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历年高考数学圆锥曲线试题汇总1选择题


一、选择题
1.(2009 全国卷Ⅰ理)设双曲线 则该双曲线的离心率等于( C ) (A) 3 (B)2 (C) 5
'

x2 y 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线 y=x2 +1 相切, 2 a b

(D) 6

解:设切点 P( x0 , y0 ) ,则切线的斜率为 y

|x? x0 ? 2 x0 .由题意有

y0 ? 2 x0 又 y0 ? x02 ?1 x0

解得: x0 ? 1,?
2

b b ? 2, e ? 1 ? ( )2 ? 5 . a a

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点为 F ,右准线为 l ,点 A ? l ,线段 2.(2009 全国卷Ⅰ理)已知椭圆 C : 2
AF 交 C 于点 B ,若 FA ? 3FB ,则 | AF | =
(A).

2

(B). 2

(C). 3

(D). 3

解:过点 B 作 BM ? l 于 M,并设右准线 l 与 X 轴的交点为 N,易知 FN=1.由题意 FA ? 3FB , 故 | BM |?

2 2 2 2 .又由椭圆的第二定义,得 | BF |? ? ? ? | AF |? 2 .故选 A 3 2 3 3

x2 y 2 3.(2009 浙江理)过双曲线 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右顶点 A 作斜率为 ?1 的直线,该直 a b
B ? B C 线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 B, C . 若A
A. 2 答案:C 【解析】对于 A? a,0? ,则直线方程为 x ? y ? a ? 0 ,直线与两渐近线的交点为 B , C, B. 3 C. 5

1 2

, 则双曲线的离心率是 ( D. 10

)

? a2 ab ? a2 ab B? , , C ( ,? ) ? a ?b a ?b ? a?b a?b ?
BC ? (







2a 2b 2a 2b ab ? ? ab 2 2 , ? ), AB ? ? ? , ? ,因 2 AB ? BC,?4a ? b ,?e ? 5 . 2 2 2 2 a ?b a ?b ? a?b a ?b ?

x2 y 2 4.(2009 浙江●文●)已知椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左焦点为 F ,右顶点为 A ,点 B a b
P ?2 P B , 在椭圆上, 且 BF ? x 轴, 直线 AB 交 y 轴于点 P . 若A 则椭圆的离心率是 (
A. )

3 2

B.

2 2

C.

1 3

D.

1 2

5.D 【命题意图】对于对解析几何中与平面向量结合的考查,既体现了几何与向量的交汇, 也体现了数形结合的巧妙应用. 【解析】对于椭圆,因为 AP ? 2 PB ,则 OA ? 2OF ,? a ? 2c,? e ?

1 2

2 6. (2009 北京理) 点 P 在直线 l : y ? x ? 1 上, 若存在过 P 的直线交抛物线 y ? x 于 A, B 两

点,且

| PA ?| AB | , 则 称 点 P 为 “
( ) A.直线 l 上的所有点都是“ B.直线 l 上仅有有限个点是“ C.直线 l 上的所有点都不是“

点 ”, 那 么 下 列 结 论 中 正 确 的 是

点” 点” 点” 点”

D.直线 l 上有无穷多个点(点不是所有的点)是“

【答案】A 【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解 决问题的能力. 属于创新题型. 本题采作数形结合法易于求解,如图, 设 A ? m, n ? , P ? x, x ?1? , 则 B ? 2m ? x, 2n ? x ? 2? , ∵ A, B在y ? x2上 , ∴?

?

n ? m2 2 ?2n ? x ? 1 ? (2m ? x)
(第 8 题解答图)

消去 n,整理得关于 x 的方程 x ? (4m ?1) x ? 2m ?1 ? 0
2 2

(1)

∵ ? ? (4m ?1) ? 4(2m ? 1) ? 8m ? 8m ? 5 ? 0 恒成立,
2 2 2

∴方程(1)恒有实数解,∴应选 A.

