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新课标高一数学第二章基本初等函数复习资料


基本初等函数复习资料 一、指数. 指数 1:根式( n a )及其性质. :根式( 及其性质.

? ?n为奇数,a 的n 次方根只有一个为 n a ; ? ?a > 0 ? ? ?n为偶数,a 的n 次方根有两个为 ± n a,正的为 n a,负的为- n a ; ? ? ?n为奇数,a 的n 次方根只有一个为 n a ; ? ? . 1) n 次方根的意义 ?a < 0 ? ) : ?n为偶数,a 的n 次方根不存在; ? ? ? a ?a = 0, 0的n次方根为0,记:0 = 0; ? ?
例 1:64 的 6 次方根为 ±2 ,但是 6 64 表示的是 64 的正的 6 次方根,所以 6 64 =2 . :
?a ? 2) 根式的性质:1 ( n a ) n = a 、2 n a n = ? ) 根式的性质: : ?a ? 练习 1:求下列各式的值. (1)( 5 a )5 (2)4 x8 (3)7 ( x ? 2)7 (4)4 (3 ? π ) 4 (5)4 ( x ? y ) 4 ( x < y ) (6)4 (3a ? 3) 4 . n为奇数 n为偶数 .

练习 2:计算. (1) 5 + 2 6 + 5 ? 2 6 (2) 7 + 48 ? 7 ? 48 (3)若 3 < a < 9 ,求 ( a ? 3) 2 + 4 (9 ? a ) 4 .

练习 3: (1)若 4a 2 ? 4a + 1 = 1 ? 2a ,求 a 的取值范围.

(2)若 xy ≠ 0 ,那么等式 4 x 2 y 3 = ?2 xy y 成立的条件是(

) .

A: x > 0, y > 0

B: x > 0, y < 0

C: x < 0, y > 0

D: x < 0, y < 0

3) 根式的大小比较. :根式的大小比较.
例 2:比较 3 3 、 2 和 4 5 的大小关系. 解:将上面三个数同时 12(3,2,4 的最小公倍数)次方得: ( 3 3)12 = 34 = 81 , ( 2)12 = 26 = 64
( 4 5)12 = 53 = 125 ,Q 125 > 81 > 64 ,∴ 4 5 > 3 3 > 2 .

练习 4:比较 4 24 、 3 12 和 6 的大小关系.

1

2:指数幂及其运算性质. :指数幂及其运算性质. 1) 分数指数幂: :分数指数幂 ) 分数指数幂: : 正分数指数幂意义: a = n a m (a > 0, m, n ∈ Ν *,且n > 1) . 负分数指数幂意义: a
? m n

m n

=

1
m n

=

1
n m

(a > 0, m, n ∈ Ν*,且n > 1) .

a a 0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义.
补充: 补充:任何非零数的 0 次方等于 1,即当 a ≠ 0 时, a 0 = 1 . , 例 3:若 (2 x ? 6) x :
2

?5 x + 6

= 1 ,求 x .

? x 2 ? 5 x + 6 = 0 ? x = 2或3 ?? ? x=2. 解:由题意得: ? ?x ≠ 3 ?2 x ? 6 ≠ 0
练习 5:将下列各式化成分数指数幂. : (1) 3 x 2 ( x > 0) (4)
p6q5

(2) 5 a ?2 (5) 3 a
4

(3) 3 ( m ? n) 2 ( m > n) (6) a a a ?(7) a ?a

a

:指数幂的运算性质 2) 指数幂的运算性质: ) 指数幂的运算性质: : 1 a r a s = a r + s (a > 0, r , s ∈ Q) 、2 a r ÷ a s = a r ? s (a > 0, r , s ∈Q) 3 (a r ) s = a rs (a > 0, r , s ∈Q) 、4 a r b r = (ab) r (a > 0, r ∈Q) 练习 6:计算和化简. : 3 1 ?1 7 10 ? 2 37 (1) (2 )0 + 2 ?2 × (2 ) 2 ? (0.01)0.5 (2) (2 )0.5 + 0.1?2 + (2 ) 3 ? 3π 0 + 5 4 9 27 48 (3) (a ?2b ?3 ) (?4a ?1b) ÷ (12a ?4b ?2 c) (4) 2 3 a ÷ 4 6 ab × 3 b3 (5) (2 ? 3) 2011 (2 + 3) 2012

练习 7: : (1)设 5 x = 4 , 5 y = 2 ,求 52 x ? y 的值. (2)设 α 、 β 是方程 2 x 2 ? 6 x + 1 = 0 的两根,求 3α 3β 、 (3α ) β 的值. 提示:利用根与系数的关系.

