tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
相关标签
当前位置:首页 >> 数学 >>

高一数学寒假课程第2讲-函数的解析式、定义域和值域


寒假课程· 高一数学

第二讲 函数的解析式、定义域和值域
一、知识梳理
1.函数的概念 设集合 A 是一个非空的数集,对 A 中的任意数 x ,按照确定的法则 f ,都有唯一确定的数 y 与它对 应,则这种对应关系叫做集合 A 上的一个函数.记作 y ? f ( x) , x ? A . 函数的本质含义是定义域内任一 x 值,必须有且仅有惟一的 y 值与之对应. 函数的定义域与值域:函数的定义中,自变量 x 取值的范围叫做这个函数的定义域;所有函数值构成 的集合 y y ? f ( x), x ? A 叫做这个函数的值域. 确定一个函数的两个要素:定义域,对应法则. 函数好比数的加工厂,定义域是加工范围,值域是产品系列, f 是加工手段. 2.函数的表示法:列表法,图象法,解析法. 图象法和解析法是考查的重点. 3.映射的概念 设 A,B 是两个非空的集合,如果按照某种对应法则 f ,对 A 中的任意一个元素 x ,在 B 中有一个 且仅有一个元素 y 与 x 对应,则称 f 是集合 A 到集合 B 的映射. 这时,称 y 是 x 在映射 f 作用下的象,记作 f ( x) ,于是 y = f ( x) , x 称作 y 的原象. 映射 f 也可记为

?

?

f :A?B

x ? f ( x)

其中 A 叫做映射 f 的定义域,由所有象 f ( x) 构成的集合叫做映射 f 的值域.

二、方法归纳
求函数的解析式的一般方法:配凑法、换元法、待定系数法、特殊值法等等. 求函数的定义域的一般原则:分母不为零,偶次根下的式子不负,零的零次幂没意义,零和负数无对 数,等等. 求函数的值域的常见方法:直接法、配方法、换元法、判别式法、数形结合法、反函数法、单调性法 等等. 判断某“对应法则”是否为 A→B 的映射,主要表现为“一对一”及“多对一”的两种特殊对应;应 特别注意:①A 中任一元素在 B 中应有象,且象唯一;②B 中可以有空闲元素,即 B 中可以有元素没有原 象.

三、典型例题精讲
1

寒假课程· 高一数学

【例 1】如果 f ( x ? 1) ? x ? 5 x ? 4 ,那么 f ( x) =
2

.

技巧提示: (1)凑配法:若已知 f ( g ( x)) 的表达式,需求 f ( x) 的表达式,可把 g ( x) 看成一个整体, 把右边变为由 g ( x) 组成的式子,再将 g ( x) 统一换为 x ,求出 f ( x) 的表达式. (2) 换元法: 已知 f ( g ( x)) 的表达式, 需求 f ( x) , 我们常设 t ? g ( x) , 从而求得 x ? g (t ) , 然后代入 f ( g ( x)) 的表达式,从而得到 f (t ) 的表达式,即为 f ( x) 的表达式. 用凑配法和换元法求 f ( x) 的解析式时,不单是关注对应法则的变化,还需要考虑定义域的变化. 又例:已知 f (2 x ? 1) ? 4 x ? 1 , 1 ? x ? 3 ,求函数 f ( x) .
?1

再例:已知函数 f ( x) 满足 f (log a x) =

a 1 ( x ? ) ( a >0, a ≠1, x >0),求 f ( x) 的表达式. x a ?1
2

【例 2】已知二次函数 f ( x) = ax 2 ? bx ? c 满足 f (1) ? f (?1) ? f (0) ? 1 ,求 f ( x) 的表达式

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

2

寒假课程· 高一数学

技巧提示:待定系数法:若已知 f ( x) 的结构时,可设出含参数的表达式,再根据已知条件,列方程 或方程组,从而求出待定的参数,求得 f ( x) 的表达式. 又例:已知一次函数 f ( x) 满足 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) = 2 x ? 17 ,求 f ( x) 的表达式.

1 x2 ? a (b, c ?N+)满足 f (0) =0, f (2) =2,且 f (?2) < ? .求函数 f ( x) 再例:如果函数 f ( x) ? bx ? c 2
的解析式.

【例 3】 已知 f ( x) 满足对任意 x ? R , x ? 0 ,有 2 f ( x) ? f ( ) ? 2 x .求 f ( x) .

