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2015年江苏高考南通密卷六


2015 年高考模拟试卷(6)
南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷(必做题,共 160 分)
一.填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分 . 1. 已知集合 U ? ??2, ?1,,, 0 2 3? , A ? ??2, ?1,3? , B ? ??1, 2? ,则 ? U ( A U B) ? 2. 已知复数 ( z ? 2)i ? 2 ?

i ( i 为虚数单位) ,则复数 z 的模为 3. 某程序框图如下图所示,该程序运行后输出的 x 值是 . . .

甲 5 9 8 a 8 7 8 9

乙 6 5 9 8 7

4.如图所示茎叶图是甲乙两组各 5 名学生的数学竞赛成绩(70 分~99 分) ,若甲乙两组的平 均成绩一样,则 a= ;甲乙两组成绩中相对整齐的是 . 5. 假设在 6 分钟内的任意时刻,两架相同型号的飞机机会均等地进入同一飞机场,若这两架 飞机进入机场的时间之差不小于 2 分钟,飞机不会受到干扰;则飞机受到干扰的概率为 _______. π? p π 6. 若将函数 y=sin? 与函数 y = cos(wx + ) ?ωx+4?(ω >0)的图象向左平移 6 个单位长度后, 4 的图象重合,则ω 的最小值为_____________.

?y ?1 ? 7. 实数 x,y 满足 ? y ? 2 x ? 1, 如果目标函数 z=x—y 的最小值为-2,则实数 m 的值为______. ?x ? y ? m ?
8.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍,轴截面的面积等于 8 3cm ,母线与轴的夹 角为 30 ,则这个圆台的高为____________. 9. 在平面直角坐标系 xOy 中, 圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 0 .若直线 y ? 3x ?b 上存在一点 P , 使过 P 所作的圆的两条切线相互垂直,则实数 b 的取值范围是__________. 10. 在矩形 ABCD 中, 已知 AB ? 3, AD ? 2 , 点 E 是 BC 的中点, 点 F 在 CD 上, 若 AB ? AF ? 3 则 AE ? BF 的值是 . ? 11.曲线 f ( x) ? f (2)ln x ? f (1) x ? 2 x 2 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为________. 12.在 ?ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2c cos B ? 2a ? b, 若 ?ABC 的面积为
2

S?

3 c ,则 ab 的最小值为_________. 2

13. 若对任意的 x∈D,均有 f1(x)≤f(x)≤f2(x)成立,则称函数 f(x)为函数 f1(x)到函数 f2(x)在区间 D 上的“折中函数”.已知函数 f(x)=(k-1)x-1,g(x)=0,h(x)=(x+1)ln x,且 f(x)是 g(x)到 h(x)在区间[1,2e]上的“折中函数”,则实数 k 的取值集合为________. 14. 已知 m ? R, n ? R 并且 m+3n=1 则 me ? 3ne 的最小值__________ . 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. A, B, C 的对边分别是 a, b, c , 15. (本小题满分 14 分)在 ?ABC 中, 已知向量 m ? (sin(? ? C),cos C) ,
m 3n

n ? (sin( B ? ),sin B) ,且 m ? n ? sin 2 A . 2

?

(1)求 A; (2)若

c b ? ? 4 ,求 sinBsinC 的值. b c

16.(本小题满分 14 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, 侧棱 PD⊥底面 ABCD,PD=DC,E 是 PC 的中点. ⑴求证:PA∥平面 BDE; ⑵求证:平面 BDE⊥平面 PBC.

17. (本小题满分 14 分) 如图是一块镀锌铁皮的边角料 ABCD ,其中 AB, CD, DA 都是线段, 曲线段 BC 是抛物线的一部分, 且点 B 是该抛物线的顶点,BA 所在直线是该抛物线的对称轴. AB ? 2 米,AD ? 3 米,AB ? AD , 经测量, 点 C 到 AD, AB 的距离 CH , CR 的长均为 1 米. 现 要用这块边角料裁一个矩形 AEFG (其中点 F 在曲线段 BC 或线段 CD 上,点 E 在线段 AD 上,点 G 在线段 AB 上). 设 BG 的长为 x 米,矩形 AEFG 的面积为 S 平方米. (1)将 S 表示为 x 的函数; (2)当 x 为多少米时, S 取得最大值,最大值是多少? D

C F

H E

B

G

R

A

第 17 题

18.(本小题满分 16 分) 已知圆 M : x 2 ? ? y ? 4 ? ? 4 ,点 P 是直线 l : x ? 2 y ? 0 上的一
2

动点,过点 P 作圆 M 的切线 PA 、 PB ,切点为 A 、 B . (1)当切线 PA 的长度为 2 3 时,求点 P 的坐标; (2)若 ?PAM 的外接圆为圆 N ,试问:当 P 运动时,圆 N 是否过定点?若存在,求出所 有的定点的坐标;若不存在,说明理由; (3)求线段 AB 长度的最小值.
[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

19.(本小题满分 16 分)已知函数 f ( x ) ?

