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福建省福州市八中2015-2016学年高二上学期期末考试数学(文)试卷


福州八中 2015—2016 学年第一学期期末考试

高二数学(文)
考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分
2016.1.26

第Ⅰ卷(100 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的. 1.设命题 p:?x∈R,x2+1>0,则

为 2 A.?x0∈R,x0+1>0 B.?x0∈R,x2 0+1≤0 2 2 C.?x0∈R,x0+1<0 D.?x∈R,x +1≤0 2.已知条件 p:x>0,条件 q:x≥1,则 p 是 q 成立的 A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.焦点在 x 轴上的椭圆 A.4 B. 的离心率是 ,则实数 m 的值是 C.1 D.

4.不可能以直线 y ? A. y ? ?

3 x ? b 作为切线的曲线是 2
C. y ? ln x D. y ? e x

1 x

B. y ? sin x

5.若直线 L 过抛物线 y2=4x 的焦点,与抛物线交于 A、B 两点,且线段 AB 中点 的横坐标为 2,则弦 AB 的长为

???? ? ????? 6.已知 F1 、 F2 是椭圆的两个焦点,满足 MF1 ? MF2 ? 0 的点 M 总在椭圆内部,则
椭圆离心率的取值范围是

A.2

B.4

C.6

D.8

2 2 D. [ ) ,1) 2 2 7 . 设函数 f ( x) 的定义域为 R, x0 ( x0 ? 0) 是 f ( x) 的极大值点,以下结论一定正确的
A. (0,1) B. (0, ]

1 2

C. (0,

是 A. ?x ? R, f ( x) ? f ( x0 ) C. ? x0 是 ? f ( x) 的极小值点 B. ? x0 是 f (? x) 的极小值点 D. ? x0 是 ? f (? x) 的极小值点

8.设函数 y=f(x)可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数 y= f ′(x)可能为

9.用边长为 120 cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱,先在四周分别截去一个小正方 形,然后把四边翻转 90° 角,再焊接成水箱,则水箱的最大容积为 3 A.120 000 cm B.128 000 cm3 C.150 000 cm3 D.158 000 cm3 10.对于 R 上的可导的任意函数 f ? x ? ,若满足 (2 ? x) f ? ? x ? ? 0 ,则必有 A. f ?1? ? f ? 3? ? 2 f ? 2 ? C. f ?1? ? f ? 3? ? 2 f ? 2 ? B. f ?1? ? f ? 3? ? 2 f ? 2 ? D. f ?1? ? f ? 3? ? 2 f ? 2 ?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 11.已知椭圆 上的点 P 到一个焦点的距离为 3,则 P 到另一个焦点的距

离为_______. 12. 若曲线 y=xln x 上点 P 处的切线平行于直线 2x-y+1=0,则点 P 的坐标是 ______________. y2 ?1 13. 在平面直角坐标系 xOy 中, 点 F 为抛物线 x2=8y 的焦点, 则 F 到双曲线 x 2 ? 9 的渐近线的距离为 .

14.由命题“ ? x∈R,x2+2x+m≤0”是假命题,求得实数 m 的取值范围是(a,+∞), 则实数 a = . 三、解答题:本大题共 3 小题,共 38 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。 15. (本小题满分 10 分) 已知命题 p:方程

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆;命题 q:方程 m?2 4?m

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线;若 p∨q 为真,p∧q 为假,求实数 m 的取值范围. 3? m m
16. (本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? ax 3 ? bx 2 ? cx 在区间[0,1]上是增函数,在区间 (??,0), (1,??) 上是减函 数,又 f ?( ) ?

3 . 2 (Ⅰ)求 f ( x) 的解析式;

1 2

(Ⅱ)若在区间 [0, m] (m>0)上恒有 f ( x) ≤x 成立,求 m 的取值范围 17. (本小题满分 12 分)

x2 y 2 6 , ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 2 a b 3 2 3 过椭圆右焦点且垂直于 x 轴的直线交椭圆所得的弦的弦长为 ,过点 A 的直线与椭 3 圆 W 交于另一点 C ,
如图, 在平面直角坐标系 xoy 中, 椭圆 W : (Ⅰ)求椭圆 W 的标准方程 (Ⅱ) 当 AC 的斜率为
y

? 时, 求线段 AC 的长; 3

B x

(Ⅲ)设 D 是 AC 的中点,且以 AB 为直径的 圆恰过点 D .求直线 AC 的斜率.