2

3) 几个重要的数学公式(平方差+完全平方 立方和 立方差) ) 几个重要的数学公式(平方差 完全平方 立方和+立方差 . : 完全平方+立方和 立方差) 1平方差: a 2 ? b 2 = (a + b)(a ? b) 、 a ? b = (a 2 + b 2 )(a 2 ? b 2 ) 、 a 3 ? b 3 = (a 3 + b 3 )(a 3 ? b 3 ) .
1 1 2 1 1 1 1 1 1 ? ? 2 ?a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 ?a + 2a 2 b 2 + b = (a 2 + b 2 ) 2 ?a 3 + 2a 3 b 3 + b 3 = (a 3 + b 3 ) 2 ? 2完全平方: ? 2 、? 、? 2 . 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 ?a ? 2ab + b = (a ? b) ? a ? 2 a 2 b 2 + b = ( a 2 ? b 2 ) 2 ? a 3 ? 2a 3 b 3 + b 3 = ( a 3 ? b 3 ) 2 ? ? ?

1

1

1

1

2

2

1

1

1

1

3立方和: a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 ? ab + b 2 ) 、 a 2 + b 2 = (a 2 + b 2 )(a ? a 2 b 2 + b) . 4立方差: a 3 ? b3 = (a ? b)(a 2 + ab + b 2 ) 、 a 2 ? b 2 = (a 2 ? b 2 )(a + a 2 b 2 + b) . 例 4:已知 a + a :
1 2
1 2

3

3

1

1

1

1

3

3

1

1

1

1

?

1 2

= 3 ,求下列各式的值: 1) a + a ?1 , 2) a 2 + a ?2 , 3) ( ( (
1 2 1 2

a2 ? a a ?a
1 2

3

? ?

3 2 1 2



解: 1)将 a + a (

?

1 2

= 3 两边平方得: a + 2a a

?

+ a ? 1 = a + a ? 1 + 2 = 9 ,∴ a + a ? 1 = 7 .

(2)将(1)中的 a + a ?1 = 7 两边平方得: a 2 + a ?2 + 2 = 49 ,∴ a 2 + a ?2 = 47 . (3)Q a 2 ? a
3

?

3 2

= (a 2 )3 ? (a 2 )3 = (a 2 ? a 2 )[(a 2 ) 2 + a 2 a
∴ a2 ? a a ?a
1 2 3 ? ? 3 2 1 2

1

?

1

1

?

1

1

1

?

1 2

+ (a 2 ) 2 ] = (a 2 ? a 2 )(a + a ?1 + 1)

?

1

1

?

1

= a + a ?1 + 1 = 7 + 1 = 8 .

练习 8:已知 a + a ?1 = 6 ,求下列各式的值: : (1 ) a + a , 2 ) a ? a (
1 2 ? 1 2
?1

, 3) a + a (
2

?2

,?(4) a + a .

3 2

?

3 2

?练习 9:已知 a 2 n = 2 + 1 ,求 :

a 3n + a ?3n 的值. an + a?n

二、指数函数及其性质. 指数函数及其性质 1:指数函数的定义. 的定义. :指数函数的定义 定义:一般地,函数 y = a x (a > 0, 且a ≠ 1) 叫做指数函数,其中 x 叫做自变量,函数的定义域为 R . 的范围是: 注:1 a 的范围是: a > 0, 且a ≠ 1 函数. 函数. 例 5:若 y = (a 2 ? 3a + 3)a x 是指数函数,求 a 的值. : 2指数函数的定义是形式定义,如 y = 2a x 和 y = 2a x 都不是指数 指数函数的定义是形式定义,

?a 2 ? 3a + 3 = 1 ?a = 1或2 解:由题意可得: ? ?? ,∴ a = 2 . a > 0, 且a ≠ 1 a > 0, 且a ≠ 1 ? ?
3