1 x

技巧提示:若已知以函数为元的方程形式,若能设法构造另一个方程,组成方程组,再解这个方程组, 求出函数元,称这个方法为消元法. 又例: 设 f ( x) 满足 f (0) =1, 并且 f ( x ? y) ? f ( x) ? y(2 x ? y ? 1) 对任意实数 x 、y 都成立, 求 f ( x) 的解析式.

3

寒假课程· 高一数学

技巧提示:赋值法:在求某些函数的表达式或求某些函数值时,有时把已知条件中的某些变量赋值, 使问题简单明了,从而易于求出函数的表达式. 【例 4】求函数 y ?

1 ? 9 ? x 2 的定义域. ln( x ? 1)

技巧提示:求函数的定义域就是要使函数有意义,目前我们知道:分母为零无意义,负数开偶次方无 意义,零的零次幂没意义,零和负数的对数无意义等等.求函数的定义域往往需要解不等式或不等式组; 使函数有意义就要使函数的每一部分都要有意义,所以通常需要求数集的交集. 又例:(1)函数 f ? x ? ?

4? x ? log 3 ?x ? 1? 的定义域是 x ?1
.



(2)函数

y ? log 2 (3x ? 2) 的定义域是
3

再例:函数 y ? ?

?e x ?x
2

x?0 0 ? x ?1

的定义域是

.

【例 5】 若 y ? f ( x) 的定义域为 ?0,2?,则 f (ln x) 的定义域是



技巧提示:函数 y ? f ( x) 的定义域为 ?0,2?,意思是 f 只能对 ?0,2?中的数作用,也就是对 ?0,2? 中的数

f 才有意义.函数 f (ln x) 要有意义,必须 f 对 ln x 能作用,所以必须 0 ? ln x ? 2 .
又例:已知函数 f ( x) ? A.0< m ≤4

mx 2 ? mx ? 1 的定义域是全体实数,则 m 的取值范围是(
C. m ≥4 D.0≤ m ≤4



B.0≤ m ≤1

4

寒假课程· 高一数学

技巧提示:这是求函数的定义域的逆问题,即给定函数的定义域,求参数的取值范围.此问题转化为 不等式恒成立问题,但要注意二次函数的二次项系数为字母时的分类讨论.

再例:已知函数 f ( x) ?

(a 2 ? 1) x 2 ? (a ? 1) x ?

2 的定义域为 R ,求实数 a 的取值范围. a ?1

【例 6】 求函数 y ? 2 ? ? x ? 4 x 的值域.
2

技巧提示:配方法能解决与二次函数有关的函数的值域问题. 本题可以直接配方,得 y ? 2 ? ? x ? 4 x = 2 ?
2

4 ? ( x ? 2) 2 ,

然后经分析得所求函数的值域为 y ? ? ?0, 2? ,因此,有时直接分析也能得到函数的值域. 又例:求 y ? ? x 2 ? 4 ? 2 的值域.

再例:求函数 y ?

x2 ? x 的值域. x2 ? x ?1

5

寒假课程· 高一数学

技巧提示:配方法、分析法、配方分析法都是解决含 x 2 项的函数值域问题的重要方法.本题亦可采用 判别式法: 将y?

x2 ? x 2 重新整理为关于 x 的二次方程,得 ( y ? 1) x ? ( y ? 1) x ? y ? 0 , 2 x ? x ?1

这个关于 x 的二次方程有解,∴ y ? 1 且判别式△ ≥0, 由△ ≥0,得 ( y ? 1) ? 4( y ? 1) y ≥0, ∴ ?
2

1 ? y ? 1. 3

∴ 所求函数的值域为 y ? ?? ,1? .

? 1 ? 3

【例 7】已知函数 y ?

2 x 2 ? ax ? b 的值域为[1,3],求 a 、 b 的值. x2 ?1

技巧提示:这是求函数的值域的逆问题,即在给定函数值域的条件下求参数的值.解决此问题的关键 在于把求值域的问题和解一元二次不等式的问题联系起来,最后通过比较同解不等式的系数,列方程求出 参数的值.

x 2 ? 2x ? a , x ? ?1,?? ? . 又例:已知 f ( x) = x
(1)当 a =

1 时,求函数 f ( x) 的最小值; 2

(2)若对任意 x ? ?1,?? ? , f ( x) >0 恒成立,试求实数 a 的取值范围.

