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第三章 概率 3.1.3有详细答案


3.1.3

概率的基本性质

课时目标 1.了解事件间的相互关系.2.理解互斥事件、对立事件的概念.3.会用概率的 加法公式求某些事件的概率. 1.事件的关系与运算 (1)包含关系 一般地,对于事件 A 与事件 B,如果事件 A________,则事件 B________,这时称事件 B 包含事件 A(或称事件 A 包含于事件 B).记作________________.不可能事件记作?, 任何事件都包含____________.一般地,如果 B?A,且 A?B,那么称事件 A 与事件 B________,记作________. (2)并事件 若某事件发生当且仅当______________________,则称此事件为事件 A 与事件 B 的并 事件(或和事件),记作 A∪B(或 A+B). (3)交事件 若某事件发生当且仅当______________________,则称此事件为事件 A 与事件 B 的交 事件(或积事件),记作 A∩B(或 AB). (4)互斥事件与对立事件 ①互斥事件的定义 若 A∩B 为________________(A∩B=__________),则称事件 A 与事件 B 互斥. ②对立事件的含义 若 A∩B 为________________,A∪B 是__________,则称事件 A 与事件 B 互为对立事 件. 2.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围__________. (2)________的概率为 1,__________的概率为 0. (3)概率加法公式 如果事件 A 与 B 为互斥事件,则 P(A∪B)=____________. 特殊地,若 A 与 B 为对立事件,则 P(A)=1-P(B). P(A∪B)=____,P(A∩B)=____.

一、选择题 1.给出事件 A 与 B 的关系示意图,如图所示,则(

)

A.A?B B.A?B C.A 与 B 互斥 D.A 与 B 互为对立事件 2.对空中飞行的飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设 A={两次都击中飞机}, B={两次都没击中飞机},C={恰有一弹击中飞机},D={至少有一弹击中飞机},下列 关系不正确的是( ) A.A?D B.B∩D=? C.A∪C=D D.A∪B=B∪D 3.从 1,2,?,9 中任取两个数,其中:①恰有一个偶数和恰有一个奇数;②至少有一 个是奇数和两个都是奇数; ③至少有一个奇数和两个都是偶数; ④至少有一个奇数和至 少有一个偶数. 在上述几对事件中是对立事件的是( ) A.① B.②④

C.③ D.①③ 4.下列四种说法: ①对立事件一定是互斥事件; ②若 A,B 为两个事件,则 P(A∪B)=P(A)+P(B); ③若事件 A,B,C 彼此互斥,则 P(A)+P(B)+P(C)=1; ④若事件 A,B 满足 P(A)+P(B)=1,则 A,B 是对立事件. 其中错误的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 5.从一批羽毛球产品中任取一个,其质量小于 4.8 g 的概率为 0.3,质量小于 4.85 g 的 概率为 0.32,那么质量在[4.8,4.85]g 范围内的概率是( ) A.0.62 B.0.38 C.0.02 D.0.68 6.现有语文、数学、英语、物理和化学共 5 本书,从中任取 1 本,取出的是理科书的 概率为( ) 1 2 A. B. 5 5 3 4 C. D. 5 5 1 2 3 4 5 6 题 号 答 案 二、填空题 7.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出 1 个球,摸出红球的概率 是 0.42,摸出白球的概率是 0.28,则摸出黑球的概率是________. 1 1 8.甲、乙两队进行足球比赛,若两队战平的概率是 ,乙队胜的概率是 ,则甲队胜的 4 3 概率是________. 4 9.同时抛掷两枚骰子,没有 5 点或 6 点的概率为 ,则至少有一个 5 点或 6 点的概率是 9 ________. 三、解答题 10.某射手射击一次射中 10 环,9 环,8 环,7 环的概率分别是 0.24,0.28,0.19,0.16,计 算这名射手射击一次. (1)射中 10 环或 9 环的概率; (2)至少射中 7 环的概率.

11.某家庭电话在家中有人时,打进的电话响第一声时被接的概率为 0.1,响第二声时 被接的概率为 0.3,响第三声时被接的概率为 0.4,响第四声时被接的概率为 0.1,那么 电话在响前四声内被接的概率是多少?

能力提升 12.某公务员去开会,他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为 0.3、0.2、0.1、0.4. (1)求他乘火车或乘飞机去的概率; (2)求他不乘轮船去的概率; (3)如果他乘某种交通工具的概率为 0.5,请问他有可能乘哪种交通工具?

13.在某一时期内,一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下表: 年最高水位 [8,10) [10,12) [12,14) [14,16) [16,18) (单位:m) 0.1 0.28 0.38 0.16 0.08 概率 计算在同一时期内,河流这一处的年最高水位在下列范围内的概率: (1)[10,16)(m);(2)[8,12)(m);(3)水位不低于 12 m.