2:指数函数的图像. :指数函数的图像. 1)指数函数的图像和性质 )指数函数的图像和性质 函数
y = a x ( 0 < a < 1)

y = ax ( a > 1)

图象

图像分布 定义 域 值域 定点 单调 性 质 性 若 取值

x 轴上方,一、二象限

x 轴上方,一、二象限

R
( 0, +∞ )

R
( 0, +∞ )

( 0,1)
在 ( ?∞, +∞ ) 上是减函数

( 0,1)
在 ( ?∞, +∞) 上是增函数

x>0

, 则 0 < f ( x ) < 1 若 若 x > 0 ,则

f ( x ) > 1 若 x < 0 ,则

x < 0 ,则 1 <

f ( x)

0 < f ( x) < 1

对称 性

1 函数 y = a x 与 y = ( ) x 的图象关于 y 轴对称 a
a ,求 a 的值. 2

注:要会用指数函数的单调性求函数的最值和值域. 要会用指数函数的单调性求函数的最值和值域. 单调性求函数的最值和值域 例 6:函数 f ( x) = a x (a > 0, 且a ≠ 1) 在区间 [1, 2] 上的最大值比最小值大 :

解: 1)当 a > 1 时, f ( x ) = a x 在 [1, 2] 上是增函数,∴ f ( x ) max = f (2) = a 2 , f ( x ) min = f (1) = a , ( 由题意得: a 2 ? a =
a 3 3 ? a = 0 或 ,又 a > 1 ,∴ a = . 2 2 2

(2)当 0 < a < 1 时, f ( x ) = a x 在 [1, 2] 上是减函数,∴ f ( x ) max = f (1) = a , f ( x) min = f (2) = a 2 , 由题意得: a ? a 2 =
a 1 1 3 1 ? a = 0 或 ,又 0 < a < 1 ,∴ a = .综上: a = 或 . 2 2 2 2 2
4

练习 10:函数 f ( x) = a x (a > 0, 且a ≠ 1) 在区间 [0,1] 上的最大值和最小值的和为 3,求 a 的值. : 练习 11:求下列函数的定义域和值域: : 1 (1) y = 2 2 x ?3 . (2) y = ( ) x . 2
1 ( 4 ) y = ( )| x | . 2 2x ?1 (5 ) y = x . 2 +1

(3) y = 2 x ? 1 ( ?2 ≤ x ≤ 1) . (6 ) y = 1 ? 2 x .
1 2 (7 ) y = ( ) x ? 2 x . 3

(换元法求函数的值域 例 7: 换元法求函数的值域 : 换元法求函数的值域)若 ?1 ≤ x ≤ 2 ,求函数 y = 4 x ? 2 2 x + 5 的最值和值域. 解: y = 4 x ? 2 2 x + 5 = (22 ) x ? 2 2 x + 5 = (2 x ) 2 ? 2 2 x + 5 ,令 t = 2 x ,Q ?1 ≤ x ≤ 2 ,∴ (注意: 注意: 注意 换元要注意新元的范围) 换元要注意新元的范围 所以原式可化二次函数 y = t 2 ? 2t + 5 在 由
y = t 2 ? 2t + 5 图像可得:最大值在 x = 4 处取得即: ymax = f (4) = 13 ,最小值在对称轴 x = 1 处取得 1 ≤t ≤ 4, 2

1 ≤ t ≤ 4 上的最值和值域, 2

即: ymin = f (1) = 4

所以:值域为: [4,13] .

练习 12:已知 ?1 ≤ x ≤ 2 ,求函数 f ( x ) = 3 + 2 3x +1 ? 9 x 的值域. : 提示: f ( x ) = 3 + 2 3x +1 ? 9 x = ?(3x ) 2 + 6 3x + 3 ,令 t = 3x 可转化为关于 t 的一元二次方程. 注意:换元要注意新元的范围. 注意:换元要注意新元的范围.

( 练习 13: 1)若 32 x ?5 > 31? x ,求 x 的取值范围. : (3)若 a 2 x ?3 < a 3 x ?5 ,求 x 的取值范围. (5)若 22 x+1 =
1 ,求 x . 4

(2)若 3x? 4 > 1 ,求 x 的取值范围. (4)若 2 2 x +1 = 2 2 ? x ,求 x . (6)若 (3x ) 2 = 27 ,求 x .

