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2012-2013年高中数学常见题型解决方法归纳、反馈训练及详细解析 专题50 轨迹方程的求法


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第 50 讲:轨迹方程的求法
【考纲要求】 了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系. 【知识要点】 1、 “曲线的方程”“方程的曲线”的定义 、

(1) 列式:用坐标表示条件 P(M ) ,列出方程 f ( x, y) ? 0 ; (2)化简:化方程 f ( x, y) ? 0 为最简形式; (3)检验:检验某些

特殊点是否满足题意,把不满足的点排除,把满足的点补充上来。 3、求轨迹方程的四种主要方法 (1)待定系数法:通过对已知条件的分析,发现动点满足某个曲线(圆、圆锥曲线)的 定义,然后设出曲线的方程,求出其中的待定系数。 (2)代入法:如果点 M 的运动是由于点 P 的运动引起的,可以先用点 M 的坐标表示点 P 的坐标,然后代入点 P 满足的方程,即得动点 M 的轨迹方程。 (3)直接法:直接把已知的方程和条件化简即得动点的轨迹方程。 (4)参数法:动点 M ( x, y ) 的运动主要是由于某个参数 ? 的变化引起的,可以选参、设参,

然后用这个参数表示动点的坐标,即 ?

? x ? f (? ) ,再消参。 ? y ? g (? )

例 1

线 段 AB 与 CD 互 相 垂 直 平 分 于 点 O , AB ? 4 , CD ? 2 , 动 点 P 满 足

PA PB ? PC· PD ,求动点 P 的轨迹方程. ·

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解:如图 1,以 AB 中点 O 为原点,直线 AB 为 x 轴建立直角坐标系. 0) 0) 1) ? 设 P ( x,y ) ,易知 A(?2,,B(2,,C (0,,D(0, 1) .
∵ PA PB ? PC· PD ·
[来源:高&考%资(源#网 wxc]

∴ ( x ? 2)2 ? y2· ( x ? 2)2 ? y2 ? x2 ? ( y ? 1)2· x2 ? ( y ? 1)2 .
整理得 2 x2 ? 2 y 2 ? 3 , 故动点 P 的轨迹方程为 2 x2 ? 2 y 2 ? 3 .

例2

已知圆 C : ( x ? 1)2 ? ( y ?1)2 ? 4 ,由动点 P 向圆 C 引两条切线 PA 、 PB ,切点分
?

别为 A 、 B ,并且 ?APB ? 60 ,求点 P 的轨迹。 解:设 P( x, y) ,由题得 ?PAC 是直角三角形,且 ?PAC ? 90 .
0

在直角三角形 PAC 中, ?APC ? 300 , AC ? 2 ? PC |? 4 |

? ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 ? ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 16
所以动点 P 的轨迹方程为 ( x ? 1) ? ( y ?1) ? 16 它是以点 (?1,1) 为圆心,4 为半径的圆。
2 2

(Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)设直线 AP 和 BP 分别与直线 x=3 交于点 M,N,问:是否存在点 P 使得△PAB 与△PMN 的 面积相等?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由。

方法二 使用情景 解题步骤

待定系数法 通过已知条件的分析可以得到动点满足某种曲线(圆、圆锥曲线)的定义。 (1)分析出动点满足的方程; (2)证明动点满足某曲线(圆、圆锥曲线)的

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定义; (3)设出该曲线的待定系数方程; (4)求出待定系数,即得所求的轨迹 方程。
[来源:Ks5u.com.Com]

例 3

已知动圆 P 与两定圆 O : x2 ? y 2 ? 1 和 C : x2 ? y 2 ? 8x ? 12 ? 0 都外切,求动圆圆心的

轨迹方程. 解:设半径为 r 的动圆圆心为 P ( x,y ) , 因为圆 P 与圆 O ,圆 C 都外切, 则 PO ? r ? 1 , PC ? r ? 2 , PC ? PO ? 1 .
0) 0) 0) 因此点 P 的轨迹是焦点为 O(0,,C (4, 中心在 (2, 的双曲线的左支.

故所求轨迹方程为 4( x ? 2)2 ?