6

寒假课程· 高一数学

四、课后训练
1.已知 f ( x ) ? log 2 x ,则 f (8) ? (
6



A.

4 3

B. 8

C.18

D.

1 2

2.已知函数 f (n) = ? A.2 3.若函数 f ( x) = A.3

?n ? 3(n ? 10), 其中 n ∈N,则 f (8) 等于( ) ? f [ f (n ? 5)]( n ? 10),
B.4 C.6 D.7 )

mx 3 ( x ≠ )在定义域内恒有 f ( f ( x)) = x ,则 m =( 4 4x ? 3 3 3 B. C.- D. -3 2 2
2

4. (1)已知 f ( x) 的定义域为 ? ?2, 2? ,求 f ( x ? 1) 的定义域; (2)已知 f ( x) 的定义域为 ?0,1? ,求函数 F ( x) ? f ( x ? a) ? f ( x ? a) 的定义域.

5.已知函数 f ( x) ?

kx ? 7 的定义域是 R ,求实数 k 的取值范围. kx ? 4kx ? 3
2

6.已知函数 f ( x) = log 2

1? x . 1? x
x1 ? x 2 ); 1 ? x1 x 2

(1)求证: f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? f (

(2)若 f (

a?b 1 ) =1, f (?b) ? ,求 f (a) 的值. 1 ? ab 2
2x 2 ? 4x ? 7 的值域. x 2 ? 2x ? 3

7.求函数 y ?

8.求函数 y ? 2 x ? 3 ? 13 ? 4 x 的值域. 9.求函数 y = 10.求函数 y=

ax 2 ? x ? 1 ( x >-1 且 a >0)的最小值. x ?1

x ? 1 ? x 的最大值和最小值.

7


推荐相关:

高一数学寒假课程第7讲-函数的综合应用

寒假课程· 高一数学 第七讲一、知识梳理函数的解析式 函数的综合应用 函数的...有效地揭示了各类函数的定义域值域、单调 性、奇偶性、周期性等基本属性,体现...


高一数学寒假课程说明

1 寒假课程说明· 高一数学 课程主要内容及课时安排: 讲次第1讲 第2讲 第3...函数的解析式定义域和值域 函数的基本性质 基本初等函数 函数图象的变换 函数...


2015-2016学年天津市高一数学寒假课程学案:第7讲《函数...

2015-2016学年天津市高一数学寒假课程学案:第7讲《...有效地揭示了各类函数的定义 域值域、单调性、...a 2 解析:由条件 f (2) ? g (2) ? a 2 ...


高一数学寒假课程第5讲-函数图像的变换

对称性等方面的观察, 获取有关函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性等...2 寒假课程· 高一数学 又例:函数 y ? 3 log3 x 的图象大致是( ) 解析...


高一数学寒假课程第3讲-函数的基本性质

高一数学寒假课程第3讲-函数的基本性质_数学_高中教育...(2)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质...若 函数的解析式能化简,一般应考虑先化简,但化简...


高一数学函数基础专题之解析式定义域值域求法_高一综合...

高一高一数学函数基础专题之解析式定义域值域求法的经典解法视频教程,为能教育中高考学堂全套教学,在线学习高一综合题课程,高一数学函数基础专题之解析式定义域值域求...


高一数学寒假课程第3讲-函数的基本性质

高一数学寒假课程第3讲-函数的基本性质_数学_高中教育...(2)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质...若 函数的解析式能化简,一般应考虑先化简,但化简...


高一数学寒假课程第9讲-三角函数的图像及性质

1 寒假课程· 高一数学 结论:如果函数 f ( x ?...? ,?2 ? 平移,则平移后所得图象的解析式为( ?...1 ,求它的定义域和值域,并判断奇偶性. cos 2 x...


高一数学寒假课程第5讲-函数图像的变换

对称性等方面的观察, 获取有关函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性等...3 log3 x 的图象大致是( ) 第 2 页共 2 页 高一数学 解析: 由 log3 ...


高一数学寒假课程第9讲-三角函数的图像及性质

高一数学寒假课程第9-三角函数的图像及性质_数学_...? ,?2 ? 平移,则平移后所得图象的解析式为( ?...3 cos2 x ? 1 ,求它的定义域和值域,并判断...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com