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东北师大附属中学高三一轮导学案:直线的倾斜角与斜率


直线倾斜角与斜率,直线方程(教案)A
一、知识梳理: (阅读必修 2 第 82-99 页内容) 1.倾斜角:一条直线 l 向上的方向与 x 轴的正方向所成的最小正角,叫做直线的 倾斜角,范围为 ?0, ? ? 。规定:当直线与 l 轴平行或重合时,它的倾斜角为错误!未找 到引用源。 。 2. 斜率: 当直线的倾斜角不是 900 时, 则称其正切值为该直线的斜率, 即 k

=tan ? ; 当直线的倾斜角等于 900 时,直线的斜率不存在。 注:直线的倾斜角与斜率的关系可以利用正切函数的图象帮助解决; 3、过两点 p1(x1,y1),p2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式:k=tan ? ?

y2 ? y1 (若 x1 x2 ? x1

=x2,则直线 p1p2 的斜率不存在,此时直线的倾斜角为 900) 。 4、直线的方向向量:错误!未找到引用源。=(1,k) ,k 是直线的斜率; 5、直线方程的五种形式确定直线方程需要有两个互相独立的条件。确定直线方 程的形式很多,但必须注意各种形式的直线方程的适用范围。 名称 斜截式 点斜式 方程 y=kx+b y-y0=k(x-x0) 说明 k——斜率 b——纵截距 (x0,y0)——直线上 已知点,k——斜率 (x1,y1),(x2,y2)是直线上 两个已知点 a——直线的横截距 b——直线的纵截距 适用条件 倾斜角为 90°的直线不 能用此式 倾斜角为 90°的直线不 能用此式 与两坐标轴平行的直线 不能用此式 过(0,0)及与两坐标轴 平行的直线不能用此式

两点式

y ? y1 x ? x1 = y 2 ? y1 x2 ? x1
x y + =1 a b
Ax+By+C=0

截距式

一般式

?

A C C ,? ,? 分别为 B A B

斜率、横截距和纵截距

A、B 不能同时为零

直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在(垂直于 x 轴)的直线;两点式不能 表示平行或重合两坐标轴的直线; 截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原 点的直线。 二、题型探究

[探究一] 直线的倾斜角与斜率 例 1: . 直线 y ? 3x 绕原点逆时针旋转 90 0 , 再向右平移1个单位, 所得到的直线为( A ) (A) y ? ?

1 1 x? 3 3

(B) y ? ?

(C) y ? 3x ? 3

1 x ?1 3 1 (D) y ? x ? 1 3
3

【解】 :∵直线 y ? 3x 绕原点逆时针旋转 90 0 的直线为 y ? ? 1 x ,从而淘汰(C) , (D) 又∵将 y ? ? 1 x 向右平移1个单位得 y ? ? 1 ? x ? 1? ,即 y ? ? 1 x ? 1
3

3

3

3

【点评】 :此题重点考察互相垂直的直线关系,以及直线平移问题; 【突破】 :熟悉互相垂直的直线斜率互为负倒数,过原点的直线无常数项;重视平移 方法: “左加右减” ; 点评:本题重点考查直线的倾斜角、斜率的关系,考查数形结合的能力。 例 2: (全国Ⅰ文 16)若直线 m 被两平行线 l1 : x ? y ? 1 ? 0与l2 : x ? y ? 3 ? 0 所截得的线段 的长为 2 2 ,则 m 的倾斜角可以是( ① 15 ② 30 ③ 45 ④ 60 ) ⑤ 75

其中正确答案的序号是

.(写出所有正确答案的序号)
o

【解析】解:两平行线间的距离为 d ? | 3 ? 1 | ? 2 ,由图知直线 m 与 l 1 的夹角为 30 ,
1?1

l 1 的倾斜角为 45o ,所以直线 m 的倾斜角等于 30o ? 450 ? 750 或 45
⑤ [探究二]:求直线方程 例 3: .已知直线的点斜式方程为 y ? 1 ? ? 方程。 解析: (1)将 y ?1? ?