7.(2009 山东卷理)设双曲线 则双曲线的离心率为( A.

x2 y2 ? 2 ? 1 的一条渐近线与抛物线 y=x 2 +1 只有一个公共点, 2 a b

). C.

5 4

B. 5

5 2

D. 5

b ? b x2 y2 ? y? x 【解析】 : 双曲线 2 ? 2 ? 1 的一条渐近线为 y ? x , 由方程组 ? a , 消去 y, 得 a a b 2 ? ? y ? x ?1
x2 ?
所以

b b x ? 1 ? 0 有唯一解,所以△= ( ) 2 ? 4 ? 0 , a a
b c a 2 ? b2 b ? 2 ,e ? ? ? 1 ? ( )2 ? 5 ,故选 D. a a a a

答案:D. 【命题立意】:本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置 关系,只有一个公共点 ,则解方程组有唯一解 .本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技 能. 8.(2009 山东卷●文●)设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y 2 ? ax (a ? 0) 的焦点 F,且和 y 轴交 于点 A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为( A. y ? ? 4 x
2

).

B. y ? ? 8x
2

C. y ? 4 x
2

D. y ? 8x
2

2 【解析】: 抛物线 y ? ax (a ? 0) 的焦点 F 坐标为 ( , 0) ,则直线 l 的方程为 y ? 2( x ? ) ,

a 4

a 4

它与 y 轴的交点为 A (0, ? ) ,所以△OAF 的面积为 方程为 y ? ? 8x ,故选 B.
2

a 2

1 a a | | ? | |? 4 ,解得 a ? ?8 .所以抛物线 2 4 2

答案:B. 【命题立意】:本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角形面 积的计算.考查数形结合的数学思想 ,其中还隐含着分类讨论的思想 ,因参数 a 的符号不定而 引发的抛物线开口方向的不定以及焦点位置的相应变化有两种情况,这里加绝对值号可以做 到合二为一.

9.(2009 全国卷Ⅱ●文●)双曲线 切,则 r= (A) 3 答案:A (B)2

x2 y2 ? ? 1 的渐近线与圆 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 相 6 3

(C)3

(D)6

解析: 本题考查双曲线性质及圆的切线知识, 由圆心到渐近线的距离等于 r, 可求 r= 3 10.(2009 全国卷Ⅱ●文●)已知直线 y ? k ( x ? 2)(k ? 0) 与抛物线 C: y 2 ? 8x 相交 A、B 两点,F 为 C 的焦点。若 FA ? 2 FB ,则 k=

(A)

1 3
答案:D

(B)

2 3

(C)

2 3

(D)

2 2 3

解析:本题考查抛物线的第二定义,由直线方程知直线过定点即抛物线焦点( 2,0) ,由

FA ? 2 FB 及第二定义知 xA ? 2 ? 2( xB ? 2) 联立方程用根与系数关系可求 k=
11.(2009 安徽卷理)下列曲线中离心率为 6 的是 2 (A)

2 2 。 3

x2 y 2 ? ?1 2 4

(B)

x2 y 2 ? ?1 4 2

2 2 (C) x ? y ? 1

4

6

(D) x ? y ? 1
4 10

2

2

[解析]由 e ?

b2 3 b2 1 6 c2 3 得 2 ? ,1 ? 2 ? , 2 ? ,选 B a 2 a 2 a 2 2

12.(2009 安徽卷●文●)下列曲线中离心率为

的是

A. 【解析】依据双曲线 【答案】B

B.

C.

D.

c x2 y 2 c 6 ? 2 ? 1 的离心率 e ? 可判断得. e ? ? .选 B。 2 a a b a 2

13.(2009 安徽卷●文●)直线 过点(-1,2)且与直线垂直,则 的方程是 A. C. B. D.

【解析】可得 l 斜率为 ? ? l : y ? 2 ? ? 【答案】A

3 2

3 ( x ? 1) 即 3x ? 2 y ? 1 ? 0 ,选 A。 2

x2 y 2 14. ( 2009 江西卷●文●)设 F 1 和 F2 为双曲线 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0, b ? 0 ) 的两个焦点 , 若 a b

F1,F2 , P(0, 2b) 是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为
A.

