中提供的数据,用最小二乘法求出 y 与 x 的回归方程 y
(3)预测销售额为 115 万元时,大约需要多少万元广告费。

? ? bx ? a, 其中 b ? 参考公式:回归方程为 y

? x y ? nx y
i ?1 n i i

n

? xi2 ? nx
i ?1

2

, a ? y ? bx.

19. (本题满分 12 分)已知角 α 终边经过点 P(x,﹣ 值.

) (x≠0) ,且 cosα =

x,求 sinα +



20. (本小题满分 12 分) 甲打靶射击,有 4 发子弹,其中有一发是空弹(“空弹”即只有弹体没有弹头的子弹). (1)如果甲只射击 1 次,求在这一枪出现空弹的概率; (2)如果甲共射击 3 次,求在这三枪中出现空弹的概率; (3)如果在靶上画一个边长为 10 的等边 ?PQR ,甲射手用实弹瞄准了三角形 PQR 区域随机射击,且弹 孔都落在三角形 PQR 内。求弹孔与 PQR 三个顶点的距离都大于 1 的概率(忽略弹孔大小).

21. (本题满分 12 分)设关于 x 的一元二次方程 x ? 2ax ? b ? 0 .
2 2

(1)若 a 是从 0 、 1 、 2 、 3 四个数中任取的一个数, b 是 从 0 、1 、 2 三个数中任取的一个数,求上述 方程有实根的概率; (2)若 a 是从区间 ?0,3? 任取的一个数, b 是从区间 ? 0, 2? 任取的一个数,求上述方程有实根的概率. 22. (本题满分 12 分)对某电子元件进行寿命追踪调查,所得情况如右频率分布直方图.

3

(1)图中纵坐标 y0 处刻度不清,根据图表 所提供的 数据还原 y0 ; (2)根据图表的数据按分层抽样,抽取 20 个元件,寿命为 100 ~ 300 之间的应抽取几个; ( 3 )从( 2 )中抽出的寿命落在 100 ~ 300 之间的元件中任取 2 个元件,求事件“恰好有一个寿命为 100 ~ 200 ,一个寿命为 200 ~ 300 ”的概率.

4

参考答案及评分标准 1.D 2.B 3.C 4.D 5.A 6.A 13.35 14. 7.B 8.B 9.A 10.A 11.C 12.D 16. ? x | x ?

4 9

15. 15

? ?

?

? ? 2k? , k ? Z ? 6 ?

17. 解: (1)由于圆 O 的半径为 10,弦 AB 的长为 10,所以 ?AOB 为等边三角形, 所以

?AOB ?

?
3

.

..............2 分

(2)因为 ? ?

?

3 1 1 10? 50? S 扇 ? lr ? ? ? 10 ? ..................................6 分 2 2 3 3 1 ? 又 S △ AOB ? ? 10 ? 10 sin ? 25 3 ,...................8 分 2 3
所以 S ? S 扇 ? S △ AOB ?

,所以 l ?| ? | ?r ?

10? 。 . .........4 分 3

?? 50? 3? ? 。...............10 分 ? 25 3 ? 50? ? ?3 ? 3 2 ? ?

18. 解:(1)散点图如图

由图可判断:广告费与销售额具有相关关系。.........................3 分 (2) x ?
5

1 (2 ? 4 ? 5 ? 6 ? 8) ? 5 5

, y?

1 (30 ? 40 ? 60 ? 50 ? 70) ? 50 5

? x y = 2 ? 30 ? 4 ? 40 ? 5 ? 60 ? 6 ? 50 ? 8 ? 70 =1380
i ?1 5 i i

?x
i ?1

2 i

2 2 2 2 2 = 2 ? 4 ? 5 ? 6 ? 8 = 145

b?

?x y
i ?1 5 i

5

i

? nx y
=

?x
i ?1

2 i

? nx2

1380 ? 5 ? 5 ? 50 = 6 .5 145 ? 5 ? 5 2

a ? y ? b x = 50 ? 6.5 ? 5 = 17.5
5

∴线性回归方程为 y ? 6.5 x ? 17.5

^

................... .....10 分 .......12 分

(3)由题得: y ? 115, 6.5 ? x ? 17.5 ? 115 ,得 x ? 15 19.解∵P(x,﹣ ) (x≠0) ,

∴点 P 到原点的距离 r= 又 cosα = ∴cosα = x, = x .............2 分

∵x≠0,∴x=± , ∴r=2 . ..........................................4 分 当 x= 时,P 点坐标为( ,﹣ ) , 由三角函数的定义, 有 sinα =﹣ ∴sinα + 当 x=﹣ , =﹣ 时, = . ......................12 分 =﹣ ﹣ , =﹣ ; .................8 分

同样可求得 sinα +

20.解:设四发子弹编号为 0(空弹) ,1,2,3。 (1)甲只射击 1 次,共有 4 个基本事件。 设第一枪出现“哑弹”的事件为 A,则 P( A) ?

