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二倍角公式2


二倍角的正弦、余弦、正切公式

二、公式推导 二倍角公式
sin2α? 2sinαcosα

cos2α? cos 2α? sin2α 2tanα tan2α? 1 ? tan2α
对于 C2α 能否有其它表示形式?
cos2α ? 2cos 2α? 1
cos2α ? 1 ? 2sin2α

即: cos2α? cos 2α? sin2α? 2cos 2α? 1 ? 1 ? 2sin 2α

三、公式应用 例 3,求下列各式的值:
π 2π (1)sin22.5 cos22.5 ; (2)cos - sin ; 8 8 tan150 2 0 (3) ; (4)12sin 75 . 2 0 1- tan 15
0 0 2

5 5 2 o (5) - sin 15 18 9

π π π (6)sin cos cos 24 24 12

练习:化简
π π (1)sin cos 5 5
2

1 2π (2) - cos 2 8

3 1- tan α π 1 2 π 2π (3) (4)tan (5)cos cos 3 π 12 tan 5 5 tan α 2 12

例 4,化简:

(1),(cosα ? sinα)
(3),cos θ-sinθ
4 4

2

?? ? (2), 1-sin2α ? ? ? , ? ? ?2 ?

1 1 (4), 1- tanθ 1+ tanθ 练习 1+ sin2α+ cos2α 1,化简: 1+ sin2α- cos2α

1 ? 3π 2、已知sinα+ cosα= , <α< , 3 2 4 求sin2α和cos2α

4

1+ sin2θcos2θ 例 4,求证: = tanθ 1+ sin2θ+ cos2θ

1 ? 2sinθcosθ ? (1 ? 2sin2 θ) 证明:左边 ? 1 ? 2sinθcosθ ? (2cos2 θ? 1)

2sinθ(cosθ ? sinθ) sinθ ? ? 2cosθ(cosθ? sinθ) cosθ
? tanθ? 右边
练习 求证:
?原式成立.

(1),(sin2α? cos2α)2 ? 1 ? sin4α 1 ? cos2θ (2), ? tan2 θ 1 ? cos2θ

四、小结 1、二倍角正弦、余弦、正切公式的推导

sin 2? ? 2 sin ? cos? ? ? R cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? ?R 2 tan? k? ? ,且? ? k? ? ? , tan 2? ? ?k ? Z ? ?? ? 2 1 ? tan ? 2 2 4
2、注意正 用 、逆用、变形用

cos 2? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ?


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