1 2 2 3 x ? ax ,函数 g ( x) ? f ( x) ? 2ex ( x ?1) ,函数 2 3

g ( x)的导函数为g ' ( x) (1)当函数 y ? f ( x) 在 区间(1, ??) 时为减函数,求 a 的范围;
(2)若 a=e(e 为自然对数的底数) ; ①求函数 g(x)的单调区间; ②证明: g ' ( x) ? 1 ? ln x

20.(本小题满分 16 分) 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 Sn+n=2an(n∈N*). (1)证明:数列{an+1}为等比数列,并求数列{an}的通项公式; Tn-2 (2)若 bn=(2n+1)an+2n+1,数列{bn}的前 n 项和为 Tn.求满足不等式 >2 010 的 n 的 2n-1

最小值.

第Ⅱ卷(附加题,共 40 分) 21.[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,每小题 10 分;请选定其中两题,并在相应的答题区 ................ 域内作答 . .... A. (选修4-1:几何证明选讲)如图在 ?ABC 中,AB=AC,过点 A 的直线与 ?ABC 的外接 圆交于点 P,交 BC 的延长线于点 D.求证 ?ABP ? ?D

B. (选修4-2:矩阵与变换) 已知矩阵 A ? ?

?1 ?2 ? ?1 , (1)求逆矩阵 A 错误!未找到引 ? ?3 ?5?

用源。 ; (2)若矩阵 X 满足 AX ? ? ? ,试求矩阵 X .

?3? ?1 ?

C. (选修4-4:坐标系与参数方程) 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与

? x 轴的正半轴重合.若直线 l 的极坐标方程为 ? sin(? ? ) ? 2 2 . 4
(1)把直线 l 的极坐标方程化为直角坐标系方程; (2)已知 P 为椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 上一点,求 P 到直线 l 的距离的最小值. 3 9

1 1 D. (选修4-5:不等式选讲)已知 x,y∈R,且|x+y|≤ ,|x-y|≤ ,求证:|5x+y|≤1. 6 4

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.

1 。 7 现有甲、乙两人从袋中轮流、不放回地摸取 1 球,甲先取,乙后取,然后甲再取……直到袋 中的球取完即终止。若摸出白球,则记 2 分,若摸出黑球,则记 1 分。每个球在每一次被取 出的机会是等可能的。用?表示甲,乙最终得分差的绝对值. (1)求袋中原有白球的个数; (2)求随机变量?的概率分布列及期望 E?.
22. (本小题满分 10 分)袋中装有黑球和白球共 7 个,从中任取 2 个球都是白球的概率为

23. (本小题满分 10 分) 已知 ( x ? 2) ? a0 ? a1 ( x ?1) ? a2 ( x ?1)
n 2

+an ( x ?1)n (n ? N*) .

⑴求 a 0 及 S n ? ? ai ;
i ?1

n

⑵试比较 S n 与 (n ? 2)3 ? 2n 的大小,并说明理由.
n 2

2015 年高考模拟试卷(6)参考答案 南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷(必做题,共 160 分) 一、填空题 1. ?0? ; 2.

9. - 17 #b 二、解答题 15. (1)

4 ; 9 3 ; 10. 1 ? 3 ; 11. 17 x ? y ? 16 ? 0 ;

5;

3. 8 ;

4 . 5, 甲;

5.

6. 3 ;

7. 8 ;

8. 2 3 ;

12. 4; 13. {2}; 14.

e.

m ? n ? sin(? ? C ) sin( B ? ) ? cos C sin B 2

?

=sinCcosB+cosCsinB =sin(C+B)=sinA m ? n ? sin 2 A =2sinAcosA? 2sinaAcosA=sinA 在△ABC 中,sinA≠0, 1 ? cosA=2. π A∈(0,π),? A= . 3 2 2 2 c b b ?c a ? 2bc cos A ? ? ? ?4 , (2) b c bc bc 由正弦定理可得 sin 2 A ? 3sin B sin C ,

A?

