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河南省南阳市五校2015-2016学年高二第二次联考数学(文)试题


2016 年春期五校第二次联考 高二年级文科数学试题
命题学校:桐柏一高 命题人:刘慎英 审题人:王存国 一:选择题(共 12 个小题,每题 5 分,共 60 分) 1.已知 i 是虚数单位,则复数 A.第四象限 B.第三象 在复平面内所对应的点位于( 限 C.第二象限 )

D.第一象限

2.已知 x、y 取值如下表: x y

0 1.3 1 1.8 4 5.6 5 6.1 6 7.4 8 9.3 =0.95x+a,则 a=( )

从所得的散点图分析可知:y 与 x 线性相关,且 A.1.30 B.1.45 C.1.65 D.1.80
2 ?( z2

3.设复数 z1 ? 3 ? 2i , z2 ? 1 ? i ,则 z1 ? A. 2 B. 3 C. 4



D. 5 的值( )

4.设 a,b,c 大于 0,则 3 个数

1 1 1 a ? ,b ? ,c ? b c a

A.都大于 2 C.都小于 2 5.已知 x 与 y 之间的几组数据如下表:
x y

B.至少有一个不大于 2 D.至少有一个不小于 2

1 0

2 2

3 1

4 3

5 3

6 4

?x ? a ? ?b ? .若某同学根据上表中前两 假设根据上表数据所得线性回归直线方程为 y 组数据 (1,0) 和 (2,2) 求得的直线方程为 y ? b?x ? a? ,则以下结论正确的是( ) ? ? b?, a ? ? b?, a ? ? b?, a ? ? b?, a ? ? a? ? ? a? ? ? a? ? ? a? A. b B. b C. b D. b

6.在极坐标系中,圆 ? ? 2 cos? 的垂直于极轴的两条切线方程分别为( A. ? ? 0( ? ? R) 和 ? cos? ? 2 C. ? ? B. ? ?



?
2

( ? ? R ) 和 ? cos? ? 2

?
2

( ? ? R ) 和 ? cos? ? 1

D. ? ? 0( ? ? R) 和 ? cos? ? 1 )

7.执行如图所示的程序框图,欲使输出的 S>11,则输入整数 n 的最小值(

A.3 8.已知函数

B.4

C.5 ,那么

D.6

= A.1 9.直线 { B.1.5
x ? 3 ? t sin 20? y ? ?t cos20?

C.

D.4 )

(t 为参数)的倾斜角(

A.

20 ?

B. 70 ?

C. 110 ?

D. 160 ?

10. 已 知 f ? ?a ?
A. 1 D. -2

f ? x ? ? x ln ? e 2 x ? 1? ? x 2 ? 1 函 数 , f ? a ? ? 2 , 则

的值为(
B. 0 C.

)
-1

? ? ? ? x ? sin ? cos 11.参数方程 ? 2 2 , (? 为参数)的普通方程为() ? y ? 2 ? sin ? ?
A. y 2 ? x 2 ? 1 C. y 2 ? x 2 ? 1(| x |? 2 ) B. x 2 ? y 2 ? 1 D. x 2 ? y 2 ? 1(| x |? 2 )

12.给出下列命题 (1)实数的共轭复数一定是实数; (2)满足 z ? i ? z ? i ? 2 的复数 z 的轨迹是椭圆; (3)若 m ? Z , i 2 ? ?1 ,则 i m ? i m?1 ? i m?2 ? i m?3 ? 0; 2 2 2 (4)若“a,b,c 是不全相等的实数”,则 (a ? b) ? (b ? c) ? (c ? a) ? 0 ; (5) 若“a,b,c 是不全相等的实数”, a ? b, b ? c, c ? a 不能同时成立 )

其中正确命题的序号是(

A.(1)(2)(3) B.(1)(3)(4) C.(2)(3)(5) D.(3)(4)(5) 二.填空题(共 4 个小题,每题 5 分,共 20 分) 13.如下数表为一组等式: 某学生根据数表猜测 S2n﹣1= (2n ﹣1)?(an2+bn+c) ,老师回答正确,则 a﹣b+c= .

14.“无字证明”(proofs without words),就是将数学命题用简单、有创意而且 易于理解的几何图形来呈现.请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系,写出该

图所验证的一个三角恒等变换公式:

15.从 1,2,3,4,5,6,7 中任取两个不同的数, 事件 A 为 “取到的两个数的和为
[

偶数”,事件 B 为“取到的两个数均为偶数",则 P( B A) =__________. 16.在平面内,三角形的面积为 S,周长为 C,则它的内切圆的半径 r= .在空间

中,三棱锥的体积为 V,表面积为 S,利用类比推理的方法,可得三棱锥的内切球 (球面与三棱锥的各个面均相切)的半径 R= .

