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高中数学 第5课时 交集、并集教案 苏教版必修1


第五课时

交集、并集(一)

教学目标: 使学生正确理解交集与并集的概念,会求两个已知集合交集、并集;通过概念教学,提高逻辑思维能 力,通过文氏图的利用,提高运用数形结合解决问题的能力;通过本节教学,渗透认识由具体到抽象过程. 教学重点: 交集与并集概念.数形结合思想. 教学难点: 理解交集与并集概念、符号之间区别与联系. 教学过程: Ⅰ

.复习回顾 集合的补集、全集都需考虑其元素,集合的元素是什么这一问题若解决了,涉及补集、全集的问题也 就随着解决. Ⅱ.讲授新课 [师]我们先观察下面五个图 幻灯片:

请回答各图的表示含义. [生]图(1)给出了两个集合 A、B. 图(2)阴影部分是 A 与 B 公共部分. 图(3)阴影部分是由 A、B 组成. 图(4)集合 A 是集合 B 的真子集. 图(5)集合 B 是集合 A 的真子集. 师进一步指出 图(2)阴影部分叫做集合 A 与 B 的交集. 图(3)阴影部分叫做集合 A 与 B 的并集. 由(2)、(3)图结合其元素的组成给出交集定义. 幻灯片: 1.交集 一般地,由所有属于 A 且属 于 B 的元素所组成的集合,叫做 A 与 B 的交集. 记作 A∩B(读作“A 交 B” ) 即 A∩B={x|x∈A,且 x∈B} 借此说法,结合图(3),请同学给出并集定义 幻灯片: 2.并集 一般地,由所有属于 A 或属于 B 的元素组成的集合,叫做集合 A 与 B 的并集. A 与 B 的并集记作 A∪B(读作“A 并 B” ) 即 A∪B={x|x∈A,或 x∈B} 学生归纳以后,教师给予纠正. 那么图(4)、图(5)及交集、并集定义说明 A∩B=A{图(4)},A∩B=B{图(5)}
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3 .例题解析(师生共同活动) [例 1]设 A={x|x>-2},B={x|x<3},求 A∩B. 解析:此题涉及不等式问题,运用数轴即利用数形结合是最佳方案. 解:在数轴上作出 A、B 对应部分,如图 A∩B 为阴影部分

A∩B={x|x>-2}∩{x|x<3}={x|-2<x<3} [例 2]设 A={x|x 是等腰三角形},B={x|x 是直角三角形},求 A ∩B. 解析:此题运用文氏图,其公共部分即为 A∩B. 解:如右图表示集合 A、集合 B,其阴影部分为 A∩B. A∩B={x|x 是等腰三角形}∩{x|x 是直角三角形}=

{x|x 是等腰直

角三角形} [例 3]设 A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},求 A∪B. 解析:运用文氏图解答该题 解 :如右图表示集合 A、集合 B,其阴影部分为 A∪B 则 A∪B={4,5,6,8}∪{3,5,7,8}={3,4,5,6,7,8}. [例 4]设 A={x|x 是锐角三角形},B={x|x 是钝角三角形},求 A∪B. 解:A∪B={x|x 是锐角三角形}∪{x|x 是钝角三角形} ={x|x 是斜三角形} {例 5}设 A={x|-1<x<2},B={x|1<x<3},求 A∪B. 解析:利用数轴,将 A、B 分别表示出来,则阴影部分即为所求. 解:将 A={x|-1<x<2}及 B={x|1<x<3}在数轴上表示出来.如图阴影部分即为所求. A∪B={x| -1<x<2}∪{x|1<x<3}={x|-1<x<3}

[师]设 a,b 是两个实数,且 a<b,我们规定 : .. 实数值 R 也可以用区间表示为(-∞, +∞),“∞”读作“无穷大” , “-∞”读作“负无穷大” , “+∞” 读作 “正无穷大” , 我们还可以把满足 x≥a,x>a,x≤b,x<b 的实数 x 的集合分别表示为[a,+∞],(a,+∞),(∞,b),(-∞,b). Ⅲ.课堂练习 1.设 a={3,5,6,8},B={4,5,7,8}, (1)求 A∩B,A∪B. (2)用适当的符号( 、 )填空: A∩B_____A,B_____A∩B,A∪B______A,A∪B______B,A∩B_____A∪B. 解:(1)因 A、B 的公共元素为 5、8 故两集合的公共部分为 5、8,则 A∩B={3,5,6,8}∩{4,5,7,8}={5,8} 又 A、B 两集合的元素 3、4、5、6、7、8. 故 A∪B={3,4,5,6,7,8} (2)由文氏图可知 A∩ B ? A,B ? A∩ B,A∪B ? A,A∪B ? B,A∩B ? A∪B 2.设 A={x|x<5},B={x|x≥0},求 A∩B. 解:因 x<5 及 x≥0 的公共部分为 0≤x<5 故 A∩B={x|x<5}∩{x|x≥0}={x|0≤x<5} 3.设 A={x|x 是锐角三角形},B={x|x 是钝角三角形},求 A∩B. 解:因三角形按角分类时,锐角三角形和钝角三角形彼此孤立.故 A、B 两集合没有公共部分. A∩B={x|x 是锐角三角形}∩{x|x 是钝角三角形}= ?
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4.设 A={x|x>-2},B={x|x≥3},求 A∪B. 解:在数轴上将 A、B 分别表示出来,阴影部分即为 A∪B,故 A∪B={x|x>-2}