3 2

B. 2

C.

5 2

D.3

答案:B 【解析】由 tan

?
6

?

c c 3 有 3c2 ? 4b2 ? 4(c2 ? a2 ) ,则 e ? ? 2 ,故选 B. ? a 2b 3

15.(2009 江西卷理)过椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 a 2 b2

P , F2 为右焦点,若 ?F1PF2 ? 60 ,则椭圆的离心率为
A. 答案:B 【解析】因为 P(?c, ?

2 2

B.

3 3

C.

1 2

D.

1 3

b2 3b 2 c 3 ) ,再由 ?F1PF2 ? 60 有 ? 2a, 从而可得 e ? ? ,故选 B a a a 3 x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的虚轴长为 2,焦距为 2 3 , a2 b2

16.(2009 天津卷●文●)设双曲线 则双曲线的渐近线方程为( ) A y ? ? 2x 【答案】C B y ? ?2 x

C y??

2 x 2

Dy??

1 x 2

【解析】由已知得到 b ? 1, c ? 3, a ?

c 2 ? b 2 ? 2 ,因为双曲线的焦点在 x 轴上,故

渐近线方程为 y ? ?

b 2 x?? x a 2

【考点定位】本试题主要考查了双曲线的几何性质和运用。考察了同学们的运算能力和推 理能力。 17.(2009 湖北卷理 ) 已知双曲线

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 的准线过椭圆 ? 2 ? 1 的焦点,则直线 2 2 4 b

y ? kx ? 2 与椭圆至多有一个交点的充要条件是
A. K ? ? ? , ? 2 2 C. K ? ? ?

? 1 1? ? ?
2 2? , ? 2 2 ?

B. K ? ? ??, ? ? 2 D. K ? ? ??, ?

? ?

1? ?
2? ? 2 ?

?1 ? , ?? ? ? ?2 ?
? 2 ? , ?? ? ? ? ? 2 ?

? ?

? ? ?

【答案】A 【解析】易得准线方程是 x ? ?

a2 2 ? ? ? ?1 b 2 x2 y 2 ? ?1 4 3

所以 c 2 ? a 2 ? b2 ? 4 ? b2 ? 1 即 b 2 ? 3 所以方程是

联立 y ? kx ? 2 可得 3x2 +(4k 2 +16k)x ? 4 ? 0 由 ? ? 0 可解得 A

18.(2009 四川卷●文●)已知双曲线 其一条渐近线方程为 y ? x ,点

x2 y2 ? ? 1(b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 、 F2 , 2 b2

P( 3, y0 ) 在双曲线上.则 PF 1 · PF 2 =
A. -12 【答案】C B. -2 C. 0 D. 4

2 2 【解析】由渐近线方程为 y ? x 知双曲线是等轴双曲线,∴双曲线方程是 x ? y ? 2 ,于

是两焦点坐标分别是(-2,0)和(2,0) ,且 P( 3,1) 或 P( 3,?1) .不妨去 P( 3,1) ,则

PF1 ? (?2 ? 3,?1) , PF2 ? (2 ? 3,?1)
. ∴

PF 1

·

PF2



(?2 ? 3,?1)(2 ? 3,?1) ? ?(2 ? 3)(2 ? 3) ? 1 ? 0
19.(2009 全国卷Ⅱ理)已知直线 y ? k ? x ? 2?? k ? 0? 与抛物线 C : y ? 8 x 相交于 A、B 两
2

点, F 为 C 的焦点,若 | FA |? 2 | FB | ,则 k ?

A.

1 3

B.

2 3

C.

2 3

D.