三.解答题(写出必要的文字说明和解题过程。共 70 分)

? x ? 4 ? 5 cost 17.(10 分)已知曲线 C1 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,以坐标原点为极 ? y ? 5 ? 5 sin t
点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 2 的极坐标方程为 ? ? 2 sin ? . ⑴把 C1 的参数方程化为极坐标方程; ⑵求 C1 与 C 2 交点的极坐标( ? ? 0,0 ? ? ? 2? ) . 18. (12 分)(1)已知 a ? b ? 2 2 ,求证: a 2 ? b 2 ? 4 . (2)已知 a ? b ? c, 求证:
1 1 4 ? ? . a ?b b?c a ?c

19. (12 分)某学校的篮球兴趣小组为调查该校男女学生对篮球的喜好情况,用简 单随机抽样方法调查了该校 100 名学生, 调查结果如下: (1)该校共有 500 名学生,估计有多少 学生喜好篮球
性别 是否喜欢篮球 是 否

男生 35 25

女生 12 28

(2)能否有 99 %的把握认为该校的学生是否喜欢篮球与性别有关?说明原因; (3)已知在喜欢篮球的 12 名女生中, 6 名女生(分别记为 P 1, P 2, P 3, P 4, P 5, P 6 ) 同时 喜欢乒乓球, 2 名女生(分别记为 B1 , B2 )同时喜欢羽毛球, 4 名女生(分别记为

V1 ,V2 ,V3 ,V4 ) 同时喜欢排球, 现从喜欢乒乓球、羽毛球、排球的女生中各取 1人,

求P 1 , B2 不全被选中的概率.
2 附: K ?

n(ad ? bc)2 ,n ? a?b?c?d . (a ? b)(a ? c)(b ? d )(c ? d )
0.050

P(K 2 ? k0 ) 0.10
k0

0.010

0.005 7.879

2.706

3.841 6.635

20.(12 分)设平面直角坐标系原点与极坐标极点重合,x 轴正半轴与极轴重合,若 已知曲线 C 的极坐标方程为 ?2 ?
? 2 t ?x ? 1 ? ? 2 (t 为参数,t∈R) ? ?y ? 2 t ? 2 ?
12 ,直线 l 的参数方程为 3cos ? ? 4sin 2 ?
2

(1)求曲线 C 的标准方程和直线 l 的普通方程 (2)若点 P 为曲线 C 上的动点,求点 P 到直线 l 的最大距离. 21. (12 分)观察下题的解答过程: 已知正实数 a , b 满足 a ? b ? 1 ,求 2a ? 1 ? 2b ? 1 的最大值

2a ? 1 ? 2 3 解: ? 2a ? 1 ? 2 ? ?a? , 2 2

2

2

2b ? 1 ? 2 3 2b ? 1 ? 2 ? ?b? 2 2

2

2

相加得 2a ? 1 ? 2 ? 2b ? 1 ? 2 ? 2 ( 2a ? 1 ? 2b ? 1) ? a ? b ? 3 ? 4

? 2b ? 1 ? 2b ? 1 ? 2 2 ,等号在 a ? b ?
即 2a ? 1 ? 2b ? 1 的最大值为 2 2 . 请类比上题解法,使用综合法证明下题:

1 时取得, 2

已知正实数 x, y, z 满足 x ? y ? z ? 2 ,求证: 2x ? 1 ? 2 y ? 1 ? 2z ? 1 ? 21 22. (12 分)设函数 f ( x) , g ( x) 的定义域均为 R ,且 f ( x) 是奇函数, g ( x) 是偶函数,
f ( x) ? g ( x) ? e x ,其中 e 为自然对数的底数.

(1)求 f ( x) , g ( x) 的解析式,并证明:当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 , g ( x) ? 1 ; (2)设 a ? 0 , b ? 1 ,证明:当 x ? 0 时, ag ( x) ? (1 ? a) ?
f ( x) ? bg ( x) ? (1 ? b) . x

参考答案 13.5

DBDDC BBCCB

CB

14.sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ 15.