?
3

? a2 ? 3bc .

A?

?
3

,?sin B sin C ?

1 4

16. ⑴连接 AC,设 AC 与 BD 的交点为 O,连接 OE. ∵在△PCA 中,OE 是△PCA 的中位线,∴PA∥OE. 又 PA 不在平面 BDE 内,∴PA∥平面 BDE. ⑵∵PD⊥底面 ABCD。∴CB⊥PD. 又 BC⊥DC, PD DC ? D, ∴BC⊥平面 PDC. DE ? 平面PDC ,∴DE⊥BC 在△PDC 中,PD=DC,E 是 PC 的中点,∴DE⊥PC. PC BC ? C , 因此有 DE⊥平面 PBC. ∵DE ? 平面 BDE,∴平面 BDE⊥平面 PBC. 17. (1)以点 B 为坐标原点, BA 所在直线为 x 轴, 建立平面直角坐标系. 设曲线段 BC 所在抛物线的方程为 y 2 ? 2 px( p ? 0) , 将点 C (1,1) 代入,得 2 p ? 1 , 即曲线段 BC 的方程为 y ? x (0 ? x ? 1) . 又由点 C (1,1), D(2,3) 得线段 CD 的方程 为 y ? 2 x ? 1(1 ? x ? 2) . 而 GA ? 2 ? x , ? x (2 ? x), 0 ? x ? 1, ? 所以 S ? ? ? ?(2 x ? 1)(2 ? x), 1 ? x ? 2. (2)①当 0 ? x ? 1 时,因为 S ? 所以 S ? ? x
? 1 2

D y

F

C

H E A

x (2 ? x) ? 2 x ? x ,

1 2

3 2

B

G R

x

3 1 2 ? 3x 2 ? x2 ? ,由 S ? ? 0 ,得 x ? , 3 2 2 x

当 x ? (0, ) 时, S ? ? 0 ,所以 S 递增;

2 3

2 4 6 时, Smax ? ; 3 9 5 2 9 ②当 1 ? x ? 2 时,因为 S ? (2 x ? 1)(2 ? x) ? ?2( x ? ) ? , 4 8 5 9 所以当 x ? 时, S max ? ; 4 8 5 9 9 4 6 综上,因为 ? ,所以当 x ? 米时, S max ? 平方米. 4 8 8 9
当 x ? ( ,1) 时, S ? ? 0 ,所以 S 递减,所以当 x ?

2 3

18. (1)由题可知,圆 M 的半径 r=2,设 P(2b,b) , 因为 PA 是圆 M 的一条切线,所以∠MAP=90° , 所以 MP=

? 0 ? 2b ? ? ? 4 ? b ?
2

2

? AM 2 ? AP 2 ? 4 ,解得 b ? 0或b ?

8 5

所以 P (0, 0)或P (

16 8 , ). 5 5
2 2 2

(2)设P(2b,b) ,因为∠MAP=90° ,所以经过A、P、M三点的圆 N 以MP为直径,
2 b ? 4 ? 4b ? ? b ? 4 ? ? 其方程为: ? x ? b ? ? ? y ? ? ? 2 ? 4 ?
2 2 即 (2 x ? y ? 4)b ? x ? y ? 4 y ? 0

?

?

2 2 ?x ? y ? 4 y ? 0 8 ? x? ? ?x ? 0 ? ?8 4? 5 解得 ? 或? ,所以圆过定点 (0, 4), ? , ? . ?5 5? ?y ? 4 ?y ? 4 ? 5 ?

由?

?2 x ? y ? 4 ? 0



[来源:Zxxk.Com]

2 b ? 4 ? 4b ? ? b ? 4 ? ? (3)因为圆 N 方程为 ? x ? b ? ? ? y ? ? ? 2 ? 4 ? 2 2 即 x ? y ? 2bx ? (b ? 4) y ? 4b ? 0 . 2 2

2

圆 M : x 2 ? ? y ? 4 ? ? 4 ,即 x ? y ? 8 y ? 12 ? 0 .
2
2 2

②-①得圆 M 方程与圆 N 相交弦AB所在直线方程为:

2bx ? (b ? 4) y ? 12 ? 4b ? 0
点M到直线AB的距离 d ?

4 5b2 ? 8b ? 16

,

相交弦长即:

AB ? 2 4 ? d 2 ? 4 1 ?