2 2 3

解: 设抛物线 C : y 2 ? 8 x 的准线为 l : x ? ?2 直线 y ? k ? x ? 2?? k ? 0? 恒过定点 P ? ?2,0 ? . 如 图 过 A、B 分 别 作 A M ? l于 M , BN ? l 于 N , 由 | FA |? 2 | FB | , 则

| AM |? 2 | BN | ,点 B 为 AP 的中点.连结 OB ,则 | OB |?
横 坐 标 为 1 , 故 点 B 的 坐 标 为

1 | AF | , ? | OB |?| BF | 点 B 的 2

(1, 2 2) ? k ?

2 2 ?0 2 2 , 故选 D ? 1 ? (?2) 3

20.(2009 全国卷Ⅱ理)已知双曲线 C: 2 ?

x2 a

y2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的右焦点为 F ,过 F 且斜率 b2
w.w.w. k. s.5.u.c.o.

为 3 的直线交 C 于 A、B 两点,若 AF ? 4 FB ,则 C 的离心率为
m

A.

6 5

B.

7 5

C.

5 8

D.

9 5

解: 设双曲线 C: 2 ?

x2 a

y2 ? 1 的右准线为 l ,过 A、B 分 别 b2

作 AM ? l 于 M , BN ? l 于 N , BD ? AM 于D , 由 直 线 AB 的 斜 率 为

3 , 知 直 线 AB 的 倾 斜 角 为
1 | AB | , 2
第 二 定 义 有

60???BAD ? 60?,| AD |?
由 双 曲 线 的

1 | AM | ? | BN |?| AD |? (| AF | ? | FB |) e

?

1 1 | AB |? (| AF | ? | FB |) . 2 2 1 5 6 又 AF ? 4 FB ? ? 3 | FB |? | FB |? e ? e 2 5

故选 A

21.(2009 湖南卷●文●)抛物线 y 2 ? ?8x 的焦点坐标是【 B 】 A. (2,0)
2

B. (- 2,0)

C. (4,0)

D. (- 4,0)

解:由 y ? ?8x ,易知焦点坐标是 ( ?

p , 0) ? (?2, 0) ,故选 B. 2

22.(2009 辽宁卷●文●)已知圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切,圆心在直线 x +y=0 上,则圆 C 的方程为 (A) ( x ? 1)2 ? ( y ?1)2 ? 2 (C) (B) ( x ?1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 (D) ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2

( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 2

【解析】圆心在 x+y=0 上,排除 C、D,再结合图象,或者验证 A、B 中圆心到两直线的距离 等于半径 2即可. 【答案】B 23.(2009 宁夏海南卷理)双曲线

x2 y 2 =1 的焦点到渐近线的距离为 4 12
(C) 3 (D)1

(A) 2 3

(B)2

解析:双曲线

x2 y 2 =1 的焦点(4,0)到渐近线 y ? 3x 的距离为 d ? 4 12

3?4?0 2

? 2 3 ,选

A 24.(2009 宁夏海南卷理)设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点为 F(1,0),直线 l 与抛 物线 C 相交于 A,B 两点。若 AB 的中点为(2,2) ,则直线 ? 的方程为_____________. 解 析 : 抛 物 线 的 方 程 为

y2 ? 4x



2 ? ? y1 ? 4 x1 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 则有x1 ? x2, ? 2 ? ? y2 ? 4 x2 y ? y2 4 2 两式相减得,y12 ? y2 ? 4 ? x1 ? x2 ?, ? 1 ? ?1 x1 ? x2 y1 ? y2

? 直线l的方程为y-2=x-2,即y=x

答案:y=x 25.(2009 陕西卷●文●)过原点且倾斜角为 60 ? 的直线被圆 x2 ? y 2 ? 4 y ? 0 所截得的弦


长为

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(A) 3 答案:D.

(B)2 (C) 6 (D)2 3

解 析 : 直线方程y= 3x,圆的标准方程x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 , 圆 心 ( 0 , 2 到 ) 直线的距离

d?

3?0 ? 2 ( 3) ? (?1)
2 2

? 1 ,由垂径定理知所求弦长为 d * ? 2 22 ?12 ? 2 3

故选 D.