? x ? 4 ? 5 cos t 17.⑴将 ? 消去参数 t ,化为普通方程 ( x ? 4) 2 ? ( y ? 5) 2 ? 25 ? y ? 5 ? 5 sin t 即 C1 : x 2 ? y 2 ? 8 x ? 10 y ? 16 ? 0 ? x ? ? cos ? 将? 代入 x 2 ? y 2 ? 8 x ? 10 y ? 16 ? 0 得 y ? ? sin ? ?

1 16. 3

? 2 ? 8? cos ? ? 10 ? sin ? ? 16 ? 0 ⑵ C 2 的普通方程为 x 2 ? y 2 ? 2 y ? 0
2 2 ? ?x ? 1 ?x ? 0 ? x ? y ? 8 x ? 10 y ? 16 ? 0 由? 2 ,解得 或? ? 2 y ? 1 ? x ? y ? 2 y ? 0 ? ?y ? 2 ? ? ? 所以 C1 与 C 2 交点的极坐标分别为 ( 2 , ) , (2, ) 4 2 18.(1) (2)问各 6 分

???5 分

???8 分 ???10 分

19.第(1)问 2 分, (2) (3)各 5 分

20.(I)曲线 C 的极坐标方程为 ρ2= 3x2+4y2=12,即 =1.(3 分)

,化为直角坐标方程:

直线 l 的参数方程为 分) ( II ) 设 P ( 2cosθ, d= α=arctan .

(t 为参数,t∈R),化为普通方程:x﹣1﹣y=0(6

3 sinθ ) , θ∈[0 , 2π ) , 则 点 P 到 直 线 l 的 距 离

=



=

, 其中

∴点 P 到直线 l 的最大距离是
2 2

.(12 分)

21.:? 2 x ? 1 ?

7 ? 3
2

7 2x ? 1 ? 5 3 ? x? 2 3
2

2y ?1 ?

7 ? 3

7 2y ?1 ? 5 3 ? y? 2 3

7 2z ? 1 ? 7 5 3 2z ? 1 ? ? ? z? 3 2 3
2

2

相加得 ( 2 x ? 1 ? 2 y ? 1 ? 2 z ? 1) ? 即 2x ? 1 ? 2 y ? 1 ? 2z ? 1 ? 7 ?

7 ? x? y? z ?5? 7 3

3 7

? 21 ,等号在 x ? y ? z ?

2 时取得 3

22.(Ⅰ)由 f ( x) , g ( x) 的奇偶性及 f ( x) ? g ( x) ? e x ,得: ? f ( x) ? g ( x) ? e? x . 联立①②解得 f ( x) ? (ex ? e? x ) , g ( x) ? (e x ? e? x ) .(3 分)
ex ? 1 , 0 ? e? x ? 1 , ) 0 ? . 当 x ? 0 时, 故 f (x

1 2

1 2

又 (5 分) ? ? ?


由基本不等式,有 g ( x) ? (ex ? e? x ) ? ex e? x ? 1 ,即 g ( x) ? 1. (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ?( x) ? (ex ?
1 2

1 2

1 1 x ex 1 ? ) ? (e ? 2 x ) ? (e x ? e? x ) ? g ( x) , x e 2 e 2 1 x 1 1 x xe 1 x ? x g ?( x )? ( e ? x ?? ) ( ?e 2 x ? ) ? ( e ? f e x) , ( ) 2 e 2 e 2 f ( x) 当 x ? 0 时, ? ag ( x) ? (1 ? a) 等价于 f ( x) ? axg ( x) ? (1 ? a) x , x f ( x) ? bg ( x) ? (1 ? b) 等价于 f ( x) ? bxg ( x) ? (1 ? b) x. x 设函数 h( x) ? f ( x) ? cxg ( x) ? (1 ? c) x ,其中 c 为常数且 c≤0 或 c≥1

由??,有 h?( x) ? g ( x) ? cg ( x) ? cxf ( x) ? (1 ? c) ? (1 ? c)[ g ( x) ? 1] ? cxf ( x). 因为 x ? 0 ,则 若c?0, 由 (1) 问结论易得 h?( x) ? 0 , 故 h ( x ) 在 [0, ??) 上为增函数, 从而 h( x) ? h(0) ? 0 , 即 f ( x) ? cxg ( x) ? (1 ? c) x ,故?式成立. 若 c ? 1,由(1)问结论得 h?( x) ? 0 ,故 h ( x ) 在 [0, ??) 上为减函数,从而 h( x) ? h(0) ? 0 , 即 f ( x) ? cxg ( x) ? (1 ? c) x , 故④成立.综合?④, 得 ag ( x) ? (1 ? a) ?
f ( x) ? bg ( x) ? (1 ? b) . x


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