o

【答案】① ? 300 ? 150 。

3 ? x ? 2? ,求该直线另外三种特殊形式的 4

3 ? x ? 2? 移 项 、 展 开 括 号 后 合 并 , 即 得 斜 截 式 方 程 4

3 5 y ?? x? 。 4 2

(2)因为点(2,1) 、 (0, 上的两点。

5 3 )均满足方程 y ? 1 ? ? ? x ? 2? ,故它们为直线 2 4

y ?1 x ? 2 y ?1 x ? 2 即 ? ? 5 3 0?2 ?2 ?1 2 2 5 3 5 (3)由 y ? ? x ? 知:直线在 y 轴上的截距 b ? 2 4 2 10 x y 又令 y ? 0 ,得 x ? 故直线的截距式方程 ? ?1 10 5 3 , 3 2
由两点式方程得: 点评:直线方程的四种特殊形式之间存在着内在的联系,它是直线在不同条件下 的不同表现形式,要掌握好它们之间的互化。在解具体问题时,要根据问题的条件、 结论,灵活恰当地选用公式,使问题解得简捷、明了。 例 4.直线 l 经过点 P(-5,-4) ,且与两坐标轴围成的三角形面积为 5,求直线 l 的方 程。

x y ? ? 1, a b ?5 ?4 ? ? 1 ,即 4a ? 5b ? ? ab 。 ∵直线 l 过点 P(-5,-4) ,? a b 1 又由已知有 a b ? 5 ,即 ab ? 10 , 2
解析:设所求直线 l 的方程为

5 ? ?4a ? 5b ? ?ab ?a ? 5 ?a ? ? 解方程组 ? ,得: ? 2 或? ?b ? ?2 ? ab ? 10 ? ?b ? 4
x y x y ? 1。 ? ? 1 ,或 ? 5 4 5 ?2 ? 2 即 8 x ? 5 y ? 20 ? 0 ,或 2 x ? 5 y ? 10 ? 0
故所求直线 l 的方程为: 点评:要求 l 的方程,须先求截距 a、b 的值,而求截距的方法也有三种: (1)从点的坐标 a,0 或 0,b 中直接观察出来; (2)由斜截式或截距式方程确定截距; (3)在其他形式的直线方程中,令 x ? 0 得 y 轴上的截距 b;令 y ? 0 得出 x 轴 上的截距 a。 总之,在求直线方程时,设计合理的运算途径比训练提高运算能力更为重要。解

?

? ?

?

题时善于观察,勤于思考,常常能起到事半功倍的效果。 [探究三]:直线方程综合问题 例 5. (重庆理,1)直线 y ? x ? 1 与圆 x ? y ? 1的位置关系为(
2 2

) D.相离 ,而

A.相切

B.相交但直线不过圆心

C.直线过圆心

【解析】圆心 (0, 0) 为到直线 y ? x ? 1 ,即 x ? y ? 1 ? 0 的距离

,选 B。 【点评】 :此题重点考察圆的标准方程和点到直线的距离;

【突破】 :数形结合,使用点

到直线

的距离距离公式

例 6. ( 天 津 文 , 14 ) 若 圆

与圆

的公共弦长为

,则 a=________.

【解析】由已知,两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为



利用圆心(0,0)到直线的距离 d



,解得 a=1.

例 7:已知动圆过定点 P(1,0) ,且与定直线 l:x=-1 相切,点 C 在 l 上。 (Ⅰ)求动圆圆心的轨迹 M 的方程;

(Ⅱ)设过点 P,且斜率为-

的直线与曲线 M 相交于 A、B 两点。

(i)问:△ABC 能否为正三角形?若能,求点 C 的坐标;若不能,说明理由; (ii)当△ABC 为钝角三角形时,求这种点 C 的纵坐标的取值范围。 (Ⅰ)解法一,依题意,曲线 M 是以点 P 为焦点,直线 l 为准线的抛物线,所以曲线 M 的方程为 y2=4x. 解法二:设 M(x,y) ,依题意有|MP|=|MN|,

所以|x+1|=

。化简得:y2=4x。 图

(Ⅱ) (i)由题意得,直线 AB 的方程为 y=- (x-1).



消 y 得 3x2-10x+3=0,

解得 x1=

,x2=3。所以 A 点坐标为(

) ,B 点坐标

为(3,-2

) ,

|AB|=x1+x2+2=



假设存在点 C(-1,y) ,使△ABC 为正三角形,则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|,即 ① ②