26.(2009 陕西卷●文●) “ m ? n ? 0 ”是“方程 mx2 ? ny 2 ? 1 ”表示焦点在 y 轴上的椭圆” 的 (A)充分而不必要条件 (C)充要条件 答案:C. 解析:将方程 mx2 ? ny 2 ? 1 转化为

(B)必要而不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件

x2 y 2 ? ? 1 , 根据椭圆的定义,要使焦点在 y 轴上必须 1 1 m n

满足

1 1 1 1 ? 0, ? 0, 所以 ? ,故选 C. n m m n

27.(2009 四川卷●文●)已知双曲线 其一条渐近线方程为 y ? x ,点

x2 y2 ? ? 1(b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 、 F2 , 2 b2

P( 3, y0 ) 在双曲线上.则 PF 1 · PF 2 =
A. -12 【答案】C B. -2 C. 0 D. 4

2 2 【解析】由渐近线方程为 y ? x 知双曲线是等轴双曲线,∴双曲线方程是 x ? y ? 2 ,于

是两焦点坐标分别是(-2,0)和(2,0) ,且 P( 3,1) 或 P( 3,?1) .不妨去 P( 3,1) ,则

PF1 ? (?2 ? 3,?1) , PF2 ? (2 ? 3,?1)
. ∴

PF 1

·

PF2



(?2 ? 3,?1)(2 ? 3,?1) ? ?(2 ? 3)(2 ? 3) ? 1 ? 0

28. ( 2009 全 国 卷 Ⅰ ● 文 ● ) 设 双 曲 线

x2 y 2 - =1? a>0,b>0 ? 的 渐 近 线 与 抛 物 线 a 2 b2

y=x2+1相切,则该双曲线的离心率等于
(A) 3 (B)2 (C) 5 (D) 6

【解析】本小题考查双曲线的渐近线方程、直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率, 基础题。 解:由题双曲线

bx x2 y 2 - 2 =1? a>0,b>0 ? 的一条渐近线方程为 y ? ,代入抛物线方程 2 a a b
2 2

整 理 得 ax ? bx ? a ? 0 , 因 渐 近 线 与 抛 物 线 相 切 , 所 以 b ? 4a ? 0 , 即
2

c 2 ? 5a 2 ? e ? 5 ,故选择 C。
29.(2009 全国卷Ⅰ●文●)已知椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点为 F,右准线 l ,点 A ? l ,线 2

段 AF 交 C 于点 B。若 FA ? 3FB ,则 AF = (A)

2

(B) 2

(C)

3

(D) 3

【解析】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义,基础题。 解:过点 B 作 BM ? l 于 M,并设右准线 l 与 X 轴的交点为 N,易知 FN=1.由题意 FA ? 3FB , 故 | BM |?

2 2 2 2 ? ? .又由椭圆的第二定义,得 | BF |? ? | AF |? 2 .故选 A 3 2 3 3
x2 y2 x2 y2 ? ? 1的准线经过椭圆 ? 2 ? 1(b>0)的焦点, 2 2 4 b

30.(2009 湖北卷●文●)已知双曲线 则 b= A.3 【答案】C B. 5

C. 3

D. 2

a2 ? ? 1 , 又因为椭圆焦点为 (? 4 ? b2 ,0) 所以有 【解析】可得双曲线的准线为 x ? ? c

4 ? b2 ? 1 .即 b2=3 故 b= 3 .故 C.
31.(2009 天津卷理)设抛物线 y =2x 的焦点为 F,过点 M( 3 ,0)的直线与抛物线相交
2

于 A,B 两点,与抛物线的准线相交于 C, BF =2,则 ? BCF 与 ? ACF 的面积之比

S?BCF = S?ACF

(A)

4 5

(B)

2 3

(C)

4 7

(D)

1 2

【考点定位】 本小题考查抛物线的性质、 三点共线的坐标关系, 和综合运算数学的能力, 中档题。 6

C

4

2

F: (0.51 , 0.00 )

A F

-5

5

10

x=-0.5
-2

B

-4

S BC 解析:由题知 ?BCF ? ? S ?ACF AC
-6

1 2 ? 2xB ? 1 , 1 2xA ? 1 xA ? 2 xB ?

