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直线方程题型归纳


直线方程
基础知识 一 直线的倾斜角与斜率 二 直线方程的表达式 三 直线的平行于垂直
题型一 直线的倾斜角与斜率 1 若直线 x=1 的倾斜角为α ,则α ( A.等于 0 B.等于 ) C.等于

?
4

?
2

D.不存在

2.已知 m≠0,则过点(

1,-1)的直线 ax+3my+2a=0 的斜率为________ 3.已知点 A(1,3)、B(2,6)、C(5,m)在同一条直线上,那么实数 m 的值为________. 1 1 4.若三点 A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线,则 + 的值等于_________.

a b

5:已知 a>0,若平面内三点 A(1,—a),B(2,a ),C(3,a )共线,则 a 值 为 。 )

2

3

6.如图中的直线 l1、l2、l3 的斜率分别为 k1、k2、k3,则( A.k1<k2<k3 C.k3<k2<k1 B.k3<k1<k2 D.k1<k3<k2

7 已知 ? ? R ,则直线 x sin ? ? 3 y ? 1 ? 0 的倾斜角的取值范围是( A、 ?0,30?? B、 ?150?,180?? C、 ?0,30??? ?150?,180?? D ?30?,150??



8 若直线 l:y=kx ?

3 与直线 2x+3y-6=0 的交点位于第一象限,


则直线 l 的倾斜角的取值范围是(

A. [

? ?

, ) 6 3

B. (

? ?

, ) 6 2

C. (

? ?

, ) 3 2

D. [

? ?

, ] 6 2

9 已知两条直线 l1:y=x,l2:ax-y=0,其中 a 为实数,当这两条直线的夹角在(0, 内变动时,a 的取值范围是( A.(0,1) B.( )

? ) 12

3 3 ,1)∪(1, 3 ) D.(1, 3 ) , 3 )C.( 3 3

10:已知直线 l 经过点 P(1,1),且与线段 MN 相交,又 M(2,-3),N(-3,-2),求直 线 l 的斜率 k 的取值范围。

11 求经过点 A(?2, sin ? ), B(? cos? ,1)的直线l的斜率 k 的取值范围

12. 已知直线 l 过 P(-1,2),且与以 A(-2,-3)、B(3,0)为端点的线段相交,求直线 l 的斜率的取值范围.

13.已知坐标平面内三点 A(-1,1),B(1 ,1),C(2 , 3+1),若 D 为△ABC 的边 AB 上一动点,求 CD 斜率 k 的变化范围.

题型二 直线方程的形式 1 下列四个命题中的真命题是( )

A.经过定点 P0(x0,y0)的直线都可以用方程 y-y0=k(x-x0)表示 B.经过任意两个不同的点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)· (x2 -x1)=(x-x1)(y2-y1)表示 C.不经过原点的直线都可以用方程

x y ? ? 1 表示 a b

D.经过定点 A(0,b)的直线都可以用方程 y=kx+b 表示

2.过点P(1,2)且在 x 轴,y 轴上截距相等的直线方程是 3 直线 y ? 3x 绕原点逆时针旋转 90? ,再向右平移 1 个单位,所得到的直线为 (

. )

1 1 y ?? x? 3 3

B、 y ? ?

1 x ?1 3

C、 y ? 3x ? 3

D、 y ?

1 x ?1 3

4.已知△ABC 的顶点 A(1,-1),线段 BC 的中点为 D(3, (1)求 BC 边上的中线所在直线的方程;

3 ). 2

(2)若边 BC 所在直线在两坐标轴上的截距和是 9,求 BC 所在直线的方程.

5.方程(m -2m-3)x+(2m +m-1)y=2m-6 满足下列条件,请根据条件分别确定实数 m 的值. (1)方程能够表示一条直线;(2)方程表示一条斜率为-1 的直线.

2

2

6.直线 l 的方程为(a-2)y=(3a-1)x-1(a∈R). (1)求证:直线 l 必过定点; (2)若直线 l 在两坐标轴上的截距相等,求 l 的方程; (3)若直线 l 不过第二象限,求实数 a 的取值范围.

题型三 直线的平行与垂直

1. 已知直线l1 : x ? 2ay ? 1 ? 0与直线l2 : (3a ? 1) x ? ay ? 1 ? 0平行,求实数 a的值

2. 已知直线l1 : (a ? 2) x ? 3ay ? 1 ? 0与直线l2 : (a ? 2) x ? (a ? 2) y ? 3 ? 0平行,求实数 a的值

3 已知点 M(2,2)和 N(5,-2),点 P 在 x 轴上,且∠MPN 为直角,求点 P 的坐标。

4 求 a 为何值时,直线 l1:(a+2)x+(1-a)y-1=0 与直线 l2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0 互相垂直?