由①-②得 42+ (y+2

2 ) ( =

2 ) (y- +



2

,解得 y=-



但 y= -

不符合①,所以由①,②组成的方程组无解

因此,直线 l 上不存在点 C,使得△ABC 是正三角形。

( ii )解法一:设 C (- 1 , y )使△ ABC 成钝角三角形,由



y=2

,即当点 C 的坐标为(-1,2

)时,A、B、C 三点

共线,故 y≠2



又|AC|2= (-1-

2 ) + (y-

2 ) =

+y2,

|BC|2= ( 3+1 ) 2+ ( y+2

) 2=28+4

y+y2 , |AB|2=



)2=



当∠CAB 为钝角时,cosA=

<0。

即|BC|2 >|AC|2+|AB|2,即



即 y>

时,∠CAB 为钝角

当|AC|2>|BC|2+|AB|2,即



即 y<-

时,∠CBA 为钝角。

又|AB|2>|AC|2+|BC|2,即







该不等式无解,所以∠ACB 不可能为钝角

因此, 当△ABC 为钝角三角形时, 点 C 的纵坐标 y 的取值范围是



解法二: 以 AB 为直径的圆的方程为 (x-

2 ) + (y+



2

=(

)2。

圆心(

)到直线 l:x=-1 的距离为



所以,以 AB 为直径的圆与直线 l 相切于点 G(-1,-

) 。

当直线 l 上的 C 点与 G 重合时,∠ACB 为直角,当 C 与 G 点不重合,且 A、B、C 三点不共线时,∠ACB 为锐角,即△ABC 中,∠ACB 不可能是钝角。

因此, 要使△ABC 为钝角三角形, 只可能是∠CAB 或∠CBA 为钝角

过点 A 且与 AB 垂直的直线方程为



令 x= - 1 得 y=

。 过 点 B 且 与 AB 垂 直 的 直 线 方 程 为

y+2

(x-3) 。

令 x=-1 得 y=-

。又由

解得 y=2



所以,当点 C 的坐标为(-1,2

)时,A、B、C 三点共线,不构

成三角形。 因 此 , 当 △ ABC 为 钝 角 三 角 形 时 , 点 C 的 纵 坐 标 y 的 取 值 范 围 是 y< -

或 y>

(y≠2

) 。

点评:该题全面综合了解析几何、平面几何、代数的相关知识,充分体现了“注 重学科知识的内在联系”.题目的设计新颖脱俗,能较好地考查考生综合运用数学知 识解决问题的能力。比较深刻地考查了解析法的原理和应用,以及分类讨论的思想、 方程的思想.该题对思维的目的性、逻辑性、周密性、灵活性都进行了不同程度的考 查.对运算、化简能力要求也较高,有较好的区分度。 三、 方法提升:

四、反思感悟

五、课时作业 一、选择题 1. “a = 1” 是 “ 直 线 x + y = 0 和 直 线 x - ay = 0 互 相 垂 直 ” 的

(

)

A.充分而不必要条件

B.必要而不充

分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

解析:由 1×1-a=0,得 a=1,∴为充要条件.答案:C 2.已知两条直线 y=ax-2 和 y=(a+2)x+1 互相垂直,则 a 等 A.2 B.1
2

(

)

C.0
2

D.-1

解析: 由题知(a+2)a=-1?a +2a+1=(a+1) =0, ∴a=-1.也可以代入检验. 答案:D

3.若直线 l 的斜率 k 的变化范围是[-1, 3],则它的倾斜角的变化范围是( π π A.[- +kπ, +kπ](k∈Z) 4 3 π 3π C.[- ,- ] 3 4 π π B.[- , ] 4 3 π 3π D.[0, ]∪[ ,π) 3 4

)

π 3π 解析:由-1≤k≤ 3,即-1≤tanα≤ 3,∴α∈[0, ]∪[ ,π).答案:D 3 4 4. “m=-1”是“直线 mx+(2m-1)y+1=0 和直线 3x+my+3=0 垂直”的 ( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充要条件

解析:当 m=-1 时,两条直线方程为 x+3y-1=0 和 3x-y+3=0,显然两直

线垂直, 充分性成立. 反之, 当这两直线垂直时, 3m+m(2m-1)= 得 m=0 或-1,必要性不成立.答案:A

0

5.已知直线 l1:y=2x+3,若直线 l2 与 l1 关于直线 x+y=0 对称,又直线 l3⊥l2,则 l3 的斜率为 ( A.-2 ) 1 B.- 2 1 C. 2 D.2

解析:本题解题思路是由直线的对称性先确定直线 l2 的斜率,再由两条直线垂直 的条件得出有关直线的斜率.依题意得,直线 l2 的方程是-x=2×(-y)+3,即 1 3 1 y= x+ ,其斜率是 .由 l3⊥l2 得 l3 的斜率等于-2.答案:A 2 2 2 3 6.已知直线 l 的倾斜角为 π,直线 l1 经过点 A(3,2)和 B(a,-1),且直线 l1 与直线 l 4 垂直,直线 l2 的方程为 2x+by+1=0,且直线 l2 与直线 l1 平行,则 a+b 等于 ( )

A. -4

B. -2

C. 0

D. 2

解析:由直线 l 的倾斜角得 l 的

3 斜率为-1,l1 的斜率为 .∵直 3-a

3 2 2 线 l 与 l1 垂直,∴ =1,得 a=0.又直线 l2 的斜率为- ,∵l1∥l2,∴- =1, b b 3-a b=-2.因此 a+b=-2.答案:B 二、填空题

7.给定三点 A(0,1),B(a,0),C(3,2), 垂直 AB,则 a 的值为________.