5

练习 14:比较下列各组数的大小: :
2 1 2 1 5 1 3 3 1 (1)( ) ?1.8 、( ) ?2 . (2)(0.6) 0.3 、(1.5)1.3 .(3)( ) 3 、( ) 4 、( ) 5 .(4)40.9 、0.80.49 、( ) ?1.5 .(5) 4 4 3 3 4 2 2 ?1 3 1 5 ?1 3 2 ( ) 、( ) 、( ) 3 . 3 5 3

(6) ( ?2)3 、 (0.4) 0.3 、 (0.4) 0.4 、 (0.6) 0.3 .

2) 指数函数的定点: y = a x (a > 0, 且a ≠ 0) 的图像过定点 (0,1) . ) 指数函数的定点: :指数函数的定点 : 练习 15:求下列各函数所过的定点: : (1) y = 2 x ?1 . (2) y = 32 x ? 4 + 2 . (3) y = 22 x ? 2 a + b (a, b为常数) .

练习 16:若函数 y = a 3 x ?b + 1 (a > 0, 且a ≠ 0) 的图像恒过 (1, 2) ,求 b 的值. : 3) 指数函数的图像(平移:左加右减、上加下减) ) 指数函数的图像(平移:左加右减、上加下减) : . (1) y = a x + b (a > 0, 且a ≠ 0) :是由 y = a x 图像上下平移得到. 注意: 轴进行上下平移. 注意:上下平移的时候要将渐近线 x 轴进行上下平移 当 a > 1 时, y = a x + b 图像必过第一象限.当 a < 1 时, y = a x + b 图像必过第二象限. 练习 17:求下列各函数图像经过的象限. :
1 (1 ) y = a x . (2 ) y = a x + 1 . (3 ) y = 2 x ? 1 . (4 ) y = ( ) x ? 1 . 2 1 (5 ) y = 2 x ? 2 . (6 ) y = ( ) x ? 2 . (7 ) y = 2 ? x . (8 ) y = ? 2 ? x . 2

练习 18: 1)已知函数 f ( x) = 2 x + a 的图像不过第二象限,求 a 的取值范围. : (

(2)若 y = a x + b ? 1 ( a > 0, 且a ≠ 1) 的图像过第二、三、四象限,则一定有(
A: 0 < a < 1, 且b > 0 B: a > 1, 且b > 0 C: 0 < a < 1, 且b < 0

) .

D: a < 1, 且b > 0

6

3:复合函数的单调性(同增异减) :复合函数的单调性(同增异减) . 1) 复合函数的定义: 简单地: 设有两个函数 y = f (u ) 和 u = g ( x ) , y = f ( g ( x)) 称为是函数 y = f (u ) 则 和 u = g ( x ) 的复合函数,其中 y = f (u ) 称为外函数, u = g ( x ) 称为内函数. 如:函数 y = 22 x ? 2 可

以看成是函数 y = 2u 和 u = 2 x ? 2 的复合函数,其中 y = 2u 是外函数, u = 2 x ? 2 是内函数. . 2)复合函数的单调性(同增异减) 1若 y = f (u ) 和 u = g ( x ) 的单调性相同,则 y = f ( g ( x)) 是增函数. 2若 y = f (u ) 和 u = g ( x ) 的单调性相反,则 y = f ( g ( x)) 是减函数. 如: 在讨论函数 y = 22 x
2

?2

这个函数的单调性时, 我们可以将 y = 22 x

2

?2

看成是函数 y = 2u 和 u = 2 x 2 ? 2

的复合函数.则我们有如下结论: 因为 y = 2u 在定义域内是增函数, u = 2 x 2 ? 2 在 ( ?∞, 0) 上是减函数,两者当调性相反,所以

y = 22 x

2

?2

在 ( ?∞, 0) 上是减函数.

