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2015-2016学年高中数学 2.2.2事件的相互独立性学案 新人教A版选修2-3


2015-2016 学年高中数学 2.2.2 事件的相互独立性学案 新人教 A 版 选修 2-3

基 础 梳 理 1.事件 A 是否发生,对事件 B 发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事 件.

2.如果 A 与 B 是相互独立事件,则 A 与 B 是相互独立事件;A 与 B 是相互独立事件,A 与 B 是相互独立事件. 3

.两个相互独立事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积,即 P(AB) = P(A)P(B).

推广:一般地,如果事件 a1,a2,?,an 相互独立,那么这 n 个事件同时 发生的概率, 等于每个事件发生的概率的积,即 P(a1·a2·?·an)=P(a1 )·P(a2)·?·P(an). ?想一想:如果 A,B,C 是三个相互独立的事件,那么 1-P(A)P(B)P(C)表示三个相互 独立的事件 A,B,C 中至少有一个不发生的概率. 4.互斥事件与独立事件 . 互斥事件 概 念 符 号 计算公式 不可能同时发生的两个事件叫做互 斥事件 互斥事件 A,B 中有一个发生,记作 A∪B 相互独立事件 如果事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发生的概率没有影响,这样 的两个事件叫做相互独立事件 相互独立事件 A, B 同 时发生记作 AB

联 系

P(A∪B)=P(A)+P(B) 两事件 A,B 相互独立是指事件 A 出 现的概率与事件 B 是否出现没有关 系,并不是说 A,B 间没有关系.相 反,若 A,B 独立,则常有 A∩B≠?, 即 A 与 B 不互斥.A,B 互斥是指 A

P(AB)=P(A)P (B)

1

的出现必导致 B 的不出现, 并没有说 A 出现的概率与 B 是否出现有关系 ?想一想:有甲、乙两批种子,发芽率分别是 0.8 和 0.7,在两批种子中各取一粒,A ={由甲批中取出一个能发芽的种子},B={由乙批中抽出一个能发芽的种子},问: (1)A,B 两事件是否互斥?是否互相独立? (2)两粒种子都能发芽的概率? 解析:(1)A,B 两事件不互斥,是互相独立事件. (2)∵AB=两粒种子都能发芽, ∴P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.7=0.56.

自 测 自 评 1.下列事件,A,B 是独立事件的是(A) A.一枚硬币掷两次,A=“第一次为正面”,B=“第二次为反面” B.袋中有 2 白,2 黑的小球,不放回地摸两个球,A=“第一次摸到白球”,B=“第 二次摸到白球” C.掷一颗骰子,A=“出现点数为奇数”,B=“出现点数为偶数” D.A=“人能活到 20 岁”,B=“人能活到 50 岁” 2.打靶时,甲每打 10 次可中靶 8 次,乙每打 10 次可中靶 7 次,若两人同时射击,则 他们同时中靶的概率是(A) A. 14 25 12 B. 25 3 C. 4 3 D. 5

8 4 7 14 解析:P 甲= = ,P 乙= ,所以 P=P 甲·P 乙= . 10 5 10 25 3.甲、乙两人独立地解同一问题,甲解决这个问题的概率是 p1,乙解决这个问题的概 率是 p2,那么其中至少有一人 解决这个问题的概率是(D) A.p1+p2 B.p1·p2 C.1-p1p2 D.1-(1-p1)(1-p2) 解析: 至少有 1 人能解决这个问题的对立事件是两人都不能解决, 两人解决问题是相互 独立的,故所求概率为 1-(1-p1)(1-p2).

不能区分互斥事件与相互独立事件致误 【典例】 若 A 与 B 为相互独立事件, 且 P(A)=0.3, P(A+B)=0.6, 则 P(B)=________. 解析: 根据相互独立事件的定义, 由“A 与 B 为独立事件”可知“A 与 B 也为独立事件”, 故有 P(A·B)=P(A)·P(B),又由图知 P(A·B)+P(A+B)=1 成立,所以有 P(A+B)=1- P(A·B)=1-P(A)P(B)=1-[1-P(A)][1-P(B)],即 0.6=1-0.7[1-P(B)],解得 P(B) 3 = . 7

2

【易错剖析】由“A 与 B 为相互独立事件”得不出“A 与 B 互斥”,忽视这一点,则会 有如下错解:由 P(A+B)=P(A)+P(B),得 P(B)=P(A+B)-P(A)=0.6-0.3=0.3.

基 础 巩 固 3 1.若事件 A,B 相互独立,且 P (A)=P(B)= ,则 P(AB)=(C) 5 A. 3 4 B. 25 25 C. 9 3 D. 25 5

3 3 9 解析:因为事件 A,B 相互独立,故 P(AB)= × = .故选 C. 5 5 25 2.如图所示,在两个圆盘中,指针落在本圆盘每个数 所在区域的机会均等,那么两个 指针同时落在奇数所在区域的概率是(A)

A.

