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利用导数研究函数单调性


利用导数研究函数单调性
一、关于单调区间 1. 当 x ? 0 时, f ? x ? ?
2

2 ? x ,则 f ? x ? 的单调减区间为 x

2. 函数 f ? x ? ? 5 x ? 2 x 的单调增区间为 3. 函数 f ? x ? ? ? x ? 1? x ? 1 的单调减区间为
2

?

?

4. 函数 f ? x ? ? 4 x ?
2
2

1 的单调增区间为 x

5. 函数 f ? x ? ? 3x ? 2ln x 的单调减区间为 6. 函数 y ? x ? sin x 在 ? 0, 2? ? 上是( ) A.单调增函数 B.在 ? 0, ? ? 上是单调增函数,在 ? ? , 2? ? 上是单调减函数 C.单调减函数 D.在 ? 0, ? ? 上是单调减函数,在 ? ? , 2? ? 上是单调增函数 7. 函数 y ? x ln x 在 ? 0,1? 上是( ) A.单调增函数 B.在 ? 0, ? 上是单调增函数,在 ? ,1? 上是单调减函数

? ?

1? e?

?1 ? ?e ?

C.单调减函数

D.在 ? 0, ? 上是单调减函数,在 ? ,1? 上是单调增函数

? ?

1? e?

?1 ? ?e ?

8. 在 ? ?1,1? 内不是单调递增函数的是( ) A. y ? e ? x
x

B. y ? sin x

C. y ? x ? 6 x ? 9 x ? 2
3 2

D. y ? x ? x ? 1
2

9. 函数 f ? x ? ? x ?

b ?b ? 0 ? 的单调减区间为 x


10. f ? x ? ? sin x ? x 在 R 上是(

A.偶函数,增函数 B.偶函数,减函数 C.奇函数,增函数 D.奇函数,减函数

二、求取值范围 1. 已知函数 f ?x ? ? ax ? 3x ? x ? 1 在 R 上是减函数,则 a 的取值范围
3 2



2. 若函数 f ?x ? ? x ? x ? mx ? 1 是 R 上的单调函数,则实数 m 的取值范围是(
3 2



A. ( ,?? )

1 3

B.(- ?,

1 ) 3

C.[ ,?? )

1 3

D. ?? ?, ? 3

? ?

1? ?

3. 已知

y ? 2 x 3 ? ax ? c 在 ?? ?,??? 上单调递增,则(
B.a ? 0 且 c ? R
2

) D.a ? 0 且 c ? 0

A.a ? 0 且 c ? R
3

C.a ? 0 且 c ? 0

4. 若 f ?x ? ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0) 为增函数,则一定有( A. b ? 4ac ? 0
2

) D. b ? 3ac ? 0
2

B. b ? 3ac ? 0
2

C. b ? 4ac ? 0
2

5. 若函数 y ? 2 x ?

a ( x ? 0) 在 ?2,??? 内是单调递增函数,则实数 a 的取值范围为 x A. ?8 ? a ? 0 B. ?8 ? a ? 0 C. a ? ?8 D. a ? 0
? 5 ? ? 3 ?

6. 若函数 f ? x ? ? x ? ax ? bx ? 1 的单调减区间为 ? ? ,1 ? ,则 a ?
3 2

,b ?

三、证明不等式 1. 已知 x ? 0 求证不等式 x ? ln(1 ? x). 2. 已知 x ? 2 求证: x ? 1 ? ln x 3. 当 x ? 2 时,求证: x ? 6 x ? 12 x ? 1 ? 7
3 2

4. 当 x ? 1 时, 2 x ? 3 ? 5. 当 x ? 0 时,求证: x ?

1 x
x2 x2 ? ln ? x ? 1? ? x ? 2 2 ?1 ? x ?



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