1 . 4

............3 分

(2)甲共射击 3 次,前三枪共有 4 个基本事件:{0,1,2},{0,1,3},{0,2,3},{1,2,3}; 设“甲共射击 3 次,这三枪中出现空弹”的事件为 B, B 包含的的事件有三个:{0,1,2},{0,1,3},{0,2,3}, 则 P( B) ?

3 。 4

...........................8 分

(3)等边 ?PQR 的面积为 S? ? 25 3 , 分别以 P, Q, R 为圆心、1 为半径的三个扇形的面 积和为: S1 ? 设“弹孔与 ?PQR 三个顶点的距离都大于 1”的事件为 C, 则 P(C ) ?

?
2



S? ? S1 3? ? 1? . S? 150
2 2

.......................12 分

21.解:设事件 A 为“方程 x ? 2ax ? b ? 0 有实根” ,
2 2 当 a ? 0 , b ? 0 时,方程 x ? 2ax ? b ? 0 有实根的充要条件为 a ? b .......2 分

6

(1)基本事件共 12 个:

? 0, 0 ? 、 ? 0,1? 、 ? 0, 2 ? 、 ?1,0?

、 ?1,1? 、 ?1, 2 ? 、 ? 2, 0 ? 、 ? 2,1? 、 ? 2,3? 、 ? 3, 0 ? 、 ? 3,1? 、

? 3, 2? ,................4 分
其中第一个数表示 a 的取值,第二个数表示 b 的取值. 事件 A 中包含 9 个基本事件, 事件 A 发生的概率为 P ? A ? ?

9 3 ? ; 12 4

............... 6 分

(2)试验的全部结束所构成的区域为 构成事件 A 的区域为

?? a, b ? 0 ? a ? 3, 0 ? b ? 2? ,........8 分

?? a, b ? 0 ? a ? 3, 0 ? b ? 2, a ? b? ,..............10 分
....................12 分

1 3 ? 2 ? ? 22 2 2 所以所求的概率为 ? ? . 3? 2 3

22.解: (1)根据题意: 0.001?100 ? 2 y0 ?100 ? 0.002 ?100 ? 0.004 ?100 ? 1 解得 y0 ? 0.0015 .................... 3 分

(2)设在寿命为 100 ~ 300 之间的应抽取 x 个,根据分层抽样有:

x ? ? 0.001 ? 0.0015 ? ?100 .............. 5 分 20 解得: x ? 5 所以应在寿命为 100 ~ 300 之间的应抽取 5 个 .......... .7 分 (3)记“恰好有一个寿命为 100 ~ 200 ,一个寿命为 200 ~ 300 ”为事件 A ,由(2)知
寿命落在 100 ~ 200 之间的元件有 2 个分别记 a1 , a2 ,落在 200 ~ 300 之间的元件有

3 个分别记为: b1 , b2 , b3 ,从中任取 2 个球,有如下基本事件:

? a1, a2 ? , ? a1, b1 ? , ? a1, b2 ? , ? a1, b3 ? , ? a2 , b1 ? , ? a2 , b2 ? , ? a2 , b3 ? , ?b1, b2 ? , ?b1, b3 ? , ?b2 , b3 ? ,共有10 个基本事件
......................9 分 事件 A “恰好有一个寿命为 100 ~ 200 ,一个寿命为 200 ~ 300 ”有:

? a1, b1 ? , ? a1, b2 ? , ? a1, b3 ? , ? a2 , b1 ? , ? a2 , b2 ? , ? a2 , b3 ? 共有 6 个基本事件
? P( A) ?
3 . 5

.......... 10 分

6 3 ? 10 5

................. 11 分

00 答 : 事 件 “ 恰 好 有 一 个 寿 命 为 100 ~ 200 , 另 一 个 寿 命 为 2 0 0 ~ 3 ” 的 概 率 为
...................12 分

7


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