4 4 ? 4 1? 2 5b ? 8b ? 16 4 ? 64 ? 5? b ? ? ? 5? 5 ?
2

4 时,AB 有最小值 11 . 5 ' 19. (1)因为函数 y ? f ( x) 在 区间(1, ??) 时为减函数,所以 f ( x) ? 0 .
当b ?

f ' ( x) ? x ? 2ax2 ? x(1 ? 2ax) ? 0 .
因为 x ? 1 ,所以 1 ? 2ax ? 0 , a ? (2)(i)当 a=e 时, g ( x) ?

1 1 即a ? . 2x 2

1 2 2 3 x ? ex ? 2e x ( x-1) 2 3 ' 2 所以 g ( x) ? x ? 2ex ? 2xe x = x(1 ? 2ex ? 2e x )
'

记 h( x) ? 2e x ? 2ex ? 1 ,则 h' ( x) ? 2(e x ? e) ,当 x ? (1, ??)时,h' ( x) ? 0, h( x)为增函数; 当 x ? (-?,1)时,h ( x) ? 0, h( x)为减函数; 所以 h( x) ? h(1) ? 1 >0. 所以在 (0, ??)上,g ' ( x) ? 0 ,在 (??,0)上,g ' ( x) ? 0 ; 即 g(x)的单调増区间为 (0, ?? ); 单调减区间为 ( ??, 0). (ii)证明:由(i)得 g ' ( x) ? x ? 2ex2 ? 2xe x 欲证 g ' ( x) ? 1 ? ln x , 只需证 x(1 ? 2ex ? 2e ) ? 1 ? ln x
x

即证 1 ? 2ex ? 2e ?
x

ln x ? 1 ? ln x ' ,则 p ( x ) ? x x2 当 x ? (0,1), p' ( x) ? 0 , p( x)为增函数 ,
记 p( x) ? 当 x ? (1, ??), p' ( x) ? 0 , p( x)为减函数 。即 p( x) ? p(1) ? 1 由(i)得 h( x) ? h(1) ? 1 .所以 g ' ( x) ? 1 ? ln x . 20.(1)因为 Sn+n=2an,所以 Sn-1=2an-1-(n-1)(n≥2,n∈N*).两式相减,得 an=2an-1+1. 所以 an+1=2(an-1+1)(n≥2,n∈N*),所以数列{an+1}为等比数列. 因为 Sn+n=2an,令 n=1 得 a1=1. a1+1=2,所以 an+1=2n,所以 an=2n-1. (2)因为 bn=(2n+1)an+2n+1,所以 bn=(2n+1)· 2n. 所以 Tn=3×2+5×22+7×23+…+(2n-1)· 2n 1+(2n+1)· 2n, ①


ln x ? 1 . x

2Tn=3×22+5×23+…+(2n-1)· 2n+(2n+1)· 2n 1,



+1

①-②,得-Tn=3×2+2(22+23+…+2n)-(2n+1)· 2n 22-2n 1 + =6+2× -(2n+1)· 2n 1 1-2


=-2+2n 2-(2n+1)· 2n 1=-2-(2n-1)· 2n 1.
+ + +

所以 Tn=2+(2n-1)· 2 n 1.


若 则

Tn-2 >2 010, 2n-1 2+?2n-1?· 2n 1 + >2 010,即 2n 1>2 010. 2n-1


由于 210=1 024,211=2 048,所以 n+1≥11,即 n≥10. Tn-2 所以满足不等式 >2 010 的 n 的最小值是 10. 2n-1

21.A. AB ? AC ??ABC ? ?ACB

第Ⅱ卷(附加题,共 40 分)

又?ACB ? ?APB ??ABC ? ?APB 又?BAD ? ?PAB ??ABD∽?APB即?ABP ? ?D ?a b ? ? a b ? ?1 ?2 ? ? a ? 3b ?2a ? 5b ? ?1 0 ? B. (1)设 A?1 = ? ,则 ? ? ? ? ?. ? =? ?=? ?c d ? ? c d ? ?3 ?5? ?c ? 3d ?2a ? 5d ? ?0 1 ? ?a ? 3b ? 1 ?a ? ?5 ?b ? 2 ??2a ? 5b ? 0 ? ?5 2 ? ? ? ∴? 解得 ? ∴ A?1 = ? ?, ? 3 1 c ? 3 d ? 0 c ? ? 3 ? ? ? ? ? ? ?d ? 1 ??2c ? 5d ? 1 ? ?5 2? ?3? ? ?13? (2) X ? ? ?? ? ? ? ? . ? ?3 1 ? ?1 ? ? ?8 ?
?? 2 2 ? ? sin ? ? ? cos? ? 2 2 , C.(1)直线 l 的极坐标方程 ? sin ? ? ? ? ? 2 2 ,则 2 2 4? ? 即 ? sin ? ? ? cos? ? 4 ,所以直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? 4 ? 0 ;

