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2008年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题


2008 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题
一、选择题(本题满分 30 分,每小题 6 分) 1. 如果实数 m,n,x,y 满足 m ? n ? a , x 2 ? y 2 ? b ,其中 a,b 为常数,那么 mx+ny
2 2

的最大值为 A.

答:[ ] B.

a?b 2
<

br />ab

C.

a 2 ? b2 2

D.

a2 ? b2 2
?1 1? ?2 4?

2. 设 y ? f ( x) 为指数函数 y ? a x . 在 P(1,1),Q(1,2),M(2,3), N ? , ? 四点中,函数

y ? f ( x) 与其反函数 y ? f ?1 ( x) 的图像的公共点只可能是点
A. P B. Q C. M D. N

答:[ ]

3. 在如图的表格中,如果每格填上一个数后,每一横行成等差数列,每一纵列成等比 数列,那么 x ? y ? z 的值为 A. 1 C. 3 B. 2 D. 4 1 0.5 2 1 答:[ ]

x
y

z
4. 如果 ?A1 B1C1 的三个内角的余弦值分别是 ?A2 B2 C2 的三个内角的正弦值,那么 答:[ ] A. ?A1 B1C1 与 ?A2 B2 C2 都是锐角三角形 B. ?A1 B1C1 是锐角三角形, ?A2 B2 C2 是钝角三角形 C. ?A1 B1C1 是钝角三角形, ?A2 B2 C2 是锐角三角形 D. ?A1 B1C1 与 ?A2 B2 C2 都是钝角三角形 5. 设 a,b 是夹角为 30° 的异面直线,则满足条件“ a ? ? , b ? ? ,且 ? ? ? ”的 平面 ? , ?
第 1 页 共 9 页

答: [ ]

A. 不存在 C. 有且只有两对

B. 有且只有一对 D. 有无数对

二、填空题(本题满分 50 分,每小题 10 分) 6. 设集合 A ? x x 2 ? ?x? ? 2 和B ? x x ? 2 ,其中符号 ?x ? 表示不大于 x 的最大整数,则

?

?

?

?

A? B ?

.

7. 同时投掷三颗骰子,于少有一颗骰子掷出 6 点的概率是 P= 分数).

(结果要求写成既约

8. 已知点 O 在 ?ABC 内部, OA ? 2OB ? 2OC ? 0 . ?ABC与?OCB 的面积之比为

A O B C

9. 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0 外切,且与 y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程为



10. 在 ?ABC 中,若 tanAtanB=tanAtanC+tanctanB,则

a2 ? b2 = c2

.

三、解答题(本题满分 70 分,各小题分别为 15 分、15 分、20 分、20 分)

0?m?n, 11. 已知函数 f ( x) ? ?2 x 2 ? bx ? c 在 x ? 1 时有最大值 1, 并且 x ? ?m, n?时,f ( x)
的取值范围为 ? ,

?1 1 ? . 试求 m,n 的值. ?n m? ?

第 2 页 共 9 页

12.

A、B 为双曲线 (Ⅰ)求证:

x2 y2 ? ? 1 上的两个动点,满足 OA? OB ? 0 。 4 9
1
2

?

OA

1 为定值; 2 OB

(Ⅱ)动点 P 在线段 AB 上,满足 OP ? AB ? 0 ,求证:点 P 在定圆上.

13. 如图,平面 M、N 相交于直线 l. A、D 为 l 上两点,射线 DB 在平面 M 内,射线 DC 在平面 N 内. 已知 ?BDC ? ? , ?BDA ? ? , ?CDA ? ? ,且 ? , ? , ? 都是 锐角. 求二面角 M ? l ? N 的平面角的余弦值(用 ? , ? , ? 的三角函数值表示).
N C A D

B M

14. 能否将下列数组中的数填入 3× 3 的方格表,每个小方格中填一个数,使得每行、每列、两 条对角线上的 3 个数的乘积都相等?若能,请给出一种填法;若不能,请给予证明. (Ⅰ)2,4,6,8,12,18,24,36,48; (Ⅱ)2,4,6,8,12,18,24,36,72.

2008 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题
第 3 页 共 9 页

参考答案及评分标准
一、选择题(本题满分 30 分,每小题 6 分) 1. 如果实数 m,n,x,y 满足 m ? n ? a , x 2 ? y 2 ? b ,其中 a,b 为常数,那么 mx+ny
2 2

的最大值为 A. 解

答:[B] B.

a?b 2

ab

C.

a 2 ? b2 2

D.

a2 ? b2 2

由柯西不等式 (mx? ny) 2 ? (m2 ? n 2 )(x 2 ? y 2 ) ? ab ;或三角换元即可得到

mx ? ny ? ab ,当 m ? n ? a , x ? y ? b 时, mx? ny ? ab . 选 B.
2
2

2. 设 y ? f ( x) 为指数函数 y ? a x . 在 P(1,1),Q(1,2),M(2,3), N ? , ? 四点中,函数

?1 1? ?2 4?

y ? f ( x) 与其反函数 y ? f ?1 ( x) 的图像的公共点只可能是点
A. P B. Q C. M
1

答:[D]

D. N
1

1 ? 1 ?4 1 ? 1 ?2 1 解 取a ? ,把坐标代入检验,? ? ? ? ,而 ? ? ? ,∴公共点只可能是 16 2 4 ? 16 ? ? 16 ?
点 N. 选 D. 3. 在如图的表格中,如果每格填上一个数后,每一横行成等差数列,每一纵列成等比 数列,那么 x ? y ? z 的值为 A. 1 C. 3 B. 2 D. 4 1 0.5 2 1 答: [A]

x
y

z
解 第一、 二行后两个数分别为 2.5, 3 与 1.25, 1.5; 第三、 四、 五列中的 x ? 0.5 ,y ?