4 2 3 y ? 1( x ≤ ) . 15 2

例4
ks5u.com

1 在面积为 1 的 △ PMN 中, tan ?PMN ? , ?PNM ? ?2 .建立适当坐标系,求 tan 2

以 M,N 为焦点且过 P 的椭圆方程. 解:如图 2,以直线 MN 为 x 轴, MN 的垂直平分线为 y 轴,建立直角坐标系. 设所求椭圆方程为 由 tan ?PMN ?

x2 y 2 0) 0) ? ? 1 ,焦点为 M (?c,,N (c, , a 2 b2

1 , tan ? ? tan(π ? ?MNP) ? 2 , 2
① ②

1 得直线 PM : y ? ( x ? c) , 2 直线 PN : y ? 2( x ? c)
?5 4 ? ①,②联立,求得点 P ? c, c ? . ?3 3 ?

1 4 4 又 S△MNP ? ? 2c ? c ? c2 ? 1 , 2 3 3
可得 c ?
?5 3 2 3? 3 ,则点 P ? ? 6 ,3 ? . ? 2 ? ?
2 15 15 , PN ? , 3 3

又 PM ?

1 15 则 a ? ( PM ? PN ) ? . 2 2

又 b2 ? a 2 ? c 2 ? 3 , 故所求椭圆方程为

4 x2 y 2 ? ?1 . 15 3

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【点评】此题已知已经告诉是椭圆,所以直接利用待定系数法,先定式,后定量。 【变式演练 2】 在 △ ABC 中, BC ? 24,AC,AB 上的两条中线长度之和为 39,求 △ ABC 的重心的轨迹方程.

例 5

1) 已知抛物线 y 2 ? x ? 1 和点 A(3, , B 为抛物线上一点,点 P 在线段 AB 上且

BP : PA ? 1: 2 ,当点 B 在该抛物线上移动时,求点 P 的轨迹方程. ??? ? 解:设点 P ( x,y ) , B( x?,y ?) ,由 BP : PA ? 1: 2 ,知点 P 分 AB 所成的比为 ? ? 2 ,则

3 ? 2 x? 3x ? 3 ? ? ? x ? 1 ? 2 , ? x? ? 2 , ? ? ?? ? 1 ? 2 y? ?y ? ? y? ? 3 y ? 1 . ? ? ? 1? 2 ? 2

? 3 y ? 1 ? 3x ? 3 ?1. 又 B 点在抛物线上,则 ? ? ? 2 ? 2 ?
2

1? 2? 1? ? 整理得 ? y ? ? ? ? x ? ? 为所求轨迹方程. 3? 3? 3? ?

2

例6

已知曲线 C∶x ? y ? 4mx ? 2my ? 20m ? 20 ? 0
2 2

(1)证明:当 m ? 2 时,曲线 C 是一个圆;

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(2)求证圆心在一条定直线上。

解:(1)证明:由题得D2 ? E 2 ? 4 F ? 16m2 ? 4m2 ? 4(20m ? 20) ? 20m2 ? 80m ? 80 ? 20(m ? 2) 2 ? m ? 2时, m ? 2) 2 ? 0 ?当m ? 2时,原方程表示圆。 20( ?x=2m (2)设圆心坐标为(x,y),则 ? 消去参数m得x ? 2 y ? 0 ?y=-m ?圆心的轨迹方程为x ? 2 y ? (x ? 4且y ? ?2) 0
【点评】 (1)此题求圆心在一定直线上,就是求动点的轨迹是一条直线; (2)圆心的运动 主要是因为参数 m 引起的,所以选用消参法解答。

【变式演练 4】 已知线段 AA? ? 2a ,直线 l 垂直平分 AA? 于 O ,在 l 上取两点 P, P ? ,使有 ??? ???? ? ? ??? ???? ? ? · , 向线段 OP OP? 满足 OP OP? ? 4 ,求直线 AP 与 A?P? 的交点 M 的轨迹方程.

【解析】设 A? x1,y1 ? ,B ? x1,-y1 ? ,又知 A ? -a,0? ,A2 ? a,0? ,则 1

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直线 A A 的方程为 1

y=

y1 ? x+a ? x1 +a



2 2 2 由 t1 ? t2 ,知 x1 ? x2 ,所以 x12 +x2 2=a 。从而 y12 +y2 2=b 2 ,因而 t12 +t2 2=a +b 为定值

y

M

A

O

B x

[解析](1)设 M 的坐标为(x,y) ,显然有 x>0, y ? 0 . 当∠ MBA=90°时,点 M 的坐标为(2,, ±3) 当∠ MBA≠90°时;x≠2.由∠ MBA=2∠ MAB,