O A

C D

第Ⅱ卷(50 分) 一、 选择题: 本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 18.在极坐标系中,过点 (2, ? ) 且平行于极轴的直线的方程是 A. ? cos ? ? 3 B. ? cos ? ? ? 3 C. ? sin ? ? 1 D. ? sin ? ? ?1

π 6

19. 如图所示,汽车前灯反光镜与轴截面的交线是抛物线的 一部分,灯口所在的圆面与反光镜的轴垂直,灯泡位于抛物线的 焦点处.已知灯口的直径是 24cm,灯深 10cm,那么灯泡与反光镜 的顶点(即截得抛物线的顶点)距离为 A.10cm C.3.6cm 20. 已知双曲线 圆心,半径为 B.7.2cm D.2.4cm
10cm 24cm

y 2 x2 x2 y 2 ? ? 1( a ? 0) ? ? 1 的左焦点为 的两条渐近线与以椭圆 a2 9 25 9

16 的圆相切,则双曲线的离心率为 5 5 5 4 A. B. C. 4 3 3

D.

6 5

21.已知函数 f(x)=ex﹣mx+1 的图象为曲线 C,若曲线 C 存在与直线 y=ex 垂直 的切线,则实数 m 的取值范围是 A. ? ??, ?

? ?

1? e?

B. ( ,+∞)

C. ? , e ?

?1 ?e

? ?

D. ?e , ?? ?

二、填空题:本大题共 2 小题,每小题 4 分,共 8 分. 22 .已知点 ,抛物线 y2=2x 的焦点为 F ,点 P 在抛物线上,且

|AP|=

|PF|,则|OP|=



?x ? t (t 为参数) ,以原点 O 为 ?y ? 4 ? t ? 极点,以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标为 ? ? 4 2 sin(? ? ) , 4
23.在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? 则直线 l 和曲线 C 的公共点有 个. 三、解答题:本大题共 3 小题,共 32 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。 24. (本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1 的方程为 x 2 ? y 2 ? 1 ,以平面直角坐标系

xOy 的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,且取相同的单位长度建立极坐标系,已
知直线 l 的极坐标方程为 ? (2 cos ? ? sin ? ) ? 6 。 (1)将曲线 C1 上的所有点的横坐标伸长为原来的 3 倍,纵坐标伸长为原来的 2 倍后得到曲线 C2 ,试写出直线 l 的直角坐标方程和曲线 C2 的参数方程; (2)设 P 为曲线 C2 上任意一点,求点 P 到直线 l 的最大距离. 25. (本小题满分 12 分) m 设函数 f(x)=ln x+ ,m∈R. x (1)当 m=e(e 为自然对数的底数)时,求 f(x)的极小值; x (2)当 m 为何值时,g(x)=f ′(x)-3有且只有一个零点; f(b)-f(a) (3)若对任意 b>a>0, <1 恒成立,求 m 的取值范围. b-a

福州八中 2015—2016 学年第一学期期末考试
高二数学(文) 试卷参考答案及评分标准
I 卷参考答案 1--10 11. 7 BBABC CDDBD 12. (e,e) 13.
10 5

14. 1

解答:由题意知:命题 p 与命题 q 一真一假,----------------1 分 15. p 为真命题: 4 ? m ? m ? 2 ? 0 ,解得 2<m<3,---------------3 分 q 为真命题: (3 ? m)m ? 0 ,解得 m ? 0 或 m ? 3 ,-------------5 分 若 p 真 q 假,则 2<m<3,-------------------------7 分 若 p 假 q 真: m ? 0 或 m ? 3 ,-----------------------9 分 综上: m ? 0 或 2<m<3 或 m ? 3 .---------------10 分 16.解: (Ⅰ) f ?( x) ? 3ax 2 ? 2bx ? c ,-----------1 分 由已知 f ?(0) ? f ?(1) ? 0 ,即 ?

?c ? 0, ?3a ? 2b ? c ? 0,

?c ? 0, ? 解得 ? 3 -------------------3 分 b ? ? a. ? ? 2 ? 1 ? 3a 3a 3 ? f ?( x) ? 3ax 2 ? 3ax ,? f ? ? ? ? ? ? , 2 2 ?2? 4 ? a ? ?2 ,----------5 分 ? f ( x) ? ?2 x 3 ? 3 x 2 .------------6 分 (Ⅱ)令 f ( x) ≤ x ,即 ?2 x 3 ? 3 x 2 ? x ≤ 0 ,---------7 分 1 ? x(2 x ? 1)( x ? 1) ≥ 0 ,? 0 ≤ x ≤ 或 x ≥ 1 .----------10 分 2 1 又 f ( x) ≤ x 在区间 ? 0,m ? 上恒成立,? 0 ? m ≤ ----------12 分 2 c 6 17.解析: (Ⅰ)由 ? ,设 a ? 3k (k ? 0) ,则 c ? 6k , b 2 ? 3k 2 , a 3 x2 y2 所以椭圆 W 的方程为 2 ? 2 ? 1 , 9k 3k 2 3 3 把 x ? 6k 代入椭圆方程,解得 y ? ? k ,于是 2k ? ,即 k ? , 3 3 x2 ? y 2 ? 1 ………………………………4 分 所以椭圆 W 的方程为 3 (Ⅱ)由已知 A(0, ?1) , ? 直线 AC 的方程为 y ? x ? 1 .………………5 分 3 高二数学(文)期末考参考答案 第 1 页 共 4 页