5 设 a、b、c 分别是△ABC 中∠A、∠B、∠C 所对边的边长,则直线 sinA·x+ay+c=0 与 bx-sinB·y+sinC=0 的位置关系是( A.平行 B.重合 ) C.垂直 D.相交但不垂直

6、已知过点 A ? ?2,m? 和 B ? m, 4? 的直线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行,则 m 的值 A 、0 7 直线( B、 ?8 C 、2 D、 10 )

3 ? 2 )x+y=3 和直线 x+( 2 ? 3 )y=2 的位置关系是(
B.垂直 C.平行 D.重合

A.相交不垂直

2 x ? my ? 1 ? 0 与直线 l2:y ? 3x ? 1 平行,则 m=_______________ 8 若直线 l1: 

9 过点 P(?1,3) 且垂直于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的直线方程___________________

课后作业练习 1.在下列关于斜率与倾斜角的说法中正确的是( ) A.一条直线与 x 轴正方向所成的正角叫做这条直线的倾斜角 B.倾斜角是第一或第二象限的角 C.直线倾斜角的正切值就是这条直线的斜率 D.斜率为零的直线平行于 x 轴或重合于 x 轴 2. 已知直线 ax+by+c=0(ab≠0)在两坐标轴上的截距相等, 则 a, b, c 满足的条件是( ) A.a=b B.|a|=|b| C.c=0 或 a=b D.c=0 且 a=b 3.过点 P(-2,m)和 Q(m,4)的直线斜率等于 1,那么 m 的值等于( ) A.1 或 3 B.4 C.1 D.1 或 4 4.已知点 A(-1,2),B(2,-2),C(0,3),若点 M(a,b)(a≠0)是线段 AB 上的一点,则直线 CM 的斜率的取值范围是( ) 5 ? A.? B.[1,+∞) ?-∞,-2? 5? ? 5 ? C.? ?-∞,-2?∪[1,+∞) D.?-2,1? 1 5.已知直线 l 的倾斜角 α 满足条件 sinα+cosα= ,则 l 的斜率为( ) 5 4 3 4 3 A. B. C.- D.- 3 4 3 4 6.已知 a>0、b<0、c>0,则直线 ax+by+c=0 必不经过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 7.若直线经过点(1,1),且与两坐标轴围成的三角形的面积为 2,则这样的直线共有( ) A.4 条 B.3 条 C.2 条 D.1 条 8.直线 l1,l2 关于 x 轴对称,l1 的斜率是- 7,则 l2 的斜率是( ) 7 7 A. 7 B.- C. D.- 7 7 7 9. 将直线 l1:x-y-3=0,绕它上面一定点(3,0)沿逆时针方向旋转 15° 得直线 l2,则 l2 的 方程为________. 10. 直线过点(2, -3), 且在两个坐标轴上的截距互为相反数, 则这样的直线方程是________.

11. 在平面直角坐标系中,如果 x 与 y 都是整数,就称点(x,y)为整点,下列命题中正确 的是________(写出所有正确命题的编号). ①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点; ②如果 k 与 b 都是无理数,则直线 y=kx+b 不经过任何整点; ③直线 l 经过无穷多个整点,当且仅当 l 经过两个不同的整点; ④直线 y=kx+b 经过无穷多个整点的充分必要条件是:k 与 b 都是有理数; ⑤存在恰经过一个整点的直线.

12 已知直线 l 的方程是 y=-(a+1)x+2-a(a∈R). (1)若 l 在两坐标轴上的截距相等,求直线 l 的方程; (2)若 l 与两坐标轴所围成的三角形的面积为 2,求直线 l 的方程.

13.为了绿化城市,拟在矩形区域 ABCD 内建一个矩形草坪(如图 K44-1 所示),其中在△ AEF 区域内有一文物保护区不能占用,经测量 AB=100 m,BC=80 m,AE=30 m,AF=20 m,应如何设计才能使草坪面积达到最大?并求这一最大面积.

14. 如图 K43-9,已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的各棱长都是 4,E 是 BC 的中点,动点 F 在侧棱 CC1 上,且不与点 C 重合. (1)当 CF=1 时,求证:EF⊥A1C; (2)设二面角 C-AF-E 的大小为 θ,求 tanθ 的最小值.


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