因为 y = 2u 在定义域内是增函数, u = 2 x 2 ? 2 在 (0, +∞) 上是增函数,两者当调性相同,所以

y = 22 x

2

?2

在 (0, +∞) 上是增函数.
2

例 8:求下列函数的单调区间. : (1) y = a ? x
+3 x + 2

1 (a > 1) , (2) y = ( ) x ?1 . 2

解: 1) y = a ? x (

2

+3 x + 2

(a > 1) 看成是 y = a u (a > 1) 和 u = ? x 2 + 3 x + 2 的复合函数,

Q a > 1 , ∴ y = a u (a > 1) 在 R 上为增函数,而 u = ? x 2 + 3 x + 2 是二次函数,且 a = ?1 , 开口向下, ∴
3 3 ∴ u = ? x 2 + 3 x + 2 在 ( ?∞, ] 上是增函数,在 [ , +∞) 上是减函数, 2 2 2 3 3 根据复合函数的单调性同增异减原则有: y = a ? x +3 x + 2 (a > 1) 在 ( ?∞, ] 上是增函数,在 [ , +∞) 上是 2 2 减函数, 3 3 ∴ 单调增区间是: ( ?∞, ] ,单调减区间是: [ , +∞) . 2 2 1 x ?1 1 u 1 (2)提示: y = ( ) 看成是 y = ( ) 和 u = x ? 1 的复合函数,而 y = ( )u 在 R 上为减函数,根据复 2 2 2

又其对称轴为 x = ?

b 3 = 2a 2

合函数的单调性的同增异减原则, u = x ? 1 的增区间为复合函数的减区间, u = x ? 1 的减区间为复 合函数的增区间,所以只要求 u = x ? 1 的增减区间. u = x ? 1 的增减区间可由图像来判断. 练习 19:求下列函数的单调区间. : 1 2 (1 ) y = ( ) x ? 2 x , (2 ) y = 3 x ? 2 + 2 , 3
2 2 (4 ) y = ( ) ? x ? 4 x . 5
7

(3 ) y = 2 x ? 2 ,

6:函数的奇偶性. :函数的奇偶性. 例 9:已知函数 f ( x ) = a ?
1 ,若 f ( x ) 为奇函数,求 a . 2 +1
x

解法一(原点法) Q f ( x ) 的定义域为 R ,∴ f ( x ) 在原点有定义,又 f ( x ) 为奇函数,∴ f (0) = 0 , : 即: a ?
1 1 = 0 ,∴ a = . 2 +1 2
0

解法二(定义法) Q f ( x ) 为奇函数,∴ f ( ? x ) = ? f ( x ) ,而 f ( ? x) = a ? :

1 2x =a? , 2? x + 1 1 + 2x

∴ a?

2x 1 1 1 2x 1 + 2x 1 = ?( a ? x ) = x ? a ? 2a = x + = x = 1 ,∴ a = . x x 1+ 2 2 +1 2 +1 2 +1 1+ 2 2 +1 2 1 1 =a? , 2 +1 3
1

解法三(特殊值法) Q f ( x ) 为奇函数,∴ f ( ?1) = ? f (1) ,而 f (1) = a ? : f ( ?1) = a ?
1 2 2 1 1 = a ? ,∴ a ? = ?( a ? ) ,∴ a = . 2 +1 3 3 3 2
?1

练习 20:设 a > 0 ,函数 f ( x) = : (1)求实数 a 的值.

3x a + 是定义在实数集 R 上的偶函数,求解下列问题: a 3x

(2)证明: f ( x ) 在 (0, +∞) 上是增函数.

提示:可用定义法或特殊值法来求解 a .

?练习 21:已知 f ( x) = ( :

1 1 + )x . 2 ?1 2
x

(1) 求 f ( x ) 的定义域.

(2)判断 f ( x ) 的奇偶性.

(3)求证: f ( x ) > 0 .

. ?指数和指数函数补充题(题目有难度,有兴趣的同学做一下) 指数和指数函数补充题(题目有难度,有兴趣的同学做一下) 题 1:已知 2 x + 2? x = a (常数) ,求 8 x + 8? x 的 值. :

题 2:已知 n ∈ N * ,化简 (1 + 2) ?1 + ( 2 + 3) ?1 + ( 3 + 2) ?1 + L + ( n + n + 1) ?1 . :

题 3:若 x > 0, y > 0 ,且满足 x ( x + y ) = 3 y ( x + 5 y ) ,求 :

2 x + 2 xy + 3 y x ? xy + y



8

题 4:比较下列各组数之间的大小关系. : 2 ?1 3 1 5 ?1 (1) ( ) 3 、 ( ) 2 、 ( ) 3 ; 3 5 3 4 1 3 1 2 (2) ( ) 3 、 2 3 、 ( ? )3 、 ( ) 2 . 3 3 4
2