又 | BF |? x B ?

1 3 ? 2 ? xB ? ? yB ? ? 3 2 2

由 A、B、M 三点共线有

0 ? 2xA yM ? yA y ? yB 0? 3 ? 即 ,故 x A ? 2 , ? M 3 xM ? x A xM ? xB 3 ? xA 3? 2



S ?BCF 2 x B ? 1 3 ? 1 4 ? ? ? ,故选择 A。 S ?ACF 2 x A ? 1 4 ? 1 5
x2 y 2 ? ? 1(b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,其一条渐近 2 b2

32.(2009 四川卷理)已知双曲线

线方程为 y ? x ,点 P( 3, y0 ) 在该双曲线上,则 PF 1 ? PF 2 = A. ?12 B. ?2 C .0 D. 4

【考点定位】本小题考查双曲线的渐近线方程、双曲线的定义,基础题。 (同●文●8) 解析:由题知 b ? 2 ,故 y0 ? ? 3 ? 2 ? ?1, F1 (?2,0), F2 (2,0) ,
2

∴ PF1 ? PF2 ? (?2 ? 3 ,?1) ? (2 ? 3 ,?1) ? 3 ? 4 ? 1 ? 0 ,故选择 C。 解析 2:根据双曲线渐近线方程可求出双曲线方程

x2 y 2 ? ? 1 ,则左、右焦点坐标分别为 2 2

F1 (?2,0), F2 (2,0) ,再将点 P( 3, y0 ) 代入方程可求出 P( 3, ?1) ,则可得 PF1 ? PF2 ? 0 ,
故选 C。 33.(2009 四川卷理)已知直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 和直线 l2 : x ? ?1 ,抛物线 y 2 ? 4 x 上一 动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是 A.2 B.3 C.

11 5

D.

37 16

【考点定位】本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离,综合题。 解析:直线 l2 : x ? ?1 为抛物线 y ? 4 x 的准线,由抛物线的定义知,P 到 l 2 的距离等于 P
2

到抛物线的焦点 F (1,0) 的距离,故本题化为在抛物线 y 2 ? 4 x 上找一个点 P 使得 P 到点

F (1,0) 和直线 l2 的距离之和最小,最小值为 F (1,0) 到直线 l1 : 4x ? 3 y ? 6 ? 0 的距离,即

d min ?

|4?0?6| ? 2 ,故选择 A。 5

解析 2:如下图,由题意可知 d ?

| 3 ?1 ? 0 ? 6 | 32 ? 42

?2

34.(2009 宁夏海南卷●文●)已知圆 C1 : ( x ? 1) + ( y ? 1) =1,圆 C2 与圆 C1 关于直线
2 2

x ? y ? 1 ? 0 对称,则圆 C2 的方程为
(A) ( x ? 2) + ( y ? 2) =1
2 2

(B) ( x ? 2) + ( y ? 2) =1
2 2

(C) ( x ? 2) + ( y ? 2) =1
2 2

(D) ( x ? 2) + ( y ? 2) =1
2 2

【答案】B

? a ?1 b ?1 ? ?1 ? 0 ? ?a ? 2 ? 2 2 【解析】设圆 C2 的圆心为(a,b) ,则依题意,有 ? ,解得: ? , ?b ? ?2 ? b ? 1 ? ?1 ? ? a ?1

对称圆的半径不变,为 1,故选 B。. 35.(2009 福建卷●文●)若双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? o ? 的离心率为 2,则 a 等于 a 2 32

A. 2 C.

B. D. 1

3

3 2

解析解析 由

x2 y 2 c a2 ? 3 解得 a=1 或 a=3, ? ? 1 可知虚轴 b= 3 ,而离心率 e= ? ? 2, a2 3 a a

参照选项知而应选 D. 36.(2009 重庆卷理)直线 y ? x ? 1 与圆 x 2 ? y 2 ? 1的位置关系为( A.相切 【答案】B B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心 ) D.相离

【解析】圆心 (0, 0)为到直线 y ? x ? 1 ,即 x ? y ? 1 ? 0 的距离 d ?

