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江西省南昌市2016届高三上学期摸底测试数学(理)试题


江西省南昌市 2016 届高三上学期摸底测试 数学(理)试题
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 B 卷(非选择题)两部分,第 I 卷 1 至 2 页,第 II 卷 3 至 4 页, 共 150 分. 考生注意: I.答题前,考生务必将白己的准考证号、姓名填写在答题卡上,考生要认真核对答题卡 上 粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一 致

. 2.第 I 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改 动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.第 II 卷用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答 题卡上 作答.若在试题卷上作答,答案无效. 3.考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回. 第I卷 12 一、选择题: (本大题共 小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有 一项 是符合题目要求的. ) 1·己知 ,则 A∩B=

2.下列函数中,在

上单调递减,并且是偶函数的是

3.已知

为等差数列,其前 n 项和为 Sn,若 a3=6,S3=12,则公差 d 等于

4.已知 i 为虚数单位,则复数 A .1+2i B.1 一 2i C.一 1 一 2i D.一 1+2i 5.在样本频率分布直方图中,共有 9 个小长方形.若中间一个小长方形的面积等于其它 8 个 长 方形面积和的 A、28 B. 40

2 ,且样本容量为 140,则中间一组的频数为 5
C.56 D. 60

6. 在△ABC 中,sin A=

=8,则△ABC 的面积为

7.设 m,n 是平面

内两条不同直线,1 是平面 的

外的一条直线,则

A.充分不必要条件 B.必要不充分要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8. A.12 的展开式中的常数项为

B. -12 C.6 D. -6 9.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是

A .112

B.80

C .72

D.64 (a>0, b>0)有相同的焦点 F,点 A 是两

10.己知抛物线 y2=2px(p>0)与双曲线 曲线的一 个交点,且 AF⊥x 轴,则双曲线的离心率为

11.己知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 5 的球 O 的球面上,且 AB=6, BC=2 5 ,则棱锥 O 一 ABCD 的侧面积为

12.设函数 y=f (x), x ? R 的导函数为 f '(x),且 f(x)=f (-x),f '(x)<f (x),则下列不等式 成立的是(e 为自然对数的底数)

第 II 卷
注意事项: 第 II 卷共 2 页, 须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答, 若在试题上作答, 答案无效. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.设θ 为第二象限角,若 ,则 cosθ = _

14.若函数

在区间[-1,1]上至少有一个零点,则实数 a 的取值范围是

_ . 15.在边长为 2 的正方形 ABCD 中有一个不规则的图形 M,用随机模拟方法来估计不规则图 形 的而积.若在正方形 ABCD 中随机产生了 10000 个点,落在不规则图形 M 内的点数恰 有 2000 个,则在这次模拟中,不规则图形 M 的面积的估计值为_ . 16.己知等比数列 的前 n 项和为 Sn,且

三、解答题:本大题共 6 个题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17、 (本小题满分 12 分)某购物网站为了解顾客对某商品的满意度,随机调查 50 名顾客对 该商品 的评价,具体数据如下

已知这 50 位顾客中评分小于 4 分的顾客占 80%. (I)求 x 与 y 的值; (11)若将频率视为概率,现从对该商品作出了评价的顾客中,随机抽取一位,记该顾 客的评 分为 X,求随叽变量 X 的分布列一与数学期望.

18、 (本小题满分 12 分)在锐角△ABC 中, (I)求角 A 的大小; (II)求 cos2B+4 cos A sin B 的取值范围.



19.(本小题满分 12 分) 在三棱柱 ABC 一 中,侧面 ABB1A1 为矩形,AB=1, ,D 为 AA1 的中点,

BD 与 AB1 交于点 O,CO⊥侧面 ABB1A1. (I)证明:BC⊥AB1; (II)若 OC=OA,求直线 C1D 与平面 ABC 所成角的正弦值.

20.(本小题满分 12 分) 己知抛物线 且 (O 为坐标原点) . (I)求抛物线 C2 的方程; (II)过点 O 的直线交 C1 的下半部分于点 M,交 C2 的左半部分于点 N,求△PMN 面积的 最小值. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 ,其中 . 的焦点分别为 , 点 P(-1,-1),

(I)求函数 f(x)的单调区间; (II)当 k=1 时,若存在 x>0,使 In f (x)>ax 成立,求实数 a 的取值范围. 请考生在下列两题中任选一题作答.若两题都做,则按做的第一题评阅计分,本题共 5 分. 22. (平面几何选讲) (本小题满分 10 分) 已知 AB 为半圆 O 的直径,AB=4,C 为半圆上一点,过点 C 作半圆的切线 CD,过 A 点作 AD⊥CD 于 D,交半圆于点 E,DE=1. (I)证明:AC 平分∠BAD; (II)求 BC 的长.

