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【名师一号】2017届高考数学大一轮总复习大题规范练5平面解析几何理北师大版(新)


高考大题规范练(五)
x2
2

平面解析几何

1.已知椭圆 C: +y =1 的上、下顶点分别为 A,B,点 P 在椭圆上,且异于点 A,B, 4 直线 AP,BP 与直线 l:y=-2 分别交于点 M,N。

(1)设直线 AP,BP 的斜率分别为 k1,k2,求证:k1k2 为定值; (2)求

线段 MN 长的最小值。 解 率 k1= (1)证明:由题意,A(0,1),B(0,-1),令 P(x0,y0),则 x0≠0,∴直线 AP 的斜

y0-1 y0+1 ,BP 的斜率 k2= 。 x0 x0 x2 0
2

又点 P 在椭圆上。∴ +y0=1(x0≠0), 4 1- -1 4 y2 1 0-1 从而有 k1k2= 2 = =- 。 2 x0 x0 4 即 k1k2 为定值。 (2)由题设可以得到直线 AP 的方程为 y-1=k1(x-0), 直线 BP 的方程为 y-(-1)=k2(x -0),
?y-1=k1x, ? 由? ?y=-2 ?

x2 0

3 ? ?x=- , k 1 得? ? ?y=-2, 1 ? ?x=- , k 2 得? ? ?y=-2,

?y+1=k2x, ? 由? ?y=-2 ?

? 3 ? ∴直线 AP 与直线 l 的交点 M?- ,-2?, ? k1 ? ? 1 ? 直线 BP 与直线 l 的交点 N?- ,-2?。 ? k2 ?
1 又 k1k2=- , 4

? 3 1? ?3 ? ?3? ∴|MN|=?- + ?=? +4k1?=? ?+|4k1| ? k1 k2? ?k1 ? ?k1?

1

2

? 3 ?·|4k |=4 3, ?k1? 1 ? ?

3 ?3? 当且仅当? ?=|4k1|,即 k1=± 时取等号, 2 ?k1? 故线段 MN 长的最小值是 4 3。 2. (2016·北京西城模拟)已知 A, B 是抛物线 W: y=x 上的两个点, 点 A 的坐标为(1,1), 直线 AB 的斜率为 k(k>0)。设抛物线 W 的焦点在直线 AB 的下方。 (1)求 k 的取值范围; (2)设 C 为 W 上一点,且 AB⊥AC,过 B,C 两点分别作 W 的切线,记两切线的交点为 D, 判断四边形 ABDC 是否为梯形,并说明理由。 解
2

? 1? 2 (1)抛物线 y=x 的焦点为?0, ?。 ? 4?

由题意,得直线 AB 的方程为 y-1=k(x-1), 令 x=0,得 y=1-k,即直线 AB 与 y 轴相交于点(0,1-k)。 因为抛物线 W 的焦点在直线 AB 的下方, 1 3 所以 1-k> ,解得 k< 。 4 4 3 因为 k>0,所以 0<k< 。 4

? 3? 即 k 的取值范围是?0, ?。 ? 4?
(2)结论:四边形 ABDC 不可能为梯形。 理由如下: 假设四边形 ABDC 为梯形。 由题设,设 B(x1,x1),C(x2,x2),D(x3,y3), 联立方程?
?y-1=k?x-1?, ? ? ?y=x ,
2 2 2 2

消去 y,得 x -kx+k-1=0, 由根与系数的关系,得 1+x1=k,所以 x1=k-1。 1 同理,得 x2=- -1。

k

对函数 y=x 求导,得 y′=2x, 所以抛物线 y=x 在点 B 处的切线 BD 的斜率为 2x1=2k-2, 2 2 抛物线 y=x 在点 C 处的切线 CD 的斜率为 2x2=- -2。
2

2

k

由四边形 ABDC 为梯形,得 AB∥CD 或 AC∥BD。
2

2 若 AB∥CD,则 k=- -2,

k

即 k +2k+2=0, 因为方程 k +2k+2=0 无解,所以 AB 与 CD 不平行。 1 2 若 AC∥BD,则- =2k-2,即 2k -2k+1=0,
2

2

k

因为方程 2k -2k+1=0 无解,所以 AC 与 BD 不平行。 所以四边形 ABDC 不是梯形,与假设矛盾。 因此四边形 ABDC 不可能为梯形。 3.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)过点 P(-1,-1),c 为椭圆的半焦距,且 c= 2b。 过点 P 作两条互相垂直的直线 l1,l2 与椭圆 C 分别交于另两点 M,N。 (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l1 的斜率为-1,求△PMN 的面积; (3)若线段 MN 的中点在 x 轴上,求直线 MN 的方程。 解 1 1 4 2 2 2 2 2 2 (1)由条件得 2+ 2=1,又 c =2b ,所以 a =3b ,所以 b = ,a =4, a b 3
2 2

2

x2 y2 a b

x 3y 所以椭圆 C 的方程为 + =1。 4 4
(2)易知 l1 的方程为 y+1=-(x+1),即 y=-x-2。 由?
? ?y=-x-2, ?x +3y =4, ?
2 2 2

消去 y,得 x +3x+2=0, 所以 M(-2,0),同理易得 N(1,1)。 因为 P(-1,-1),所以|PM|= 2,|PN|=2 2, 1 所以△PMN 的面积为 × 2×2 2=2。 2 (3)设 M(x1,y1),N(x2,y2),则
?x1+3y1=4, ? ? 2 2 ?x2+3y2=4, ?
2 2

