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2015高职单招数学试卷WORD含答案(面向普通高中学生)


2015 年福建省高等职业单招数学适应性试卷 (面向普通高中考生)
第Ⅰ卷(选择题 共 70 分)

一.单项选择题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. ) 1.复数 i ? i 2 等于( ) A. 1 ? i B. 1 ? i C. ? 1 ? i D. ? 1 ? i

2.已知函数 f ( x) ? 2x ? 2 ,则 f (1) 的值为( ) A. 2 3. 函数 y ? A. ? ?1,0? B. 3 C. 4 D. 6

x ?1 的定义域为( ) x
B. ? 0, ??? C. ? ?1,0?

?0, ???

D. ? ??,0?

? 0, ???

4.执行如图所示的程序框图,若输入的 x 的值为 3,则输出的 y 的值为( ) A.4 : B.5 C.8 D.10

5.若 x ∈R,则“ x =1”是“ x =1”的( ) A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D. 既不充分又不必要条件

6.下列函数中,在其定义域内既是奇函数,又是减函数的是( ) A. y ? ? x
3

B. y ? sin x

C. y ? tan x

D. y ? ( )

1 2

x

?1?x 7. 函数 y=? ? +1 的图象关于直线 y=x 对称的图象大致是( ) ?2?

? 4 8. 已知 cos ? = , ? ? ( ? , 0) ,则 sin ? +cos ? 等于( ) 5 2
1 A.- 5 B. 1 5 7 C.- 5 7 D. 5

9. 函数 f ?x? ? 3x ? x ? 2 的零点所在的一个区间是( ) A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2)

? x ? 2, ? 10.若变量 x , y 满足约束条件 ? y ? 2, 则 z ? 2 x ? y 的最大值是( ) ? x ? y ? 2, ?
A. 2 B. 4 C.5 D.6

11.若双曲线方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,则其离心率等于( ) 9 16
B.

A.

3 5

4 5

C.

5 4

D.

5 3

12.如右图所示是某一容器的三视图,现向容器中匀速注水,容器中水面的高度 h 随时间 t 变化 的可能 图象是( )

13.过原点的直线与圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 3 ? 0 相切,若切点在第三象限,则该直线的方程是( ) A. y ? 3x B. y ? ? 3x C. y ? ?

3 x 3

D. y ?

3 x 3


2 14. 已知 f ( x) 是奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? ? x ? x ,则不等式 xf ( x) ? 0 的解集为(

A. (??, ?1)

(0,1)

B. (?1,0)

(1, ??)

C. (?1,0)

(0,1)

D. (??, ?1)

(1, ??)

第Ⅱ卷(非选择题

共 80 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 15.若集合 A ? { 0, m } , B ? { 0, 2} , A ? B ? { 0,1,2} ,则实数 m ? 16.已知已知向量 a ? (3,1) , b ? ( x, ?3) ,若 a ? b ,则 x ? . .

17.如图,在边长为 5 的正方形中随机撒 1000 粒黄豆,有 200 粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面 积为 . .

18.若 lg x ? lg y ? 2, 则 x ? y 的最小值为

三、解答题(本大题共 6 小题,共 60 分) 19.(本小题满分 8 分)已知△ ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 a ? 2, b ? 4, C ? 60 . ( Ⅰ)求△ ABC 的面积; (Ⅱ)求 c 的值.

20.(本小题满分 8 分)在等比数列 ?an ? 中,公比 q ? 2 ,且 a2 ? a3 ? 12 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的前 2015 项和 S2015 .

21.(本小题满分 10 分)某机器零件是如图所示的几何体(实心) ,零件下面是边长为 10cm 的正方体, 上面是底面直径为 4cm,高为 10cm 的圆柱. (Ⅰ)求该零件的表面积; (Ⅱ)若电镀这种零件需要用锌,已知每平方米用锌 0.11kg ,问制造 1000 个这样 的零件,需要锌多少千克?(注: ? 取 3.14 )

22.(本小题满分 10 分)甲乙两台机床同时生产一种零件,5 天中,两台机床每天的次品数分别是: 甲 1 0 2 0 2 乙 1 0 1 0 3

(Ⅰ )从甲机床这 5 天中随机抽取 2 天,求抽到的 2 天生产的零件次品数均不超过 1 个的概率; (Ⅱ )哪台机床的性能较好?

23.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln x ?

a ,a?R . x

(Ⅰ )当 a ? 0 时,判断 f ( x ) 在定义域上的单调性; (Ⅱ )若 f ( x ) 在 [1, e] 上的最小值为 2,求 a 的值.

0) 且斜率为 k1 的直线交抛物 24.(本小题满分 12 分)如图,已知抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F ,过点 P(2,
BF 分别与抛物线交于点 M 、 N. 线于 A( x1, y2 ) 两点,直线 AF、 y1 ) , B( x2,
(Ⅰ)证明 OA ? OB 的值与 k1 无关; (Ⅱ)记直线 MN 的斜率为 k2 ,证明

k1 为定值. k2

一、单项选择题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.C 2.C 3.C 4.C 5.A 6.A 7.A 8.B 9.C 10.D 11.D 12.B 13.D 14.D

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 15.1 16.1 17.5 18.20

三、解答题(本大题共 6 小题,共 60 分. ) 19.解: (Ⅰ)因为 a ? 2, b ? 4, C ? 60 , 所以 S
ABC

1 ab sin C ?????????????????2 分 2 1 ? ? 2 ? 4 ? sin 60? ? 2 3 . ??????????????4 分 2 ?
2 2

(Ⅱ)因为 c ? a ? b ? 2ab cos C
2

?????????????????6 分

? 22 ? 42 ? 2 ? 2 ? 4 ? cos 60?
? 12 ,
所以 c ? 2 3 . 20.解: (Ⅰ)因为公比 q ? 2 , 且 a2 ? a3 ? 12 ,所以 2a1 ? 4a1 ? 12 , 所以 an ? 2n . 解得 a1 ? 2 , ?????2 ?????????????????8 分

?????????????????4 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 a1 ? 2 , q ? 2 ,

S2015 ?

a1 (1 ? q 2015 ) 2(1 ? 22015 ) ? 1? q 1? 2

?????????????6 分

? 22016 ? 2 .