23. (坐标系与参数方程) (本小题满分 10 分) 已知曲线 C 的参数方程为 为参数) ,在同一平面直角坐标系中,将曲线

C 上的点按坐标变换

得到曲线



(I)求曲线

的普通方程; 上运动时,求 AB 中点 P 的轨迹方程.

(II)设点 B (3, 0),当点 A 在曲线

24. (不等式选讲) (本小题满分 10 分) 函数 。 .

(I)若 a=5,求函数 f(x)的定义域 A; (II)设

高 三 摸 底 测 试 卷

数学(理科)参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 题号 答案 1 C 2 C 3 D 4 A 5 B 6 A 7 B 8 A 9 C 10 D 11 B 12 B

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 15. 4 13. 14. 16. 31 5 3 10

?

10

[2, ] 2

5

三、解答题:本大题共 6 个题,共 70 分.

17.解: (Ⅰ)依题意得, x ? 20 ? 10 ? 50 ? 80% , 5 ? y ? 50 ? 20% , 解得 x ? 10 , y ? 5 . ?????6 分 (Ⅱ)

P( X ? 1) ?

, , , 20 10 10 ? 0.2 P ( X ? 2) ? ? 0.4 P( X ? 3) ? ? 0.2 50 50 50
[来

, ?????10 分 5 5 ? 0.1 P( X ? 4) ? ? 0.1 P( X ? 5) ? 50 50 所以 X 的分布列为

X
P

1 0.2

2 0.4

3 0.2

4 0.1

5 0.1

X 的数学期望为 EX ? 1? 0.2 ? 2 ? 0.4 ? 3 ? 0.2 ? 4 ? 0.1 ? 5 ? 0.1 ? 2.5 .?????12 分
18.解: (Ⅰ)由题意: ∴ ∵ ∴ ∴

m ? n ? 3 sin A ? cos A ? 1

2 sin( A ?

?
6

) ?1



sin( A ?

?
6

)?

1 2

?????3 分

0? A?
?
A?

?
2

?
6

? A?


?
6

?

?
3

?
6

? 即
6

A=

?
3

?????6 分

(Ⅱ)由(1)知: ∴

cos A ?

1 2

1 3 ?????8 分 cos 2 B ? 2 sin B ? 1 ? 2 sin 2 B ? 2 sin B ? ?2(sin B ? ) 2 ? 2 2 ∵ ?ABC 为锐角三角形.
∴ ∴

B?C ?

2? 3


C?

2? ? ?B? 3 2

B?

?
6 2

0?B?

?
2
????????10 分

∴?

6


?B?

? ∴1
2

? sin B ? 1
3 2

1 ? cos 2 B ? 2 sin B ?

???????????12 分

19.解:(Ⅰ)证明:由题意

tan ?ABD ?

AD 2 ? , AB 2

AB 2 tan ?AB1B ? ? BB1 2

注意到

0 ? ?ABD, ?AB1 B ?

? ,所以 ?ABD ? ?AB1B ,
2

所以

?ABD ? ?BAB1 ? ?AB1B ? ?BAB1 ?

? ,所以 AB1 ? BD ,??????3 分
2

又 CO ? 侧面 ABB A , 1 1

? AB1 ? CO. 又 BD 与 CO 交于点 O ,所以 AB1 ? 面CBD ,
又因为 BC ? 面CBD ,所以 BC ? AB .?????6 分 1 (Ⅱ) 解:如图,分别以

OD, OB1, OC 所在的直线为 x, y, z 轴, C
B

z
C1

以 O 为原点,建立空间直角坐标系 O ? xyz 则

A(0, ?

3 , 0) 3



B(?

6 , 0, 0) 3



B1
O
A
D

y

, , 3 , 2 3 6 C (0, 0, ) B1 (0, , 0) D( , 0, 0) 3 3 6

x

A1

? 又因为 ????
所以

??? ?, CC1 ? 2 AD
6 2 3 3 , , ). 3 3 3
????8 分

C1 (
所以 ??? ?

AB ? (?

, ???? ? 6 3 6 2 3 3 3 3 , ???? , ,0) AC ? (0, , , ). , ) DC1 ? ( 3 3 6 3 3 3 3

设平面 ABC 的法向量为 ?

n ? ( x, y, z) ,

? ? 则根据 ???
1

??? ? ? ? AB ? n ? 0, AC ? n ? 0 可得 n ? (1, 2, ? 2) 是平面 ABC 的一个法向量,

设直线 C D 与平面 ABC 所成角为 ? ,则

???? ? ? ??????12 分 | DC1 ? n | 3 55 . ? ? ? sin ? ? ???? 55 | DC1 || n |
???1 分

20.解: (Ⅰ)

F1 (1, 0) ,

? p ,∴ ???? p F2 (0, ) F1 F2 ? ( ?1, ) 2 2

, ???? ? ??? ? p p F1 F2 ? OP ? (?1, ) ? (?1, ?1) ? 1 ? ? 0 2 2

?p?2

???3 分

∴ C 的方程为
2

x2 ? 4 y .
M(

???5 分

(Ⅱ)联立 y ? kx 得 ?