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| y| 2 | y| x ?1 ? ? 2 tan ?MAB | y| 2 x?2 有 tan∠ MBA= ,即 1? ( ) 1 ? tan 2 ?MAB x ?1

解得,m>1,且 m ? 2 设 Q、R 的坐标分别为 ( x0 , y0 ), ( xR , yR ) ,由 PQ ? PR 有

xR ? 2m ? 3(m 2 ? 1) , x0 ? 2m ? 3(m 2 ? 1)

【反馈训练】 1 已知椭圆的焦点是 F1、F2,P 是椭圆上的一个动点,如果延长 F1P 到 Q,使得|PQ|=|PF2|, 那么动点 Q 的轨迹是( ) A 圆 B 椭圆 C 双曲线的一支 D 抛物线

x2 y2 ? =1 的长轴两个端点,P1、P2 是垂直于 A1A2 的弦的端点,则直线 9 4 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程为( )
2 设 A1、A2 是椭圆 A

x2 y2 ? ?1 9 4

B

y2 x2 ? ?1 9 4

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x2 y2 y2 x2 ? ?1 ? ?1 D 9 4 9 4 3. 如图,定点 A 和 B 都在平面 ? 内,定点 P ? ?, PB ? ?, C 是 ? 内异于 A 和 B 的动点。且 PC ? AC ,那么动点 C 在平面 ? 内的轨迹是( ) A. 一条线段,但要去掉两个点 B. 一个圆,但要去掉两个点 C. 一个椭圆,但要去掉两个点 D. 半圆,但要去掉两个点
C
[来源:Ks5u.com]

5 △ABC 中, 为动点, 、 为定点, (- A B C B

a a 1 ,0),C( ,0), 且满足条件 sinC-sinB= sinA, 2 2 2

则动点 A 的轨迹方程为_________ 6 高为 5 m 和 3 m 的两根旗杆竖在水平地面上,且相距 10 m,如果把两旗杆底部的坐标分 别确定为 A(-5, B(5, 则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________ 0)、 0), 7 已知 A、B、C 是直线 l 上的三点,且|AB|=|BC|=6,⊙O′切直线 l 于点 E A,又过 B、C 作⊙O′异于 l 的两切线,设这两切线交于点 P,求点 P 的轨 F O' 迹方程 D

x2 y2 8 双曲线 2 ? 2 =1 的实轴为 A1A2,点 P 是双曲线上的一个动点,引 A1Q a b
⊥A1P,A2Q⊥A2P,A1Q 与 A2Q 的交点为 Q,求 Q 点的轨迹方程 9 已知双曲线

A

B

C

x2 y2 ? =1(m>0,n>0)的顶点为 A1、A2,与 y m2 n2
y M A1 o A2 x P

轴平行的直线 l 交双曲线于点 P、Q (1)求直线 A1P 与 A2Q 交点 M 的轨迹方程; (2)当 m≠n 时,求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心 率

Q

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???? 0) 0) 11、已知A,B,D三点不在一条直线上,且 A( ?2, , B(2, , AD ? 2 ,
??? 1 ??? ???? ? ? AE ? ( AB ? AD) . 2 (1)求 E 点轨迹方程; (2)过 A 作直线交以 A,B 为焦点的椭圆于 M,N 两点,线段 MN 的中点到 y 轴的距
离为

4 ,且直线 MN 与 E 点的轨迹相切,求椭圆方程. 5

x2 ? y 2 ? 1的左、右顶点分别为 A1,A2,点 P( x1 , y1 ) , Q( x1 , ? y1 ) 是双曲线 12、一条双曲线 2
上不同的两个动点。 (1)求直线 A1P 与 A2Q 交点的轨迹 E 的方程式; (2)若过点 H(0, h)(h>1)的两条直线 l1 和 l2 与轨迹 E 都只有一个交点,且 l1 ? l2 求 h 的值。
,

【变式演练详细解答】 【变式演练 1 详细解析】 (I)解:因为点 B 与 A (?1,1) 关于原点 O 对称,所以点 B 得坐标为 (1, ?1) . 设点 P 的坐标为 ( x, y ) 由题意得 化简得

y ?1 y ?1 1 ? ?? x ?1 x ?1 3

x2 ? 3 y 2 ? 4( x ? ?1) .
2 2

故动点 P 的轨迹方程为 x ? 3 y ? 4( x ? ?1) (II)设点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,点 M , N 得坐标分别为 (3, yM ) , (3, yN ) . 则直线 AP 的方程为 y ? 1 ?

y0 ? 1 y ?1 ( x ? 1) ,直线 BP 的方程为 y ? 1 ? 0 ( x ? 1) x0 ? 1 x0 ? 1

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令 x ? 3 得 yM ?

