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2012届高三数学一轮总复习《名师一号》单元检测(人教A):第一章 集合与简易逻辑


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2012 届高三数学一轮总复习 《名师一号》 单元检测 (人教 A) : 第一章 集合与简易逻辑

时间:120 分钟 分值:150 分 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.) 1.设全集 U={1,2,3,4,5},集合 M={1,4},N={1,3,5},则 N∩(?UM)=( A.{1,3} C.{3,5} B.{1,5} D.{4,5} )

解析:∵?UM={2,3,5},∴N∩(?UM)={3,5},故选 C. 答案:C 2.设全集 U=R,集合 M={x|x>0},N={x|x2≥x},则下列关系中正确的是( A.M∪N?M C.M∩N∈M B.M∪N=R D.(?UM)∩N=? )

解析:依题意得 N={x|x≥1 或 x≤0},所以 M∪N=R. 答案:B 3.若命题甲:A∪B?A 为假命题,命题乙:A∩B?A 也为假命题,U 为全集,则下列 四个用文氏图形反映集合 A 与 B 的关系中可能正确的是( )

解析:由命题甲:A∪B?A 为假命题可知 A∪B=A,由命题乙:A∩B?A 为假命题可 知 A∩B=A,所以 A=B,故选 D. 答案:D 4.已知集合 A={x|(x2+ax+b)(x-1)=0},集合 B 满足条件 A∩B={1,2},且 A∩(?UB) ={3},U=R,则 a+b=( A.-1 C.3 ) B.1 D.11

解析:依题意得 1∈A,2∈A,3∈A,因此有-a=2+3,b=2×3,所以 a=-5,b=6,a +b=1,选 B. 答案:B 5.设 p:|4x-3|≤1;q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0.若綈 p 是綈 q 的必要而不充分条件,
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则实数 a 的取值范围是( 1 A.[0, ] 2 1 B.?0,2? ? ? 1 C.(-∞,0]∪?2,+∞? ? ? 1 D.(-∞,0)∪?2,+∞? ? ? 解析:∵p:|4x-3|≤1, )

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1 1 ∴p: ≤x≤1,綈 p:x>1 或 x< ; 2 2 ∵q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0, ∴q:a≤x≤a+1,綈 q:x>a+1 或 x<a.

?a≤1 ? 又∵綈 p 是綈 q 的必要而不充分条件,即綈 q?綈 p,而綈 pD/?綈 q,∴? 2 ? ? ?a+1≥1
1 0≤a≤ .故选 A. 2 答案:A x 6.已知集合 M={x| ≥0},N={y|y=3x2+1,x∈R},则 M∩N 等于( ?x-1?3 A.{x|x>1} C.{x|x≥1 或 x<0} B.{x|x≥1} D.? )

解析:依题意得 M={x|x≤0 或 x>1},N={y|y≥1},M∩N={x|x>1},选 A. 答案:A 7. (2011· 徐州模拟)直线 x-y+m=0 与圆 x2+y2-2x-1=0 有两个不同交点的一个充分 不必要条件是( A.-3<m<1 C.0<m<1 ) B.-4<m<2 D.m<1

解析:∵直线 x-y+m=0 与圆(x-1)2+y2=2 有两个不同交点, ∴ |1+m| < 2, 1+1

即|1+m|<2, ∴-2<m+1<2,即-3<m<1, 又∵(0,1)?(-3,1), ∴0<m<1 为直线 x-y+m=0 与圆 x2+y2-2x-1=0 有两个不同交点的一个充分不必要 条件.
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答案:C

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8.“ab=4”是“直线 2x+ay-1=0 与直线 bx+2y-2=0 平行”的( A.充分必要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

)

解析: ab=4 不能得知直线 2x+ay-1=0 与直线 bx+2y-2=0 平行, 由 如当 a=1 且 b =4 时,直线 2x+ay-1=0 与直线 bx+2y-2=0 重合;由直线 2x+ay-1=0 与直线 bx+ 2y-2=0 平行可得 ab=2×2=4.综上所述,选 C. 答案:C 9.(理)集合 M={1,2,(m2-2m-5)+(m2+5m+6)i},N={3,10},且 M∩N≠?,则实 数 m 的值为( ) B.-2 或 4 D.-2 或 5