? 2 ? y ? 4x

4 4 ,联立 ? y ? kx 得 N (4k , 4k 2 )(k ? 0) , ???7 分 , ) ? 2 k2 k ?x ? 4 y

从而

| MN |? 1 ? k 2 |

, 4 2 4 ? 4 k | ? 1 ? k ( ? 4 k ) k2 k2

点 A 到直线 MN 的距离

d?

| k ? 1 | ,进而 1? k2

S?PMN

???9 1 | k ? 1| 2 4 ? ? ? 1 ? k ( 2 ? 4k ) 2 1? k 2 k

分 令 , 1 (1 ? k )(1 ? k 3 ) 2(1 ? k ) 2 (1 ? k ? k 2 ) 1 1 t ? k ? ( t ? ? 2) ?2 ? ? 2(k ? ? 2)(k ? ? 1) k k2 k2 k k 有S
?PMN

? 2(t ? 2)(t ? 1) , ???11 分

当 t ? ?2 ,时 k ? ?1 , 即当过原点直线为 y ? ? x 时,△ PMN 面积取得最小值 8 .???12 分 21.解(Ⅰ)定义域为 R,

f ?( x) ?

?kx( x ? 2) ex

?????2 分

当 k ? 0 时, x ? 0或x ? 2 时, f ?( x ) ? 0 ; 0 ? x ? 2 时, f ?( x ) ? 0 当 k ? 0 时, x ? 0或x ? 2 时, f ?( x ) ? 0 ; 0 ? x ? 2 时, f ?( x ) ? 0

?????4 分

所以当 k ? 0 时, f ( x ) 的增区间是 ( ??,0),(2, ??) ,减区间是 (0, 2) 当 k ? 0 时, f ( x ) 的减区间是 ( ??,0),(2, ??) ,增区间是 (0, 2) ?????6 分 (Ⅱ) k ? 1 时, ,由 ln f ( x ) ? ax 得: 2ln x ? x x2 a? , x ? 0 x x e 8 设 , , ????? 分 2ln x ? x 2(1 ? ln x) g ( x) ? , x ? 0 g ?( x) ? x x2 所以当 0 ? x ? e 时, g ?( x ) ? 0 ;当 x ? e 时, g ?( x ) ? 0 ,

f ( x) ?

所以 g ( x ) 在 (0, e) 上递增, 在 (e, ??) 上递减,

?????10 分

gmax ( x) ? g (e) ?

2 ?1 e 2 (??, ? 1) e
?????12 分

所以 a 的取值范围是

22.解: (I)连接 OC ,因为 OA ? OC ,所以 ?OAC ? ?OCA

? CD 为半圆的切线

? AD ? CD ,

?OC // AD ??OCA ? ?CAD ??OAC ? ?CAD ? AC 平分 ?BAD ??????????5 分
(Ⅱ)连接 CE , 由??OCA ? ?CAD 知 BC ? CE 所以 A、B、C、E 四点共圆

? cos ?B ? cos ?CED ,

?

DE CB , ? CE AB
?????10 分
[来

? BC ? 2

23.解(Ⅰ)将

? x ? 3cos ? ? ? y ? 2sin ?

代入

? ? 1 x ? x ? ? 3 ? ? y? ? 1 y ? ? 2

,得 C ? 的参数方程为

? x ? cos ? ? ? y ? sin ?

∴曲线 C ? 的普通方程为

x2 ? y 2 ? 1.

???5 分

(Ⅱ)设 P( x, y) , A( x , y ) ,又 B(3, 0) ,且 AB 中点为 P 0 0 所以有:

? x0 ? 2 x ? 3 ? ? y0 ? 2 y

又点 A 在曲线 C ? 上, ∴代入 C ? 的普通方程
2 2 x0 ? y0 ? 1得 (2x ? 3)2 ? (2 y)2 ? 1

∴动点 P 的轨迹方程为

3 1. ( x ? )2 ? y 2 ? 2 4

???10 分

24. (Ⅰ)由 | x ? 1| ? | x ? 2 | ?5 ? 0 得 A ? {x | x ? ?4或x ? 1} (Ⅱ)

?????5 分

?

|a?b| ab ?|1 ? |? 2 | a ? b |?| 4 ? ab | 2 4

而 4(a ? b)2 ? (4 ? ab)2 ? 4(a 2 ? 2ab ? b2 ) ? (16 ? 8ab ? a 2b2 )

? 4a2 ? 4b2 ? a2b2 ? 16 ? a 2 (4 ? b2 ) ? 4(b2 ? 4) ? (b2 ? 4)(4 ? a2 ) ?????8 分
? a, b ? (?1,1)

?(b2 ? 4)(4 ? a2 ) ? 0
? |a?b| ab ?|1 ? | 2 4

?4(a ? b)2 ? (4 ? ab)2
???????10 分


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