5 , 16

z?

3 ,则 x ? y ? z ? 1 . 选 A. 16

4. 如果 ?A1 B1C1 的三个内角的余弦值分别是 ?A2 B2 C2 的三个内角的正弦值,那么 答:[B] A. ?A1 B1C1 与 ?A2 B2 C2 都是锐角三角形
第 4 页 共 9 页

B. ?A1 B1C1 是锐角三角形, ?A2 B2 C2 是钝角三角形 C. ?A1 B1C1 是钝角三角形, ?A2 B2 C2 是锐角三角形 D. ?A1 B1C1 与 ?A2 B2 C2 都是钝角三角形 解 两个三角形的内角不能有直角; ?A1 B1C1 的内角余弦都大于零,所以是锐角三角形; 若 ?A2 B2 C2 是锐角三角形,则不妨设 cos A1 =sin A2 =cos ?

?? ? ?? ? ? A1 ? , cos B1 =sin B2 =cos ? ? A2 ? , ?2 ? ?2 ? ?? ? ? C1 ? . ?2 ?

cos C1 =sin C 2 =cos ?



A1 ?

?
2

? A2 , B1 ?

?
2

? B2 , C1 ?

?
2

? C2 ,



A1 ? B1 ? C1 ?

3? ? ( A2 ? B2 ? C 2 ) ,矛盾. 选 B. 2

5. 设 a,b 是夹角为 30° 的异面直线,则满足条件“ a ? ? , b ? ? ,且 ? ? ? ”的 平面 ? , ? A. 不存在 C. 有且只有两对 解 B. 有且只有一对 D. 有无数对 答: [D]

任作 a 的平面 ? ,可以作无数个. 在 b 上任取一点 M,过 M 作 ? 的垂线. b 与

垂线确定的平面 ? 垂直于 ? . 选 D. 二、填空题(本题满分 50 分,每小题 10 分) 6. 设集合 A ? x x ? ?x? ? 2 和B ? x x ? 2 ,其中符号 ?x ? 表示不大于 x 的最大整数,则
2

?

?

?

?

A ? B ? ? 1, 3 .
解 ∵ x ? 2 , ?x ? 的值可取 ? 2,?1,0,1 . 当[x]= ? 2 ,则 x ? 0 无解;
2

?

?

当[x]= ? 1 ,则 x ? 1 ,∴x= ? 1 ;
2

当[x]=0,则 x ? 2 无解;
2

当[x]=1,则 x ? 3 ,∴ x ?
2

3.

所以 x ? ?1或 3 .

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7. 同时投掷三颗骰子,于少有一颗骰子掷出 6 点的概率是 P ? 分数).

91 (结果要求写成既约 216

91 ?5? 解 考虑对立事件, P ? 1 ? ? ? ? . 216 ?6?
8. 已知点 O 在 ?ABC 内部, OA ? 2OB ? 2OC ? 0 . ?ABC与?OCB 的面积之比为 5:1. 解 由图, ?ABC 与 ?OCB 的底边相同,

3

A O B C

高是 5:1. 故面积比是 5:1.

9. 与圆 x ? y ? 4 x ? 0 外切,且与 y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程为 y 2 ? 8x( x ? 0) 或
2 2

y ? 0( x ? 0) .
解 由圆锥曲线的定义,圆心可以是以(2,0)为焦点、 x ? ?2 为准线的抛物线上的点;若

切点是原点,则圆心在 x 轴负半轴上.所以轨迹方程为 y 2 ? 8x( x ? 0) ,或 y ? 0( x ? 0) . 10. 在 ?ABC 中,若 tanAtanB=tanAtanC+tanctanB,则

a2 ? b2 =3. c2



切割化弦,已知等式即

sin A sin B sin A sin C sin B sin C ? ? , cos A cos B cos A cos C cos B cos C

亦即

sin A sin B cos C ab cos C sin A sin B sin( A ? B) ? ? 1. ,即 =1,即 2 sin C cos C sin C c2

a2 ? b2 ? c2 a2 ? b2 ? 1 ,故 ? 3. 所以, 2c 2 c2
三、解答题(本题满分 70 分,各小题分别为 15 分、15 分、20 分、20 分)

0?m?n, 11. 已知函数 f ( x) ? ?2 x ? bx ? c 在 x ? 1 时有最大值 1, 并且 x ? ?m, n?时,f ( x)
2

的取值范围为 ? ,

?1 1 ? . 试求 m,n 的值. ?n m? ?
2

解 由题 f ( x) ? ?2( x ?1) ? 1 ,

??5 分

? f ( x) ? 1 ,?

