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一道国家集训队选拔考试题的简证及推广


2005 年第 6 期

25
n n

1= 1=

1
A2
n

+ +

a2

A2

+ +

1
A2 a3
n n n

+ …+ +

1
A3
n

1
A2
n

,

一点 , 且 OP = 1 , ∠XOP = 30° , 过点 P 任意作 一条直线分别交射线 OX 、 OY 于点 M 、 N. 求
1
A3
n

1
A3
n

1
A3
n

A3

+ …+

,

OM + ON - MN 的最大值 . ( 2004 , IMO 中国国家集训队选拔考试)

……
1= 1
An
n

+

1
An
n

+ …+ 1

1
An
n

+

an An
n

n

,

解 : 如图 1 , 设 ∠PMO = θ ( 0° <θ
) ,则 < 90° OM + ON - MN

( 注 :上述各式中

Ai

n 的项数均为 n - 1)

所以 , 将上述 n 个式子相加 , 得
a1 1 1 1 n = ( n + n + n + …+ n ) + A1 A2 A3 An ( (
n

=

3 1 + cot θ+ 2 2

图1

1
A1
n

+ +

a2 1 1 ) + …+ n + n + …+ A2 A3 An n

n

 

1 3 1 3 + tan θ. 2 2 2 sin θ 2 cos θ

令 tan

1
A1
n

1
A2
n

+ …+
a1

an n An

n)

. a2

θ = t ∈( 0 , 1) , 则 2 OM + ON - MN
3 +1 t 3 1- t ? 2 2 2 1+ t 1 2 3 = 3 +1 ( ) 2 1 + t + (1 + t) =

故 n ≥n? ?

A1 A2 … An

+ n?

A1 A2 … An

+ …+ n

an . A 1 A 2 …A n

去分母整理 , 得 A 1 A 2 …A n ≥a1 + a2 + …+ a n ,
n n

≤ 3 +1 当t= 立.
4

4

12 .

12 - 1 ∈( 0 , 1 ) 时 , 上式等号成

即   ∏A i ≥ ∑ai .
i =1 i =1 n n

所以 , OM + ON - MN 的最大值是

从而 ,
n

i =1



( A in )



i =1

∑a

n i

.


n

3 +1 -

4

12 .

由式 ①、 ②, 得
i =1



n- 1 - 1 ( a2 - an + n) ≥ i i

i =1

∑a

n i

.

易知当 a1 = a2 = … = a n = 1 时 , 上式等 号成立 . 显然 , 当 n = 3 时 , 即有 2 5 2 5 2 ( a5 1 - a1 + 3) ( a2 - a2 + 3) ( a3 - a3 + 3) ≥( a1 + a2 + a3 ) 3 .

推广  设 ∠XOY = 90° , P ( x0 , y0 ) 为 ∠XOY 内的一定点 , 过点 P 任意作一条直线 分别交射线 OX 、 OY 于点 M 、 N. 则 1 当 x 0 < y 0 < 2 x 0 时 , OM + ON - MN 的 2 最大值是 2 ( x 0 + y 0 ) - 2 2 x0 y0 ; 1 当 0 < y0 ≤ x0 时 , OM + ON - MN 没 2 有最大值 , 它的取值范围是 ( y0 , x 0 ) ; 当 y0 ≥ 2 x 0 时 , OM + ON - MN 没有最 大值 , 它的取值范围是 ( x 0 , y 0 ) . 证明略 .
参考文献 :
[1 ]   2004 年 IMO 中国国家集训队选拔考试 [J ] . 中等数学 ,

一道国家集训队选拔考试题 的简证及推广
茹双林
( 江苏省苏州市苏苑高级中学 , 215128)

2004 (6) .

   题目   设 ∠XOY = 90° , P 为 ∠XOY 内的


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