4 y0 ? x0 ? 3 2 y0 ? x0 ? 3 , yN ? . x0 ? 1 x0 ? 1

于是 ? PMN 得面积

S? PMN

| x0 ? y0 | (3 ? x0 )2 1 ? | yM ? yN | (3 ? x0 ) ? 2 | x0 2 ? 1|

又直线 AB 的方程为 x ? y ? 0 , | AB |? 2 2 , 点 P 到直线 AB 的距离 d ? 于是 ? PAB 的面积

| x0 ? y0 | 2

.

S? PAB ?

1 | AB |?d ?| x0 ? y0 | 2

故存在点 P 使得 ? PAB 与 ? PMN 的面积相等,此时点 P 的坐标为 ( , ?

5 3

33 ). 9

【变式演练 2 详细解析】 以线段 BC 所在直线为 x 轴,线段 BC 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系,如图 1, M 为重心,

2 则有 BM ? CM ? ? 39 ? 26 . 3 ∴M 点的轨迹是以 B, C 为焦点的椭圆,
其中 c ? 12,a ? 13 .∴b ? a2 ? c2 ? 5 .

x2 y2 ? ? 1( y ? 0) . 169 25 注意:求轨迹方程时要注意轨迹的纯粹性与完备性. 【变式演练 3 详细解析】

∴所求 △ ABC 的重心的轨迹方程为

?3 ? 1 ? x0 ? , ? x ? 3 x ? 2, ?x ? 0 ? 3 ∴? 设 G( x,y) , A( x0,y0 ) ,由重心公式,得 ? y0 y0 ? 3 y. ?y ? , ? ? 3 ?
2 又∵ A( x0,y0 ) 在抛物线 y ? x 2 上,∴ y0 ? x0 .

① ②



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将①,②代入③,得 3 y ? (3x ? 2)2 ( y ? 0) ,

4 即所求曲线方程是 y ? 3x2 ? 4 x ? ( y ? 0) . 3 【变式演练 4 详细解析】 如图 2,以线段 AA? 所在直线为 x 轴,以线段 AA? 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系. 设点 P(0,t )(t ? 0) ,
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? 4? 则由题意,得 P? ? 0, ? . ? t?

t 4 由点斜式得直线 AP,A?P ? 的方程分别为 y ? ( x ? a),y ? ? ( x ? a) . a ta
两式相乘,消去 t ,得 4 x2 ? a2 y 2 ? 4a2 ( y ? 0) . 这就是所求点 M 的轨迹方程.

3. B【解析】因为 AC ? PC ,且 PC 在 ? 内的射影为 BC,所以 AC ? BC ,即 ?ACB ? 90? 。 所以点 C 的轨迹是以 AB 为直径的圆且去掉 A、B 两点,故选 B。

4.D【解析】 因为 P 到 C1 D1 的距离即为 P 到 C1 的距离,所以在面 BC1 内,P 到定点 C1 的 距离与 P 到定直线 BC 的距离相等。由圆锥曲线的定义知动点 P 的轨迹为抛物线,故选 D。

5

16 x 2 16 y 2 a ? ? 1( x ? ) 2 2 4 a 3a

解析】

由 sinC-sinB=

1 1 sinA,得 c-b= a, 2 2

∴应为双曲线一支,且实轴长为

16 x 2 16 y 2 a a ? 1( x ? ) ,故方程为 2 ? 2 4 a 3a 2

答案

16 x 2 16 y 2 a ? ? 1( x ? ) 2 2 4 a 3a

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8 【解析】 设 P(x0,y0)(x≠±a),Q(x,y) ∵A1(-a,0),A2(a,0)

y0 ? y ? x0 ? ? x ( x0 ? ? a ) ? x ? a ? x ? a ? ?1 ? ? 0 得? 由条件 ? x2 ? a2 y0 y y0 ? ? ? ? ? ?1 y ? ? x ? a x0 ? a ?
而点 P(x0,y0)在双曲线上,∴b x0 -a y0 =a b 即 b (-x )-a (
2 2 2 2 2 2 2 2 2

x2 ? a2 2 2 2 ) =a b y
2 2 2 2 4

化简得 Q 点的轨迹方程为 a x -b y =a (x≠±a) 9 【解析】 (1)设 P 点的坐标为(x1,y1), Q 点坐标为(x1,-y1),又有 A1(-m,0),A2(m,0), 则 则 A1P 的方程为

y=

y1 ( x ? m) x1 ? m y1 ( x ? m) x1 ? m



A2Q 的方程为 y=-



①?②得 y =-

2

y1
2

2

x1 ? m 2

( x 2 ? m2 )