1 2 ,而 ? 2 2

0?

2 ? 1 ,选 B。 2
? ?m 1 ? x 2 , x ? (?1,1] , 其中 m ? 0 。 1 ? x ? 2 , x ? (1,3] ? ?


37. (2009 重庆卷理) 已知以 T ? 4 为周期的函数 f ( x) ? ?

若方程 3 f ( x) ? x 恰有 5 个实数解,则 m 的取值范围为(

A. (

15 8 , ) 3 3

B. (

15 , 7) 3

C. ( , )

4 8 3 3

D. ( , 7)

4 3

【答案】B 【解析】因为当 x ? (?1,1] 时,将函数化为方程 x ?
2

y2 ? 1( y ? 0) ,实质上为一个半 m2

椭圆,其图像如图所示,同时在坐标系中作出当 x ? (1,3] 得图像,再根据周期性作出函数其 它部分的图像,由图易知直线 y ?
2

x 与第二个 3

y2 椭圆 ( x ? 4) ? 2 ? 1( y ? 0) 相交,而与第三 m
个 半 椭 圆 (x ? 4 ) ?
2

y2 ? 1( y ? 0无 ) 公共点 m2

时,方程恰有 5 个实数解,将 y ?

x y2 2 代入 ( x ? 4) ? 2 ? 1( y ? 0) 得 3 m

(9m2 ? 1) x2 ? 72m2 x ? 135m2 ? 0, 令 t ? 9m2 (t ? 0)则(t ? 1) x2 ? 8tx ? 15t ? 0
由 ? ? (8t ) ? 4 ?15t (t ? 1) ? 0, 得t ? 15,由9m ? 15, 且m ? 0得m ?
2 2

15 3

x y2 2 同样由 y ? 与第二个椭圆 ( x ? 8) ? 2 ? 1( y ? 0) 由 ? ? 0 可计算得 m ? 7 3 m
综上知 m ? (

15 , 7) 3
) B. x2 ? ( y ? 2)2 ? 1 D. x2 ? ( y ? 3)2 ? 1

38.(2009 重庆卷●文●)圆心在 y 轴上,半径为 1,且过点(1,2)的圆的方程为( A. x2 ? ( y ? 2)2 ? 1 C. ( x ?1)2 ? ( y ? 3)2 ? 1 【答案】A

2 解法 1 (直接法) : 设圆心坐标为 (0, b) , 则由题意知 (o ? 1) ? (b ? 2) ? 1 , 解得 b ? 2 ,

故圆的方程为 x2 ? ( y ? 2)2 ? 1。 解法 2(数形结合法) :由作图根据点 (1, 2) 到圆心的距离为 1 易知圆心为(0,2) ,故 圆的方程为 x ? ( y ? 2) ? 1
2 2

解法 3(验证法) :将点(1,2)代入四个选择支,排除 B,D,又由于圆心在 y 轴上, 排除 C。 39.(2009 年上海卷理)过圆 C: ( x ?1) ? ( y ?1) ? 1 的圆心,作直线分别交 x、y 正半轴于
2 2

点 A、B, ?AOB 被圆分成四部分(如图) ,若这四部分图形面积满足 S? ? S? ? S? ? S||| , 则 直线 AB 有( (A) 0 条 ) (B) 1 条 (C) 2 条 (D) 3 条

【答案】B

【解析】由已知,得: SIV ? SII ? SIII ? SI , ,第 II,IV 部分的面积是定值,所以, SIV ? SII 为定值,即 SIII ? SI , 为定值,当直线 AB 绕着圆心 C 移动时,只可能有一个位置符合题意, 即直线 AB 只有一条,故选 B。



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