4x ,若 0 < a < 1 ,试求: 题 5:设 f ( x) = x : 4 +2

(1) f ( a ) + f (1 ? a ) 的值; (2 ) f (
1 2 3 2000 )+ f ( )+ f ( ) +L + f ( ) 的值. 2011 2011 2011 2011

三、对数. 对数. 1:对数的定义以及对数式和指数式之间的转化 以及对数式和指数式之间的转化. :对数的定义以及对数式和指数式之间的转化 1) 对数定义: ) 对数定义: 定义 一般地,如果 a x = N (a > 0, 且a ≠ 1) ,那么数 x 叫做以 a 为底的 N 的对数 对数,记作: x = log a N (读作: 对数

x 等于 log 以 a 为底的 N ) ,其中 a 叫做对数的底数, N 叫做真数, x 叫做真数,且 x 是 N 的对数.
如: 2 x = 128 ? x 叫做以 2 为底的 128 的对数,记作: x = log 2 128 ;
1 1 1 1 1 ? 5 叫做以 为底的 的对数,记作: 5 = log 1 ; ( )5 = 2 32 2 32 2 32

(4) ?2 =

1 1 1 ? -2 叫做以 4 为底的 的对数,记作: ?2 = log 4 . 16 16 16

的范围是: 的范围是: 注:1底数 a 的范围是: a > 0, 且a ≠ 1 ;2真数 N 的范围是: N > 0 (真数大于 0) ) . 例 9:已知 log 2 x ?1 ( x + 2) 是对数式,求 x 的取值范围. :

1 ? ?2 x ? 1 > 0, 且2 x ? 1 ≠ 1 ? x > , 且x ≠ 1 1 解:Q log 2 x ?1 ( x + 2) 是对数式,∴ ? ?? ? x > , 且x ≠ 1 . 2 2 ?x + 2 > 0 ? x > ?2 ?
练习 22:已知 log x 2 +1 ( ?3 x + 8) 是对数式,求 x 的取值范围.

2)2 个重要的对数:常用对数和自然对数. 个重要的对数:常用对数和自然对数.
常用对数:以 10 为底的对数叫做常用对数,并把 log10 N 记为 lg N . 自然对数:以 e ( e = 2.71828... )为底的对数叫做常用对数,并把 log e N 记为 ln N .
9

3)对数式和指数式之间的转化. )对数式和指数式之间的转化. 转化:当 a > 0, 且a ≠ 1 有: a x = N ? x = log a N . 练习 23:把下列对数式转化成指数式,指数式转化为对数式. : (1) x = log 8 7 , (2) x = lg15 , (3) x = log 1 8 , (4) x = ln 4 ,
2

1 (5) x = log1.2 5.8 , (6) 2 x = , 5

1 (7) ( ) x = 32 , 2

(8) 10 x = 0.6 .

2:对数的运算性质以及重要公式. :对数的运算性质以及重要公式. 运算性质和重要公式: 1 log a 1 = 0 , 5 log a ( 2 log a a n = n , 3 a log a N = N (对数恒等式) , 6 log a M n = n log a M ,
n log a b . m

4 log a ( MN ) = log a M log N ,
log c b lg b (换底公式) , = log c a lg a

M ) = log a M ? log a N , N

7 log a b =

8 log a b =

1 , log b a

9 log a m b n =

注意:对数的乘法和除法用换底公式解题 注意:对数的乘法和除法用换底公式解题. . 练习 24:下列各式正确的个数( ) : 1 log 2 (8 ? 2) = log 2 8 ? log 2 2 = 2
log 2 8 = log 2 8 ? log 2 2 = 2 log 2 2 A 、1 B 、2

2 log 2 (8 ? 2) =

log 2 8 =3 log 2 2

3 log 2

8 = log 2 8 ? log 2 4 = 1 4

4

5 log 2 [(?2)(?8)] = log 2 (?2) + log 2 (?8) = ?4 .
C 、3 D 、4

练习 25:求下列各式的值. : (1) log 0.1 1 (7)22log 2 3 (12) log 2 (2) log 2 32 (8)21? log2 3 (3) log 2
1 8

(4) lg 0.001

(5) ln e 2

(6) 2log 2 5 (11)log 2 (log 2 16)
log 8 9 log 2 3

(9)lg 6 + lg 5 ? lg 3

(10)2 log 5 10 + log 5 0.25 (14)

7 1 + log 2 12 ? log 2 42 48 2
(16)

7 (13) lg14 ? 2 lg + lg 7 ? lg18 3

(15) log 8 9 log 27 32

log 5 2 log 49 81 1 log 25 log 7 3 4 3

(17) 22 + log2 5 ? 2log2 3 log3 5 .