x2 y 2 ? ? 1 上一点,设 P( 3 cos? ,3sin ? ) ,其中 ? ?[0 ,2?) , 3 9 | 3 cos ? ? 3sin ? ? 4 | | 2 3 cos(? ? 600 ) ? 4 | ? 则 P 到直线 l 的距离 d ? , 2 2 所以当 cos(? ? 600 ) ? ?1 时, d 的最小值为 2 2 ? 6
(2)P 为椭圆 C : D. 因为|x+5y|=|3(x+y)+2(x-y)|. 由绝对值不等式性质,得 |x+5y|=|3(x+y)+2(x-y)|≤|3(x+y)|+|2(x-y)| 1 1 =3|x+y|+2|x-y|≤3× +2× =1. 6 4 即|x+5y|≤1. 1 C 2 n(n ? 1) ? 22. (1)设袋中原有 n 个白球,由题意,知 ? n , 7 C72 7?6 解之得 n=3 或 n= 2(舍去) ,即袋中原有 3 个白球; (2)由(1)可知,袋中有 3 个白球、4 个黑球。甲四次取球可能的情况是:4 个黑球、3 黑 1 白、2 黑 2 白、1 黑 3 白.相应的分数之和为 4 分、5 分、6 分、7 分;与之对应的乙取球情况: 3 个白球、1 黑 2 白、2 黑 1 白、3 黑,相应分数之和为 6 分、5 分、4 分、3 分;即?可能的取 值是 0,2,4. C 3 ? C1 12 P(? ? 0) ? 4 4 3 ? ; C7 35
P(? ? 2) ?
4 2 1 3 C4 ? C4 ? C32 19 C4 ? C3 4 ? P ( ? ? 4) ? ? ; , 4 4 C7 35 C7 35

所以?的概率分布列为:

?
P

0

2

4

12 35

19 35

4 35

E? ? 0 ?

12 19 4 54 ? 2? ? 4? ? . 35 35 35 35
n

23.⑴令 x ? 1 ,则 a0 ? 3 ,令 x ? 2 ,则
n 2

? ai ? 4n ,所以 ? ai ? 4n ? 3n .
i ?0 i ?1
n

n

n

⑵要比较 S n 与 (n ? 2)3 ? 2n 的大小 ,只要比 较 4 与 (n ? 1)3n + 2n2 的大小. 当 n ? 1 时, 4n ? (n ? 1)3n + 2n2 , 当 n ? 2 或 3 时, 4n ? (n ? 1)3n + 2n2 ,当 n=4 或 5 时, 4n ? (n ?1)3n + 2 n2 猜想:当 n ≥ 4 时, 4n ? (n ? 1)3n + 2n2 .下面用数学归纳法证明: ①由上述过程可知,当 n ? 4 时,结论成立. ②假设当 n ? k (k ≥ 4, k ? N* ) 时结论成立,即 4k ? (k ? 1)3k + 2k 2 ,
k 2 k +1 2 k 2 两边同乘以 4 ,得 4k +1 ? 4 ? ?(k ? 1)3 + 2k ? ? ? k 3 + 2(k + 1) + [(k ? 4)3 + 6k ? 4k ? 2] ,

而 (k ? 4)3k + 6k 2 ? 4k ? 2 ? (k ? 4)3k + 6(k 2 ? k ? 2) + 2k + 10

? (k ? 4)3k + 6(k ? 2)(k + 1) + 2k +10 ? 0 ,
所以 4k +1 ? [(k + 1) ? 1]3k +1 + 2(k + 1)2 , 即 n ? k + 1 时结论也成立. 由①②可知,当 n ≥ 4 时, 4n ? (n ? 1)3n + 2n2 成立. 综上所述,当 n ? 1 时, Sn ? (n ? 2)3n + 2n2 ;当 n ? 2 或 3 时, Sn ? (n ? 2)3n + 2n2 ; 当 n ≥ 4 时, Sn ? (n ? 2)3n + 2n2 .


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