A.-2 或-3 C.-2

解析:代入检验法,把 A 选项的值代入(m2-2m-5)+(m2+5m+6)i,易知当 m=-2 时,集合 M 中的第三个元素为 3,此时 M∩N≠?;当 m=-3 时,集合 M 中的第三个元素 为 10,此时 M∩N≠?;因此正确选项为 A. 答案:A (文)同时满足①M?{1,2,3,4,5};②若 a∈M,则 6-a∈M 的非空集合 M 有( A.16 个 C.7 个 B.15 个 D.6 个 )

解析:∵1+5=2+4=3+3=6,∴集合 M 可能为单元素集:{3};二元素集:{1,5}, {2,4};三元素集:{1,3,5},{2,3,4};四元素集:{1,2,4,5};五元素集:{1,2,3,4,5}.共 7 个. 答案:C 10.已知命题 p:函数 y=loga(ax+2a)(a>0 且 a≠1)的图象必过定点(-1,1);命题 q: 函数 y=f(x+1)的图象关于原点对称,则 y=f(x)的图象关于点(-1,0)对称.则( A.“p 且 q”为真 C.p 假 q 真 B.“p 或 q”为假 D.p 真 q 假 )

解析:命题 p 为真命题,命题 q 中 f(x)的图象关于点(1,0)对称,∴q 为假命题. 答案:D 11.(理)“函数 f(x)在点 x=x0 处有定义”是“函数 f(x)在点 x=x0 处连续”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

解析:由“f(x)在点 x=x0 处有定义”不能得出“f(x)在点 x=x0 处连续”;由“f(x)在点 x=x0 处连续”必有“f(x)在点 x=x0 处有定义”.因此,“f(x)在点 x=x0 处有定义”是“f(x) 在点 x=x0 处连续”的必要而不充分条件,选 B.
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答案:B

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(文)已知 p、q 是两个命题,则“p 是真命题”是“p 且 q 是真命题”的( A.必要而不充分条件 C.充要条件 B.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件

)

解析: 由“p 是真命题”不能确定“p 且 q 是真命题”; 反过来, 由“p 且 q 是真命题” 可知“p 是真命题”.因此,“p 是真命题”是“p 且 q 是真命题”的必要而不充分条件, 选 A. 答案:A 12.设非空集合 S={x|m≤x≤l}满足:当 x∈S 时,有 x2∈S.给出如下三个命题: 1 1 1 2 ①若 m=1,则 S={1};②若 m=- ,则 ≤l≤1;③若 l= ,则- ≤m≤0. 2 4 2 2 其中正确命题的个数是( A.0 C.2 ) B.1 D.3

解析:若 m=1,则 x=x2,可得 x=1 或 x=0(舍去),则 S={1},因此命题①正确;若 1 1 1 1 m=- ,当 x=- 时,x2= ∈S,故 lmin= ,当 x=l 时,x2=l2∈S,则 l=l2,可得 l=1 或 2 2 4 4

l=0(舍去),故 lmax

?m≤2 1 1 =1,则 ≤l≤1,因此命题②正确;若 l= ,则? 4 2 1 ?m≤m ≤2
1
2

,得-

2 2

≤m≤0,因此命题③正确. 答案:D 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、 填空题: (本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 20 分. 共 请把正确答案填在题中横线上. ) 13.对于两个非空集合 M、P,定义运算:M?P={x|x∈M 或 x∈P,且 x?M∩P}.已知 集合 A={x|x2-3x+2=0},B={y|y=x2-2x+3,x∈A},则 A?B=________. 解析:依题意易得 A={1,2},B={2,3},A?B={1,3}. 答案:{1,3} 2x-1 14.设集合 A={x||x-a|<2},B={x| <1},若 A?B,则 a 的取值范围是________. x+2 解析:化简得 A={x|a-2<x<a+2},B={x|-2<x<3}.
? ?a-2≥-2 ∵A?B,∴? ,解得 0≤a≤1. ? ?a+2≤3

答案:[0,1] 15.已知以下四个命题:
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bx+c<0 的解集为{x|x1<x<x2};

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①如果 x1,x2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两个实根,且 x1<x2,那么不等式 ax2+

x-1 ②若 ≤0,则(x-1)(x-2)≤0; x-2 ③若 m>2,则 x2-2x+m>0 的解集是实数集 R; ④若函数 y=x2-ax+b 在[2,+∞)上是增函数,则 a≤4. 其中为真命题的是________.(填上你认为正确的序号) 解析:①只有当系数 a>0 时才成立,否则不成立; ②
? ??x-1??x-2?≤0 x-1 ≤0?? ?/ (x-1)(x-2)≤0; x-2 ?x-2≠0 ?