10

(1) lg 6 练习 26:已知 lg 2 = a , lg 3 = b ,用 a 、 b 表示下列各式: :

(2)

lg12 1g15

(3) log 3 12 .

例 10:已知 2 m = 5n = 10 ,求 :

1 1 + . m n

解:Q 2 m = 5n = 10 ,∴ m = log 2 10 , n = log 5 10 ,


1 1 1 1 1 1 + = + = log10 2 + log10 5 = log 1010 = 1 ,即 + = 1 . m n m n log 2 10 log 5 10

2 1 ( ; 练习 27: 1)设 3x = 4 y = 36 ,求 + 的值( x > 0, y > 0 ) : x y

(2) 已知 log a 2 = m , log a 3 = n ,求 a 2m + n 的值.

练习 28:若 26 a = 33b = 62 c ,求证 :

1 2 3 + = . a b c

四、对数函数. 对数函数 1:对数函数的定义. : 对数函数的定义 定义:一般地,形如 y = log a x ( a > 0, 且a ≠ 1 )的函数叫做对数函数,其中 x 是自变量,定义域为
(0, +∞ ) .

注意: 注意:1底数 a 的范围是: a > 0, 且a ≠ 1 ;

2定义域是: (0, +∞) (真数大于 0) 真数大于 ;

3对数函数的定义同指数函数一样也是形式定义. 如: y = log 2 x 2 、 y = log 2 x ? 1 、和 y = 2 log 2 x 都不是指数函数. 练习 29:求下列函数的定义域. : (1) f ( x ) = lg( x ? 1) + 4 ? x (4) f ( x) = log 3 (
3 ). 3x + 4

(2 ) y =

1 lg( x + 1) ? 3

(3) y = log x (2 ? x)

11

2:对数函数的图像. :对数函数的图像. 1) 对数函数的图像和性质. ) 对数函数的图像和性质. 性质
y

y = log a x ( a > 1 )

y = log a x ( 0 < a < 1 ) y

图 象
x O 1

x O 1

图像分布 定义域 值域 单调性 奇偶性 定点

y 轴右侧,一、四象限

y 轴右侧,一、四象限

(0, +∞ )
R

(0, +∞ )
R

单调增 非奇非偶
(1, 0)

单调减 非奇非偶
(1, 0)

当 x > 1时,y > 0 当 0 < x < 1时,y < 0 对称性

当 x > 1时,y < 0 当 0 < x < 1时,y > 0

y = log a x 与 y = loga?1 x 的图像关于 x 轴对称

注:要会用对数函数的单调性求函数定义域、最值和值域以及比较对数的大小. 要会用对数函数的单调性求函数定义域、最值和值域以及比较对数的大小 函数定义域 和值域以及比较对数的大小 练习 30:求下列函数的定义域. : (1) y = log 2 x 2 (2) y = log a ( x 2 ? 1) (3) y = log 2 x ? 1 (4) y = log 1 ( x ? 1) .
2

例 11:若 log 2 (2 x + 3) > log 2 (5 x ? 6) ,求 x 的取值范围. :

3 ? ?x > ? 2 ?2 x + 3 > 0 ? 6 6 ? ? 解:由题意得: ?5 x ? 6 > 0 ? ?x > ? < x < 3. 5 5 ? ? ?2 x + 3 > 5 x ? 6 ?x < 3 ? ?
注意:做对数函数题时一定要先考虑真数大于 0. 注意: .
12

(1)若 log 0.7 (2 x) = log 0.7 ( x + 1) ,求 x 的值. 练习 31: : (2)若 2 lg( x + 1) = lg( x ? 1) + lg 2 x ,求 x 的值.