两式相减得(x1+x2)(x1-x2)+3(y1+y2)(y1-y2)=0。 因为线段 MN 的中点在 x 轴上,所以 y1+y2=0,从而可得(x1+x2)(x1-x2)=0。 若 x1+x2=0,则 N(-x1,-y1)。 → → 2 2 因为 PM⊥PN,所以PM·PN=0,得 x1+y1=2。 又因为 x1+3y1=4,所以 x1=±1,所以 M(-1,1),N(1,-1)或 M(1,-1),N(-1,1),
2 2

3

所以直线 MN 的方程为 y=-x。 若 x1-x2=0,则 N(x1,-y1)。 → → 2 2 因为 PM⊥PN,所以PM·PN=0,得 y1=(x1+1) +1。 1 2 2 又因为 x1+3y1=4,所以 x1=- 或 x1=-1。 2 1 经检验:x=- 满足条件,x=-1 不满足条件。 2 1 综上,直线 MN 的方程为 x+y=0 或 x=- 。 2 4.如图, 曲线 C 由上半椭圆 C1:2+ 2=1(a>b>0, y≥0)和部分抛物线 C2: y=-x +1(y≤0) 连接而成,C1 与 C2 的公共点为 A,B,其中 C1 的离心率为 3 。 2

y2 x2 a b

2

(1)求 a,b 的值; (2)过点 B 的直线 l 与 C1,C2 分别交于 P,Q(均异于点 A,B),若 AP⊥AQ,求直线 l 的 方程。 解 (1)在 C1,C2 的方程中,令 y=0,可得 b=1,且 A(-1,0),B(1,0)是上半椭圆 C1

的左、右顶点。 设 C1 的半焦距为 c, 由 =

c a

3 2 2 2 及 a -c =b =1 得 a=2。 2

∴a=2,b=1。 (2)由(1)知,上半椭圆 C1 的方程为 +x =1(y≥0)。 4 易知,直线 l 与 x 轴不重合也不垂直, 设其方程为 y=k(x-1)(k≠0), 代入 C1 的方程,整理得(k +4)x -2k x+k -4=0。(*) 设点 P 的坐标为(xP,yP), ∵直线 l 过点 B,∴x=1 是方程(*)的一个根。
2 2 2 2

y2

2

4

由根与系数的关系,得 xP=
2

k2-4 8k ,从而 yP=- 2 , 2 k +4 k +4

∴点 P 的坐标为? 同理,由?

?k2-4,- 28k ?。 k +4? ?k +4 ?
2

? ?y=k?x-1?,k≠0, ?y=-x +1,y≤0, ?
2

得点 Q 的坐标为(-k-1,-k -2k)。 2k → → ∴AP= 2 (k,-4),AQ=-k(1,k+2)。 k +4 -2k → → ∵AP⊥AQ,∴AP·AQ=0,即 2 [k-4(k+2)]=0, k +4 8 ∵k≠0,∴k-4(k+2)=0,解得 k=- 。 3 8 经检验,k=- 符合题意, 3 8 故直线 l 的方程为 y=- (x-1)。 3 5.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的焦距为 4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构 成正三角形。 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)设 F 为椭圆 C 的左焦点,T 为直线 x=-3 上任意一点,过 F 作 TF 的垂线交椭圆 C 于点 P,Q。 ①证明:OT 平分线段 PQ(其中 O 为坐标原点); |TF| ②当 最小时,求点 T 的坐标。 |PQ|
2

x2 y2 a b

? a2+b2=2b, 解 (1)由已知可得? ?2c=2 a2-b2=4,
解得 a =6,b =2, 所以椭圆 C 的标准方程是 + =1。 6 2 (2)①证明:由(1)可得,F 的坐标是(-2,0),设 T 点的坐标为(-3,m)。
2 2

x2 y2

m-0 则直线 TF 的斜率 kTF= =-m。 -3-?-2?
1 当 m≠0 时,直线 PQ 的斜率 kPQ= 。直线 PQ 的方程是 x=my-2。

m

当 m=0 时,直线 PQ 的方程是 x=-2,也符合 x=my-2 的形式。
5

x=my-2, ? ? 2 2 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线 PQ 的方程与椭圆 C 的方程联立,得?x y + =1。 ? ?6 2
消去 x,得(m +3)y -4my-2=0, 其判别式 Δ =16m +8(m +3)>0。 所以 y1+y2= 4m -2 ,y1y2= 2 , m +3 m +3
2 2 2 2 2

x1+x2=m(y1+y2)-4= 2 。 m +3
所以 PQ 的中点 M 的坐标为? 6 2m ?- , 2 ? 2 ?。 ?m +3 m +3?

-12

所以直线 OM 的斜率 kOM=- , 3 又直线 OT 的斜率 kOT=- ,所以点 M 在直线 OT 上,因此 OT 平分线段 PQ。 3 ②由①可得, |TF|= m +1, |PQ|= ?x1-x2? +?y1-y2?
2 2 2 2 2

m

m

= ?m +1?[?y1+y2? -4y1y2] = ?m +1???
2 2 ?? 24m ?2-4· -2 ?= 24?m +1?。 ? m2+3? m2+3 ??m +3? ? 2 2

|TF| 所以 = |PQ| =

1 ?m +3? · 24 m2+1

4 1 ? 2 ? ·?m +1+ 2 +4?≥ m +1 ? 24 ?
2

1 3 ·?4+4?= 。 24 3

当且仅当 m +1=

4

m2+1

|TF| ,即 m=±1 时,取等号,此时 取得最小值。 |PQ|

|TF| 所以当 最小时,T 点的坐标是(-3,1)或(-3,-1)。 |PQ|

6


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