4 9

2 B. 9

2 C. 3

1 D. 3

2 解 析:设 A 表示“第一个圆盘的指针落在奇数所在的区域”,则 P(A)= ,B 表示“第 3 2 二个圆盘的指针落在奇数据在的区域”,则 P(B)= . 3 2 2 4 故 P(AB)=P(A)·P(B)= × = . 3 3 9 1 1 1 3.三个人独立地破译一个密码,他们能单独译出的概率分别是 , , ,假设他们破译 5 3 4 密码是彼此独立的,则此密码被译出的概率为(A) A. 3 5 2 B. 5 1 C. 60 59 D. 60

1 1 1 解析:设 P(A)= ,P(B)= ,P(C)= , 5 3 4 4 2 3 则 P(A)= ,P(B)= ,P(C)= , 5 3 4

3

所以此密码被译出的概率为 P=1-P(A)P(B)P(C) 4 2 3 3 =1- × × = . 5 3 4 5 4. 已知 P(A)=0.3, P(B)=0.5,当事件 A、B 相互独立时,P(A∪B)=________,P(A|B) =________. 解析:∵A、B 相互独立,∴P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A)·P(B)=0.3+0.5-0.3× 0.5 =0.65.P(A|B)=P(A)=0.3. 答案:0.65 0.3 能 力 提 升 2 3 5.两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为 和 ,两个零件是否加 3 4 工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为(B) A. 1 2 5 B. 12 1 C. 4 1 D. 6

2 1 1 3 5 2 3 1 1 5 解析:所求概率为 × + × = 或 P=1- × - × = . 3 4 3 4 12 3 4 3 4 12 6.在某道路 A,B,C 三处设有交通灯,这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为 25 秒、35 秒、45 秒,某辆车在这段道路上 匀速行驶,则三处都不停车的概率为(C) A. C. 21 192 35 192 25 B. 192 35 D. 576

5 7 3 解析:由题意知每个交通灯开放绿灯的概率分别为 , , .在这段道路上三处都不停 12 12 4 5 7 3 35 车的概率为 P= × × = . 12 12 4 192 1 1 1 7.加工某一零件需经过三道工序,设第一、二、三道工序的次品率分别为 、 、 , 70 69 68 且各道工序互不影响,则加工出来的零件的次品率为________. 解析:设加工出来的零件为次品为事件 A,则 A 为加工出来的零件为正品.

P(A)=1-P(A)=1-?1- ??1- ??1- ?= 70 69 68

? ?

1 ??

??

1 ??

??

1?

?

3 . 70 答案: 3 70

8. 一个病人服用某种新药后被治愈的概率为 0.9, 则服用这种新药的 4 个病人中至少 3 人被治愈的概率为______(用数字作答). 3 3 解析:分情况讨论:若共有 3 人被治愈,则 P1=C40.9 ×(1-0.9)=0.291 6;若共有 4 4 人被治愈,则 P2=0.9 =0.656 1.故至少有 3 人被治愈的概率为 P=P1+P2=0.947 7. 1 9.已知电路中有 4 个开关,每个开关独立工作,且闭合的概率为 ,求灯亮的概率. 2

4

解析:因为 A,B 断开且 C,D 至少有一个断开时,线路才断开,导致灯不亮,所以灯 不亮的概率为 P=P(AB)[1-P(CD)] =P(A)P(B)[1-P(CD)] 1 1 ? 1 1? 3 = × ×?1- × ?= . 2 2 ? 2 2? 16 3 13 所以灯亮的概率为 1- = . 16 16 4 3 10.某班甲、乙、丙三名同学竞选班委,甲当选的概率为 ,乙当选的概率为 ,丙当选 5 5 7 的概率为 . 10 (1)求恰有一名同学当选的概率; (2)求至多有两人当选的概率. 解析: 设甲、乙、丙当选的事件分别为 A,B,C, 4 3 7 则有 P(A)= ,P(B)= ,P(C)= . 5 5 10 (1)∵A,B,C 相互独立, ∴ 恰有一名同学当选的概率为 P(A·B·C)+P(A·B·C)+P(A·B·C) =P(A)·P(B)·P(C)+P(A)·P(B)·P(C)+P(A)·P(B)·P(C) 4 2 3 1 3 3 1 2 7 47 = × × + × × + × × = . 5 5 10 5 5 10 5 5 10 250 (2)至多有两人当选的概率为 1-P(A·B·C) =1-P(A)·P(B)·P(C) 4 3 7 =1- × × 5 5 10 = 83 . 125

5


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