? ? y ? x ? 1, ? 3 ? 3 由? 2 得 2 x 2 ? 3 x ? 0 ,解得 x ? 或 x ? 0 (舍) ,………………6 分 2 ? x ? y2 ? 1 ? ?3 3 1 所以点 C 的坐标为 ( , ? ) ,………………7 分 2 2 3 1 10 所以 AC ? ( ) 2 ? (? ? 1) 2 ? .………………8 分 2 2 2 (Ⅲ)依题意,设直线 AC 的方程为 y ? kx ? 1 , k ? 0 . ? y ? kx ? 1, ? 由 ? x2 得 (3k 2 ? 1) x 2 ? 6kx ? 0 ,………………9 分 2 ? ? y ?1 ?3 6k 6k 解得 x ? 2 或 x ? 0 (舍) ,所以点 C 的横坐标为 2 , 3k ? 1 3k ? 1 3k 设点 D 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,则 x0 ? 2 , 3k ? 1 ?1 ,………………10 分 y0 ? kx0 ? 1 ? 2 3k ? 1 因为以 AB 为直径的圆恰过点 D ,所以 OD ? 1 ,
3k 2 ?1 ) ? ( 2 ) 2 ? 1 .………………11 分 2 3k ? 1 3k ? 1 ? 整理得 k 2 ? , 3 3 所以 k ? ? .………………12 分 3
即( 第Ⅱ卷(50 分) 18-21 DCAB 22. 23. 1 (1)由题意知,直线 l 的直角坐标方程为: 2 x ? y ? 6 ? 0 ………2 分 24.

x 2 y 2 x2 y 2 ? 1 ………4 分 ? 曲线 C2 的直角坐标方程为: ( ) ? ( ) ? 1 ,即 ? 2 3 4 3 ? x ? 3 cos ? ? ( ? 为参数)………5 分 ? 曲线 C2 的参数方程为: ? ? ? y ? 2sin ?
(2)设点 P 的坐标 ( 3 cos ? , 2sin ? ) ,则点 P 到直线 l 的距离为

4 cos(? ? ) ? 6 6 d? ? ………8 分 5 5 |4?6| ? ? 2 5 ………10 分 ? 当 cos(? ? ) ? ?1 时, d max ? 6 5 2 3 cos ? ? 2sin ? ? 6
x-e e 25.解:(1)由题设,当 m=e 时,f(x)=ln x+x,则 f′(x)= x2 ,-------1 分

?

∴当 x∈(0,e)时,f′(x)<0,f(x)在(0,e)上单调递减; 当 x∈(e,+∞)时,f′(x)> 0,f(x)在(e,+∞)上单调递增. e ∴x=e 时,f(x)取得极小值 f(e)=ln e+e=2, ∴f(x)的极小值为 2.--------------------------------------------------------3 分 x 1 m x (2)由题设 g(x)=f′(x)-3= x-x2-3(x>0), 1 令 g(x)=0,得 m=-3x3+x(x>0), 1 设 φ(x)=-3x3+x(x>0), 则 φ′(x)=-x2+1=-(x-1)(x+1), 当 x∈(0,1)时,φ′(x)>0,φ(x)在(0,1)上单调递增; 当 x∈(1,+∞)时,φ′(x)<0,φ(x)在(1,+∞)上单调递减. ∴x=1 是 φ(x)的唯一极值点,且是极大值点,因此 x=1 也是 φ(x)的最大值点, 2 ∴φ(x)的最大值为 φ(1)=3.--------------------------------------------------------6 分 又 φ(0)=0,结合 y=φ(x)的图像(如图所示),可知

综上所述, 2 当 m= 或 m≤0 时,函数 g(x)有且只有一个零点; ------8 分 3 f(b)-f(a) (3)对任意的 b>a>0, <1 恒成立, b-a 等价于 f(b)-b<f(a)-a 恒成立.(*)------------------9 分 m 设 h(x)=f(x)-x=ln x+ -x(x>0), x ∴(*)等价于 h(x)在(0,+∞)上单调递减.-------10 分 1 m 由 h′(x)=x -x2-1≤0 在(0,+∞)上恒成立, 1 2 1 得 m≥-x2+x=-?x-2? +4(x>0)恒成立,---------11 分

?

?

?对m=1,h′(x)=0仅在x=1时成立?, 4 2 ? ? 1 ∴m 的取值范围是?4,+∞?.---------12 分 ? ?
1 ∴m≥ 4


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