5.设 A={x|x 是平行四边形},B={x|x 是矩形},求 A∪B. 解:因矩形是平行四边形.故由 A 及 B 的元素组成的集合为 A∪B,A∪B ={x |x 是平行四边形} 6.已知 M={1},N={1,2},设 A={(x,y)|x∈M,y∈N},B={(x,y)|x∈N, y ∈M},求 A ∩ B,A∪B. 解析:M、N 中元素是数.A、B 中元素是平面内点集,关键是找其元素. 解:∵M={1},N={1,2}则 A={(1,1) , (1,2)},B={(1,1) , (2,1)},故 A∩B={(1,1)}, A∪B={(1,1) , (1,2) , (2,1)}. Ⅳ.课时小结 在求解问题过程中要充分利用数轴、文氏图,无论求解交集问题,还是求解并集问题,关键还是寻求 元素. Ⅴ.课后作业 课本 P13 习题 1.3 2~7 参考练习题: n 1.设 A={x|x=2 ,n∈N*},B={x|x=2n,n∈N},则 A∩B=_______,A∪B=_______. n n-1 n-1 解:对任意 m∈A,则有 m=2 =2·2 ,n∈N*因 n∈N*,故 n-1∈N,有 2 ∈N,那么 m∈B 即对任意 m∈A 有 m∈B,所以 A ? B,而 10∈B 但 10 ? A,即 A B,那么 A∩B=A,A∪B=B. 评述:问题的求解需要分析各集合元素的特征,以及它们之间关系,利用真子集的定义证明 A 是 B 的 真子集,这是一个难点,只要突破该点其他一切都好求解. 2.求满足{1,2}∪B={1,2,3}的集合 B 的个数. 解:满足{1,2}∪B={1,2,3}的集合 B 一定含有元素 3,B={3}还可含 1 或 2,其中一个有{1,3}, {2,3},还可含 1、2,即{1,2,3},那么共有 4 个满足条件的集合 B. 评述:问题解决的关键在于集合 B 的元素可以是什么数,分类讨论在解题中作用不可忽视.以集合 B 元 素多少进行分类. 3.A={x|x<5},B={x|x>0},C={x|x≥10},则 A∩B,B∪C,A∩B∩C 分别是什么? 解:因 A={x|x<5},B={x|x>0},C={x|x≥10},在数轴上作图,则 A∩B={x|0<x<5},B∪ C={x|0<x},A∩B∩C= ?

评述:将集合中元素利用数形结合在数轴上找到,那么运算结果寻求就易进行. 2 4.设 A={-4,2,a-1,a },B={9,a-5,1-a},已知 A∩B={9},求 A. 2 解:因 A∩B={9},则 a-1=9 或 a =9 a=10 或 a=±3 当 a=10 时,a-5=5,1-a=-9 当 a=3 时,a -1=2 不合题意. a=-3 时,a-1=-4 不合题意. 故 a=10,此时 A={-4,2,9,100},B={9,5,-9},满足 A∩B={9},那么 a=10. 评述:合理利用元素的特征——互异性找 A、B 元素. 2 2 5.已知 A={y|y=x -4x+6,x∈R , y∈N},B={y|y=-x -2x+7,x∈R ,y∈N}, 求 A∩B,并分别用描述法,列举法表示它.
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解:y=x -4x+6=(x-2) +2≥2,A={y|y≥2,y∈N} 2 2 又 y=-x -2x+7=-(x+1) +8≤8 ∴B={y|y≤8,y∈N} 故 A∩B={y|2≤y≤8}={2,3,4,5,6,7,8}. 评述:此题注意组成集合的元素有限,还是无限.集合的运算结果,应还是一个集合. 6.已知非空集合 A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|3≤x≤22},则能使 A ? (A∩B)成立的所有 a 值的集合 是什么? 解:由题有:A ? A∩B,即 A ? B, A 非空,用数轴表示为,

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?2a ? 1 ? 3a ? 5 ? 那么 ?2a ? 1 ? 3 ?3a ? 5 ? 22 ?
由方程表示为:6≤a≤9 评述:要使 A ? A∩B,需 A ? A 且 A ? B,又 A ? A 恒成立,故 A ? B,由数轴得不等式.注意 A 是非空. 若去掉这一条件效果如何.求解 过程及结果是否会变化.请思考.

交集、并集(一) 1.设 A={x|x=2 ,n∈N*},B={x|x=2n,n∈N},则 A∩B=_______,A∪B=_______. 2.求满足{1,2}∪B={1,2,3}的集合 B 的个数.
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3.A={x|x<5},B={x|x>0},C={x|x≥10},则 A∩B,B∪C,A∩B∩C 分别是什么?
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4.设 A={-4,2,a-1,a },B={9,a-5,1-a},已知 A∩B={9},求 A.

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5.已知 A={y|y=x -4x+6,x∈R , y∈N},B={y|y=-x -2x+7,x∈R ,y∈N}, 求 A∩B,并分别用描述法,列举法表示它.

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6.已知非空集合 A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|3≤x≤22},则能使 A ? (A∩B)成立的所有 a 值的集合 是什么?

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