?????????????8 分 ????????4 分

21.解:(Ⅰ)零件的表面积 S ? 6 ?10 ?10 ? 4 ? 3.14 ?10

? 725.6 ( cm2 ) ? 0.07256 m 2 .
该零件的表面积 0.07256 m . (Ⅱ)电镀 1000 个这种零件需要用的锌为
2

????????????6 分

0.07256 ? 0.11?1000

????????????8 分

? 7.9816 ( kg ).

????????????10 分

所以制造 1000 个这样的零件,需要锌 7.9816 千克. 22.解: (Ⅰ)从甲机床这 5 天中随机抽取 2 天, 共有 (1,0) , (1,2) , (1,0) , (1,2) ,(0,2), (0,0) , (0,2) , (2,0) , (2,2) , (0,2) 等 10 个基本事件, 分 其中所取的两个零件均为合格品的事件有(1,0) , (1,0) , (0,0)等 3 个. 分 记“从甲机床这 5 天中随机抽取 2 天,抽到 2 天生产的零件次品数均不超过 1 个”为事件 A , 则 ????..4 ?????????????..2

P ( A) ?

3 . 10

??????????5 分

(Ⅱ)因为 x甲 ? x乙 =1,

1 2 s甲 ? [(1 ? 1) 2 ? (0 ? 1) 2 ? (2 ? 1) 2 ? (0 ? 1) 2 ? (2 ? 1) 2 ] ? 0.4 , 5 1 2 s乙 ? [(1 ? 1) 2 ? (0 ? 1) 2 ? (1 ? 1) 2 ? (0 ? 1) 2 ? (3 ? 1) 2 ] ? 0.8 , 5
2 2 所以 s甲 ,即甲台机床的性能较好. ? s乙

???7 分 ???9 分 ???10 分

23.解: (Ⅰ)由题意: f ( x ) 的定义域为 (0, ??) ,且 f ?( x) ?

1 a x?a ? ? 2 .??????2 分 x x2 x

a ? 0,? f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 (0, ??) 上是单调递增函数.???????5 分
(Ⅱ)因为 f ?( x) ?

x?a x2

① 若 a ? ?1 ,则 x ? a ? 0 ,即 f ?( x) ? 0 在 [1, e] 上恒成立,此时 f ( x ) 在 [1, e] 上为增函数, . f ( x)min ? f ?1? ? ?a ? 2 , ? a ? ?2 (舍去) ?????7 分

② 若 a ? ? e ,则 x ? a ? 0 ,即 f ?( x) ? 0 在 [1, e] 上恒成立,此时 f ( x ) 在 [1, e] 上为减函数

? f ( x) min ? f ? e ? ? 1 ?

a ?2 e

所以, a ? ?e

????????9 分

③ 若 ?e ? a ? ?1 ,令 f ?( x) ? 0 得 x ? ?a , 当 1 ? x ? ? a 时, f ?( x) ? 0,? f ( x) 在 (1, ?a) 上为减函数, 当 ?a ? x ? e 时, f ?( x) ? 0,? f ( x) 在 (?a, e) 上为增函数,

f ( x)min ? f ? ?a ? ? ln(?a) ?1 ? 2 , a ? ?e(舍去) ,
综上可知: a ? ?e .

???????11 分

????????12 分

24.解:证明: (Ⅰ)依题意,设直线 AB 的方程为 x ? my ? 2(m ? 0) . ?????1 分 将其代入 y 2 ? 4 x ,消去 x ,整理得 y 2 ? 4my ? 8 ? 0 .????2 分 y 从而 y1 y2 ? ?8 ,于是 x1 x2 ? A N 0 M B
第 24 题图

y y 64 ? ? ? 4 , ??????3 分 4 4 16

2 1

2 2

∴ OA ? OB ? x1x2 ? y1 y2 ? 4 ? 8 ? ?4 与 k1 无关. ??????5 分 (Ⅱ)证明:设 M ( x3, y3 ) , N ( x4, y4 ) .

F

P

x

y32 y4 2 ? k1 y1 ? y2 x3 ? x4 y1 ? y2 4 4 ? y3 ? y4 .????8 分 则 ? ? ? 2 ? 2 k2 x1 ? x2 y3 ? y4 y1 y y3 ? y4 y1 ? y2 ? 2 4 4
设直线 AM 的方程为 x ? ny ? 1(n ? 0) ,将其代入 y 2 ? 4 x ,消去 x , 整理得 y 2 ? 4ny ? 4 ? 0 ∴ y1 y3 ? ?4 . 同理可得 y2 y4 ? ?4 . ??????10 分

?4 ?4 ? k1 y3 ? y4 y1 y2 ?4 故 , ? ? ? k2 y1 ? y2 y1 ? y2 y1 y2
由(Ⅰ )知, y1 y2 ? ?8 ,∴

??????11 分

k1 1 ? 为定值. k2 2

??????12 分



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