1.互斥事件与对立事件的判定 (1)利用基本概念:①互斥事件不可能同时发生;②对立事件首先是互斥事件,且必须有 一个要发生. (2)利用集合的观点来判断: 设事件 A 与 B 所含的结果组成的集合分别是 A、 B.①事件 A 与 B 互斥,即集合 A∩B=?;②事件 A 与 B 对立,即集合 A∩B=?,且 A∪B=I,也 即 A=?IB 或 B=?IA;③对互斥事件 A 与 B 的和 A+B,可理解为集合 A∪B. 2.运用互斥事件的概率加法公式解题时,首先要分清事件之间是否互斥,同时要学会 把一个事件分拆为几个互斥事件,做到不重不漏,分别求出各个事件的概率然后用加法 公式求出结果. 3.求复杂事件的概率通常有两种方法:一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和; 二是先求其对立事件的概率,然后再运用公式求解.如果采用方法一,一定要将事件分 拆成若干互斥的事件,不能重复和遗漏;如果采用方法二,一定要找准其对立事件,否 则容易出现错误. 答案:

3.1.3

概率的基本性质

知识梳理 1.(1)发生 一定发生 B?A 或 A?B 不可能事件 相等 A=B (2)事件 A 发生或 事件 B 发生 (3) 事件 A 发生且事件 B 发生 (4)①不可能事件 ? ②不可能事件 必然事件 2.(1)0≤P(A)≤1 (2)必然事件 不可能事件 (3)P(A)+P(B) 1 0 作业设计 1.C 2.D [“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中,“至少 有一弹击中”包含两种情况:一种是恰有一弹击中,一种是两弹都击中, ∴A∪B≠B∪ D.] 3.C [从 1,2,?,9 中任取两个数,有以下三种情况: (1)两个奇数;(2)两个偶数;(3)一个奇数和一个偶数.①中“恰有一个偶数”和“恰有 一个奇数”是同一个事件, 因此不互斥也不对立; ②中“至少有一个奇数”包括“两个 都是奇数”这个事件,可以同时发生,因此不互斥也不对立;④中“至少有一个奇数” 和“至少有一个偶数”,可以同时发生,因此不互斥也不对立;③中是对立事件,故应 选 C.] 4.D [对立事件一定是互斥事件,故①对; 只有 A、B 为互斥事件时才有 P(A∪B)=P(A)+P(B),故②错; 因 A,B,C 并不是随机试验中的全部基本事件, 故 P(A)+P(B)+P(C)并不一定等于 1,故③错; 若 A、B 不互斥,尽管 P(A)+P(B)=1, 但 A,B 不是对立事件,故④错.] 5.C [设“质量小于 4.8 g”为事件 A,“质量小于 4.85 g”为事件 B,“质量在[4.8,4.85]g” 为事件 C,则 A∪C=B,且 A、C 为互斥事件,所以 P(B)=P(A∪C)=P(A)+P(C),则 P(C)=P(B)-P(A)=0.32-0.3=0.02.] 6.C [记录取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件 A、B、C、D、E,则 A、 B、C、D、E 互斥,取到理科书的概率为事件 B、D、E 概率的和. ∴P(B∪D∪E)=P(B)+P(D)+P(E) 1 1 1 3 = + + = .] 5 5 5 5 7.0.30 解析 P=1-0.42-0.28=0.30. 5 8. 12 解析 设甲队胜为事件 A, 1 1 5 则 P(A)=1- - = . 4 3 12 5 9. 9 4 解析 没有 5 点或 6 点的事件为 A,则 P(A)= ,至少有一个 5 点或 6 点的事件为 B. 9 4 因 A∩B=?,A∪B 为必然事件,所以 A 与 B 是对立事件,则 P(B)=1-P(A)=1- = 9 5 . 9 5 故至少有一个 5 点或 6 点的概率为 . 9 10.解 设“射中 10 环”,“射中 9 环”,“射中 8 环”,“射中 7 环”的事件分别 为 A、B、C、D,则 A、B、C、D 是互斥事件, (1)P(A∪B)=P(A)+P(B) =0.24+0.28=0.52;

(2)P(A∪B∪C∪D) =P(A)+P(B)+P(C)+P(D) =0.24+0.28+0.19+0.16=0.87. 答 射中 10 环或 9 环的概率是 0.52,至少射中 7 环的概率为 0.87. 11.解 记“响第 1 声时被接”为事件 A,“响第 2 声时被接”为事件 B,“响第 3 声 时被接”为事件 C, “响第 4 声时被接”为事件 D.“响前 4 声内被接”为事件 E, 则易 知 A、 B、C、D 互斥,且 E=A∪B∪C∪D,所以由互斥事件的概率的加法公式得 P(E)=P(A∪B∪C∪D) =P(A)+P(B)+P(C)+P(D) =0.1+0.3+0.4+0.1=0.9. 12.解 (1)记“他乘火车去”为事件 A1,“他乘轮船去”为事件 A2,“他乘汽车去” 为事件 A3,“他乘飞机去”为事件 A4,这四个事件不可能同时发生,故它们彼此互斥. 故 P(A1∪A4)=P(A1)+P(A4)=0.3+0.4=0.7. 所以他乘火车或乘飞机去的概率为 0.7. (2)设他不乘轮船去的概率为 P, 则 P=1-P(A2)=1-0.2=0.8, 所以他不乘轮船去的概率为 0.8. (3)由于 P(A)+P(B)=0.3+0.2=0.5, P(C)+P(D)=0.1+0.4=0.5, 故他可能乘火车或乘轮船去,也有可能乘汽车或乘飞机去. 13.解 设水位在[a,b)范围的概率为 P([a,b)). 由于水位在各范围内对应的事件是互斥的,由概率加法公式得: (1)P([10,16))=P([10,12))+P([12,14))+P([14,16)) =0.28+0.38+0.16=0.82. (2)P([8,12))=P([8,10))+P([10,12)) =0.1+0.28=0.38. (3)记“水位不低于 12 m”为事件 A, P(A)=1-P([8,12))=1-0.38=0.62.


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