③当 m>2 时,(x2-2x+m)min=m-1>0,所以此时 x2-2x+m>0 的解集是实数集 R; a ④y=x2-ax+b 开口向上,对称轴为 x= ,若在[2,+∞)上递增,则[2,+∞)应在对 2 a 称轴的右侧,即 ≤2,得 a≤4. 2 综上,真命题有③、④,假命题有①、②. 答案:③④ 16.在下列电路图中,分别指出“闭合开关 A”是“灯泡 B 亮”的什么条件?

①中,“开关 A 闭合”是“灯泡 B 亮”的________条件; ②中,“开关 A 闭合”是“灯泡 B 亮”的________条件; ③中,“开关 A 闭合”是“灯泡 B 亮”的________条件; ④中,“开关 A 闭合”是“灯泡 B 亮”的________条件. 解析:首先根据电路的串联、并联知识,分析“开关 A 闭合”是否有“灯泡 B 亮”, 然后根据充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的含义作答. ①开关 A 闭合, 灯泡 B 亮; 反之, 灯泡 B 亮, 开关 A 闭合, 于是“开关 A 闭合”是“灯 泡 B 亮”的充要条件.②仅当开关 A、C 都闭合时,灯泡 B 才亮;反之,灯泡 B 亮,开关 A 必须闭合,故“开关 A 闭合”是“灯炮 B 亮”的必要不充分条件.③开关 A 不起作用,故 “开关 A 闭合”是“灯泡 B 亮”的既不充分又不必要条件.④开关 A 闭合,灯泡 B 亮;但 灯泡 B 亮,只需开关 A 或 C 闭合,故“开关 A 闭合”是“灯泡 B 亮”的充分不必要条件. 答案:①充要 ②必要不充分 ③既不充分又不必要 ④充分不必要 点评:在判断充要条件时,利用定义法的思路先确定条件和结论分别是什么,再分析是 “条件?结论”还是“结论?条件”,最后下结论.

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三、 解答题: (本大题共 6 小题, 70 分. 共 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. ) 17.(本小题满分 10 分)已知集合 M={x|x<-3 或 x>5},P={x|(x-a)(x-8)≤0}. (1)求实数 a 的取值范围,使它成为 M∩P={x|5<x≤8}的充要条件; (2)求实数 a 的一个值,使它成为 M∩P={x|5<x≤8}的一个充分但不必要条件; (3)求实数 a 的取值范围,使它成为 M∩P={x|5<x≤8}的一个必要但不充分条件. 解析:(1)由 M∩P={x|5<x≤8}得,-3≤a≤5,因此 M∩P={x|5<x≤8}的充要条件是 {x|-3≤a≤5}. (2)求实数 a 的一个值,使它成为 M∩P={x|5<x≤8}的一个充分但不必要条件,就是在 集合{a|-3≤a≤5}中取一个值,如取 a=0,此时必有 M∩P={x|5<x≤8};反之,M∩P= {x|5<x≤8}时,未必有 a=0.故 a=0 是所求的一个充分但不必要条件. (3)求实数 a 的取值范围,使它成为 M∩P={x|5<x≤8}的一个必要但不充分条件就是另 求一个集合,使{a|-3≤a≤5}是其真子集.如取{a|a≤5}时,未必有 M∩P={x|5<x≤8}; 但 M∩P={x|5<x≤8}时,必有 a≤5.故{a|a≤5}是所求的一个必要但不充分条件. 点评:(1)本题意在引导学生善于借助集合观点来理解充要条件,并给出求充分不必要 条件和必要不充分条件的一种重要的方法.求出 M∩P={x|5<x≤8}的充要条件 Q=[-3,5] 后,求题设的一个充分但不必要的条件就是求 Q 的真子集,求题设的一个必要但不充分的 条件就是求一个集合 S,使 Q 是 S 的真子集. (2)本题第(2)、(3)小题的答案不惟一.如第(2)小题的答案还可以为-2,-1,2,1,5 等无 数多个值;第(3)小题的答案还可以是[3,+∞),[-4,5]等等. 18.(本小题满分 12 分)已知全集为 R,A={x|x2-x-6≤0},B={x|x2+2x-8>0},C ={x|x2-4mx+3m2<0,m<0}. (1)求 A∩B; (2)如果(?RA)∩(?RB)?C,试求实数 m 的取值范围. 解析:(1)A={x|-2≤x≤3},B={x|x<-4 或 x>2},得 A∩B={x|2<x≤3}.
? ?3m<-4 4 (2)(?RA)∩(?RB)={x|-4≤x<-2}?{x|3m<x<m, m<0}, ? ∴ 得-2≤m<- , 3 ?-2≤m ?