直线 l 经过 B、C 两点,且 l

0-1 0-2 解析:由题意知 AB⊥BC,则 · a-0 a-3

=-1,解得 a=1 或 2.

8.已知直线 l1:x+ay+6=0 和 l2:(a-2)x+3y+2a=0,则 l1∥l2 的充要条件是 a =________. 解析:由 a(a-2)=1×3 且 a×2a≠3×6,∴a=-1. 9.已知直线 l 的斜率为 k,经过点(1,-1),将直线向右平移 3 个单位,再向上平移 2 个单位,得到直线 m,若直线 m 不经过第四象限,则直线 l 的斜率 k 的取值范 围是________. 解析:依题意可设直线 l 的方程为 y+1=k(x-1),即 y=kx-k-1,将直线 l 向

右平移 3 个单位,得到直线 y

=k(x-3)-k-1,再向上平移 2 个

单位得到直线 m:y=k(x-3)-k-1+2,即 y=kx-4k+1.由于直线 m 不经过第
? ?k≥0, 1 1 四象限,所以应有? 解得 0≤k≤ .答案:0≤k≤ 4 4 ?-4k+1≥0, ?

三、解答题

10.已知两直线 l1:x+ysinθ 的值,使得:(1)l1∥l2;(2)l1⊥l2.

-1=0 和 l2:2xsinθ+y+1=0,试求 θ

解:(1)法一:当 sinθ=0 时,l1 的斜率不存在,l2 的斜率为零,l1 显然不平行于 l2. 当 sinθ≠0 时,k1=- 1 ,k =-2sinθ, sinθ 2

1 2 欲使 l1∥l2,只要- =0-2sinθ,sinθ=± , sinθ 2 π ∴θ=kπ± ,k∈Z,此时两直线截距不相等. 4 π ∴当 θ=kπ± ,k∈Z 时,l1∥l2. 4 1 法二:由 A1B2-A2B1=0,即 2sin2θ-1=0,得 sin2θ= , 2 2 π ∴sinθ=± , 由 B1C2-B2C1≠0, 即 1+sinθ≠0, 即 sinθ≠-1, 得 θ=kπ± , k∈Z, 2 4 π ∴当 θ=kπ± ,k∈Z 时,l1∥l2. 4 (2)∵A1A2+B1B2=0 是 l1⊥l2 的充要条件, ∴2sinθ+sinθ=0,即 sinθ=0,∴θ=kπ(k∈Z), ∴当 θ=kπ,k∈Z 时,l1⊥l2.

11.已知 l1:(a2-1 l1∥l2,求 a 的值.

)x+ay-1=0,l2:(a-1)x+(a2+a)y+2=0,若

解:当 a=0 时,l1:x=-1 此时 l1∥l2,∴a=0 满足题意; 当 a2+a=0,即 a=0(舍去)或 a=-1 时,

,l2:x=2,

l1:y=-1,l2:x=1,此时 l1⊥l2,∴a=

-1 不满足题意;

当 a≠0 且 a≠-1 时,kl1= ∵l1∥l2, ∴ 1-a2 1-a = 2 , a a +a

1-a2 ,k a

l2= 2

1-a , a +a

即 1-a

=(1-a)(1+a)2,解得 a=1 或 a=-2.

当 a=1 时,l1:y=1,l2:y=-1,l1、l2 不重合; 当 a=-2 时,l1:3x-2y-1=0,l2:-3x+2y+2=0, l1、l2 不重合.∴a=1 或 a=-2 满足题意.

综上所述,a=0 或 a=1 或 a=-2. 12.已知点 M(2,2),N(5,-2),点 P 在 x 轴上,分别求满足下列条件的 P 点坐标. (1)∠MOP=∠OPN(O 是坐标原点). (2)∠MPN 是直角.

解:设 P(x,0),

(1)∵∠MOP=∠OPN,

2-0 0-(-2) 2 ∴OM∥NP.∴kOM=kNP.又 kOM= =1,kNP= = (x≠5), 2-0 x-5 x-5 2 ∴1= ,∴x=7,即 P(7,0). x-5 (2)∵∠MPN=90° ,∴MP⊥NP, 2 2 ∴kMP· kNP=-1.又 kMP= (x≠2),kNP= (x≠5), 2-x x-5 ∴ 2 2 × =-1,解得 x=1 或 x=6,即 P(1,0)或(6,0). 2-x x-5


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