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人教版高中数学竞赛讲座:绝对值与二次根式


竞赛讲座 25 -绝对值与二次根式 1. 绝对值 例1 (1986 年扬州初一竞赛题)设 T=|x-p|+|x-15|+|x-p-15|,其中 0<p<15.对 于满足 p≤x≤15 的 x 的来说,T 的最小值是多少? 解由已知条件可得 T=(x-p)+(15-x)+(p+15-x)=30-x. ∵当 p≤x≤15 时,上式中在 x 取最大值时 T 最小;当 x=15 时,T=30-15=15,故 T 的最小值是 15. 例2 若两数绝对值之和等于绝对值之积, 且这两数都不等于 0.试证这两个数都 不在-1 与-之间. 证 设两数为 a、b,则|a|+|b|=|a||b|. ∴|b|=|a||b|-|a|=|a|(|b|-1). ∵ab≠0,∴|a|>0,|b|>0. ∴|b|-1=>0,∴|b|>1. 同理可证|a|>1. ∴a、b 都不在-1 与 1 之间. 例3 设 a、b 是实数,证明 |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|. 证明 当|a|-|b|≤0 时,|a|-|b|≤|a+b|成立. 当|a|-|b|>0 时,由于 (|a|-|b|)2-|a+b|2 =(a2+b2-2|ab|)-(a2+b2+2ab) =-2(|ab|-ab)≤0, ∴|a|-|b|≤|a+b|. 同理可证|a+b|≤|a|+|b|. 2. 根式 在根式进行化简、求值和证明的过程中,常采用配方法、乘方法、比较系数法、设 参法、公式法等等,现举例如下: (1) 配方法:将二次根号内的式子配成完全平方式,将三次根号下的式子配成 完全立方式. 例4 (1981 年宁波初中竞赛题)设的整数部分为 x,小数部分为 y,试求的值. 解 =4-=2+(2-), 故 x=2,y=2-, ∴x+y+ =4-+2+=6. 例5 化简 解 原式= =|x+3|+|x-1|-|x-2|. 令 x+3=0,x-1=0,x-2=0.得 x=-3,x=1,x=2,这些点把数轴划分成四个部分: 当 x<-3 时 原式=-(x+3)-(x-1)+(x-2)=-x-4; 当-3≤x<1 时, 原式=(x+3)-(x-1)+(x-2)=x+2; 当 1≤x≤2 时, 原式=(x+3)+(x-1)+(x-2)=3x; 当 x>2 时, 原式=(x+3)+(x-1)-(x-2)=x+4. 说明:将根号下含字母的式子化为带绝对值的式子来讨论,是解这类问题的一般技 巧. 例6 化简(a>>0). 解 原式= = = ∵a>>0. ∴a2>2b2, ∴原式= 例7 求证: 证明:∵ = ∴原式=4. (2)乘方法:由于乘方与开方互为逆运算,顺理成章地可以用乘方的方法去根号 例8 已知求证: (x+y+z)3=27xyz. 证明:∵ ∴ 两边立方 x+y+ 即 再边再立方得(x+y+z)3=27xyz. 例9 已知 求证 证明 设则 即 同理可设则 ∴A+B= = = 由 A+B=a, 得 ∴ (2) 比较系数法 例 10 求满足条件的自然数 a、x、y. 解 将等式两边平方得 ∵x、y、a 都是自然数. ∴只能是无理数,否则与等式左边是无理数相矛盾. ∴x+y=a,xy=6. 由条件可知 x>y 且 x、y 是自然数. 当 x=6 时,y=1,得 a=7. 当 x=3 时,y=2,得 a=5. 故 x=6,y=1,a=7. 或 x=3,y=2,a=5. 例 11 化简 分析 被开方式展开后得 13+2,含有三个不同的根式,且系数都是 2,可看成是将平方 得来的. 解 设 =, 两边平方得 13+

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