1 ? 1 ,即 m ? 1 ,? f ( x)在?m, n? 上单调减, m
第 6 页 共 9 页

? f (m) ? ?2(m ? 1) 2 ? 1 ?

1 1 2 且 f (n) ? ?2( n ? 1) ? 1 ? . m n

??10 分

?m ,n 是方程 f ( x) ? ?2( x ? 1) 2 ? 1 ?

1 的两个解,方程即 x

( x ?1)(2 x 2 ? 2 x ?1) =0,
解方程,得解为 1,

1? 3 1? 3 , . 2 2 1? 3 . 2
??15 分

?1 ? m ? n ,? m ? 1 , n ?

12.

A、B 为双曲线 (Ⅰ)求证:

x2 y2 ? ? 1 上的两个动点,满足 OA? OB ? 0 。 4 9
1
2

?

1 OB
2

为定值;

OA

(Ⅱ)动点 P 在线段 AB 上,满足 OP ? AB ? 0 ,求证:点 P 在定圆上. 证 (Ⅰ) 设点 A 的坐标为 (r cos? , r sin ? ) , B 的坐标为 (r ? cos? ?, r ? sin ? ?) , 则 r ? OA ,

? cos2 ? sin 2 ? ? r ? ? OB ,A 在双曲线上,则 r 2 ? ? 4 ? 9 ? ? ? 1. ? ?
1 cos2 ? sin 2 ? ? 所以 2 ? . 4 9 r
由 OA ? OB ? 0 得 OA ? OB ,所以 cos ? ? ? sin ? , cos ? ? sin ? ? .
2 2 2 2

??5 分

同理,

1 cos2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? cos2 ? ? ? ? ? , 4 9 4 9 r ?2

所以

1 | OA |2

?

1 | OB |2

?

1 1 1 1 5 . ? 2 ? ? ? 2 4 9 36 r r'

??10 分

(Ⅱ)由三角形面积公式,得 OP ? AB ? OA? OB ,所以
2 2 2 2 2 2 2 2 2 ? OP ? AB ? OA ? OB ,即 OP ? ? ? OA ? OB ? ? OA ? OB . ? ?

第 7 页 共 9 页

? ? 2 2 2 ? ? 1 1? ? 5? 即 OP ? ? 1 ? 1 ? ? OP ? ? ? ? OP ?? ? ?1. ? ? 2 2 ?4 9? ? 36 ? ? OA OB ? ? ?
于是, OP 2 ? 36 . 5 即 P 在以 O 为圆心、

6 5 为半径的定圆上. 5

??15 分

13. 如图,平面 M、N 相交于直线 l. A、D 为 l 上两点,射线 DB 在平面 M 内,射线 DC 在平面 N 内. 已知 ?BDC ? ? , ?BDA ? ? , ?CDA ? ? ,且 ? , ? , ? 都是 锐角. 求二面角 M ? l ? N 的平面角的余弦值(用 ? , ? , ? 的三角函数值表示). 解 在平面 M 中,过 A 作 DA 的垂线, 交射线 DB 于 B 点;
A D N C

在平面 N 中,过 A 作 DA 的垂线, 交射线 DC 于 C 点. 设 DA=1,则
B M

AB ? tan? , DB ? AC ? tan? , DC ?

1 , cos ?
1 , cos?
??5 分 ??10 分

并且 ?BAC ? ? 就是二面角 M ? l ? N 平面角. 在 ?DBC与?ABC 中,利用余弦定理,可得等式

BC 2 ?

1 1 2 ? ? cos? ? tan2 ? ? tan2 ? ? 2 tan? tan? cos? , 2 2 cos ? cos ? cos? cos?
2 2

所以, 2 tan ? tan? cos? ? tan ? ? tan ? ?

1 1 2 ? ? cos? 2 2 cos ? cos ? cos? cos?
??15 分

= 故得到 cos? ?

2(cos? ? cos? cos? ) , cos? cos?

cos? ? cos ? cos? . sin ? sin ?

??20 分

14. 能否将下列数组中的数填入 3× 3 的方格表,每个小方格中填一个数,使得每行、每列、两
第 8 页 共 9 页

条对角线上的 3 个数的乘积都相等?若能,请给出一种填法;若不能,请给予证明. (Ⅰ)2,4,6,8,12,18,24,36,48; (Ⅱ)2,4,6,8,12,18,24,36,72.

解(Ⅰ)不能. 因为若每行的积都相等,则 9 个数的积是立方数. 但是 2× 4× 6× 8× 12× 18× 24× 36× 48=21+2+1+3+2+1+3+2+4× 3 (Ⅱ)可以. 如右表
1?1? 2?1? 2?1

??5 分

=219· 38 不是立方数,故不能. ??15 分

36 8 6

2 12 72

24 18 4

表中每行、每列及对角线的积都是 26·23.

??20 分

第 9 页 共 9 页


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