(3) 若 log 7 2 + log 7 x < log 7 ( x + 1) ,求 x 的取值范围. 练习 32:比较下列各组数的大小. : (1) lg 2 、 lg 6 . (2) log 0.5 3 、 log 0.5 5 . (5) log 3 4 、 log 3 5 、 log 4 3 . (6) log 3

(3) log 7 5 、 log 6 8 .

(4) log 2 0.7 、 log 1 0.8 .
3

5 、 log 5 2 、 log 5 3 . (7) 2 log 5 2 、 log 5 7 、 3log 5 3 . 7

( 例 12: 1)若函数 f ( x) = log a x (0 < a < 1) 在区间 [a, 2a ] 上的最大值是最小值的 3 倍,求 a 的值. : 解:Q 0 < a < 1 ,∴ 函数 f ( x) = log a x 在 [a, 2a ] 上是减函数,
∴ f ( x) min = log a (2a ) , f ( x) max = log a a = 1 ,又Q 最大值是最小值的 3 倍,
1 1 ∴ f ( x) min = log a (2a ) = ,∴ log a 2a = log a 2 + log a a = log a 2 + 1 = , 3 3

∴ log a 2 = ?

2 3 ? ? 2 1 1 2 ?a 3 =2?a=2 2 = = = . 3 3 4 2 2 2

( 练习 33: 1)求函数 y = log 2 ( x + 2) 在区间 [2, 6] 上的值域. : (2) 已知函数 f ( x) = 2 log 1 x 的值域为 [?1,1] ,求函数 f ( x) 的定义域.
2

(3)已知函数 f ( x) = a x + log a x (a > 0, 且a ≠ 1) 在区间[1, 2] 上的最大值和最小值之和为 log a 2 + 6 ,
求 a 的值. (4)求函数 y = log 1 ( x 2 + 2 x + 3) 的值域.
2

2) 对数函数的定点:对数函数 y = log a x (a > 0, 且a ≠ 1) 图像过定点 (1, 0) . :对数函数的定点:
练习 34:求下列函数图像所过的定点. (1) y = log 2 ( x ? 1) (2) y = log 0.5 (2 x + 1) + 3 (3) y = 2 log 2 ( x + 1) + b (b为常数) .

13

3:复合函数的单调性(对数函数) :复合函数的单调性(对数函数) . 求对数函数的单调区间要首先考虑其定义域. 注:求对数函数的单调区间要首先考虑其定义域 (1)求函数 y = log 1 (? x 2 + 4 x + 12) 的单调递减区间. 练习 35: :
3

(2)求函数 y = log 0.1 (6 + x ? 2 x 2 ) 的单调递增区间. ?(3)已知函数 y = log a (2 ? ax) 在区间 [0,1] 上是减函数,求实数 a 的取值范围. ?(4)若函数 f ( x) = log 1 (3 x 2 ? ax + 5) 在 [?1, +∞) 上是减函数,求实数 a 的取值范围.
2

4:函数的奇偶性(对数函数) :函数的奇偶性(对数函数) . 1+ x ( ) 的图像关于原点对称,求实数 a 的值. 练习 36: 1)函数 f ( x) = log 2 ( : a?x 提示:可用原点发、定义法或特殊值法求解.
1+ x (2)求证:函数 f ( x) = log a ( ) (a > 0, 且a ≠ 1) 为奇函数. 1? x 提示:用定义证明.

(3)设 f ( x) 是奇函数,当 x > 0 时, f ( x) = log 2 x ,求当 x < 0 时, f ( x) 的解析式.

. ?对数和对数函数补充题(题目有难度,有兴趣的同学做一下) 对数和对数函数补充题(题目有难度,有兴趣的同学做一下) 数函数补充题 题 1:已知 log 2 3 = a , log 3 7 = b ,试用 a , b 表示 log14 56 .

题 2:如果函数 y = log 2 ( x 2 + ax + a + 2) 的定义域为 R ,求实数 a 的取值范围.

( 题 3: 1)若 a =

ln 2 ln 3 ln 5 ,b = ,c = ,比较 a 、 b 和 c 大小关系. 2 3 5

(2)已知 1 < x < 10 ,试比较 (lg x) 2 , lg x 2 , lg(lg x) 的大小关系.

14


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