4 则实数 m 的取值范围是[-2,- ). 3 19. (本小题满分 12 分)已知集合 A={s|s2+|s-1|≥1}, 集合 B={t|lg(|t+5|+|t-5|)>a}, 若?BA={x|0<x<1},求 a 的取值范围. 解析:s2+|s-1|≥1
? 2 ? 2 ?s +s-1≥1 ?s -s+1≥1 ?? 或? ? ? ?s≥1 ?s<1

?s≥1 或 s≤0.

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∴必须且只需 B=R.

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?A=(-∞,0]∪[1,+∞),又?BA=(0,1)

∵|t+5|+|t-5|≥|(t+5)-(t-5)|=10 对于任意 t∈R 都成立, ∴lg(|t+5|+|t-5|)≥lg10=1 对于任意 t∈R 都成立. ∴lg(|t+5|+|t-5|)>a 当且仅当 a<1 时,对任意 t∈R 都成立,故当 a<1 时,B=R, 满足题设条件. 20. (本小题满分 12 分)设函数 f(x)=-4x+b, 且不等式|f(x)|<c 的解集为{x|-1<x<2}. (1)求 b 的值; (2)解关于 x 的不等式(4x+m)f(x)>0(m∈R). 解析:(1)由|-4x+b|<c 得 |f(x)|<c?{x|-1<x<2} b-c b+c <x< , 4 4

?b-c=-1 4 则? b+c ? 4 =2

? ?b=2 ∴? ,故 b=2. ? ?c=6

(2)f(x)=-4x+2,则(4x+m)(2-4x)>0 即(4x+m)(4x-2)<0 m 1 1 m 当- > ,即 m<-2 时, <x<- ; 4 2 2 4 m 1 当- = ,即 m=-2 时,不等式无解; 4 2 m 1 m 1 当- < ,即 m>-2 时,- <x< , 4 2 4 2 1 m 综上,当 m<-2 时,解集为?2,- 4 ?; ? ? 当 m=-2 时,解集为?; m 1 当 m>-2 时,解集为?- 4 ,2?. ? ? 5 21. (本小题满分 12 分)已知全集 U=R, 集合 A={x|log2(3-x)≤2}, 集合 B={x| ≥1}. x+2 (1)求 A、B; (2)求(?UA)∩B. 解析:(1)由已知得:log2(3-x)≤log24,
?3-x≤4 ? ∴? , ? ?3-x>0

解得-1≤x<3,∴A={x|-1≤x<3}.

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5 ≥1,得(x+2)(x-3)≤0,且 x+2≠0,解得-2<x≤3. x+2

∴B={x|-2<x≤3}. (2)由(1)可得?UA={x|x<-1 或 x≥3}. 故(?UA)∩B={x|-2<x<-1 或 x=3}. ax-5 22.(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=lg 2 的定义域为 A,若命题 p:3∈A 与 q:5∈A x -a 有且只有一个为真命题,求实数 a 的取值范围. 解析:A=?x?
? ? ? ? ? ?ax-5>0 ?. ? x2-a ? ? ?

3a-5 5 若 3∈A,则 >0,即 <a<9, 3 9-a 5a-5 若 5∈A,则 >0,即 1<a<25. 25-a

?5<a<9, ? 若 p 真 q 假,则?3 a 无解; ?a≤1或a≥25, ? ?a≤5或a≥9, ? 若 p 假 q 真,则? 3 ? ?1<a<25,
5 即 1<a≤ 或 9≤a<25. 3 5 综上,a∈(1, ]∪[9,25) 3

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