又因点 P 在双曲线上,故

x1 y n2 2 2 ? 12 ? 1,即y1 ? 2 ( x1 ? m 2 ). m2 n m

2

2

代入③并整理得

x2 y2 ? 2 =1 此即为 M 的轨迹方程 m2 n

(2)当 m≠n 时,M 的轨迹方程是椭圆

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10 【解析】 (1)∵点 F2 关于 l 的对称点为 Q,连接 PQ, ∴∠F2PR=∠QPR,|F2R|=|QR|,|PQ|=|PF2| 又因为 l 为∠F1PF2 外角的平分线, 故点 F1、、 在同一直线上, P Q 设存在 R(x0,y0)Q(x1,y1),F1(- , c,0),F2(c,0) 2 2 2 |F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,则(x1+c) +y1 =(2a)

x1 ? c ? ? x0 ? 2 ? 又? ? y ? y1 ? 0 2 ? 得 x1=2x0-c,y1=2y0 2 2 2 2 2 2 ∴(2x0) +(2y0) =(2a) ,∴x0 +y0 =a 2 2 2 故 R 的轨迹方程为 x +y =a (y≠0)
a2 1 |OA|?|OB|?sinAOB= sinAOB 2 2 1 2 当∠AOB=90°时,S△AOB 最大值为 a 2
(2)如右图,∵S△AOB= 此时弦心距|OC|=

y C A o

B

| 2ak | 1? k2

x

在 Rt△AOC 中,∠AOC=45°,

?

| OC | | 2ak | 2 3 ? ? cos 45? ? ,? k ? ? . | OA | a 1 ? k 2 2 3
??? 1 ??? ???? ? ? 2 11、 【解析】 : 设 E ( x,y) , AE ? ( AB ? AD) 知 E 为 BD 中点, (1) 由 易知 D(2 x ? 2,y) . 2 ???? 又 AD ? 2 ,则 (2 x ? 2 ? 2)2 ? (2 y)2 ? 4 .
即 E 点轨迹方程为 x2 ? y 2 ? 1( y ? 0) ; (2)设 M ( x1,y1 ),N ( x2,y2 ) ,中点 ( x0,y0 ) . 由题意设椭圆方程为

x2 y2 ? 2 ? 1 ,直线 MN 方程为 y ? k ( x ? 2) . a2 a ? 4 ∵直线 MN 与 E 点的轨迹相切,

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2k k ?1
2

? 1 ,解得 k ? ?

3 . 3

将y??

3 ( x ? 2) 代入椭圆方程并整理,得 4(a2 ? 3) x2 ? 4a2 x ? 16a2 ? 3a4 ? 0 , 3 x ? x2 a2 ∴ x0 ? 1 ?? , 2 2(a 2 ? 3)

又由题意知 x0 ? ?

a2 4 4 ? ,解得 a 2 ? 8 . ,即 2(a 2 ? 3) 5 5

故所求的椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1. 8 4

(2)设 l1 : y ? kx ? h ,则由 l1 ? l2 知, l2 : y ? ? 将 l1 : y ? kx ? h 代入

1 x?h。 k

x2 ? y2 ? 1 得 2

x2 ? (kx ? h) 2 ? 1 ,即 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4khx ? 2h2 ? 2 ? 0 , 2
由 l1 与 E 只有一个交点知, ? ? 16k h ? 4(1 ? 2k )(2h ? 2) ? 0 ,即
2 2 2 2

1 ? 2k 2 ? h2 。
同理,由 l2 与 E 只有一个交点知, 1 ? 2 ?

1 1 ? h 2 ,消去 h2 得 2 ? k 2 ,即 k 2 ? 1 ,从而 2 k k

h2 ? 1 ? 2k 2 ? 3 ,即 h ? 3 。


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