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河北省普通示范高中2014届高三考前强化模拟训练数学理2


河北省普通示范高中 2014 届高三考前强化模拟训练数学理 2
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题 1. 若复数 z 满足 z (1 ? i ) ? 1 ? i ( i 是虚数单位),则 z 的共轭复数 z =( ) A. ? i B. ? 2i C. i D. 2i
1

2. 已知映射 f : A ? B ,其中 A ? B ?

R ,对应法则 f : x ? y ?| x | 2 ,若对实数 k ? B , 在集合 A 中不存在元素 x 使得 f : x ? k ,则 k 的取值范围是( ) A. k ? 0 B. k ? 0 C. k ? 0 D. k ? 0

? x? y?4?0 ? x? y 3. 实数 x, y 满足条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 ,则 2 的最小值为( ) ? x ? 0, y ? 0 ?
A.16 B.4 C.1 D.

1 2


4.要得到函数 y ? ? sin 2 x ? A.向左平移

?
4

1 的图像,只需将 y ? sin x cos x 的图像( 2
B.向右平移

个单位

?

C.向左平移

? 个单位 2

4

个单位

D. 向右平移

? 个单位 2

5 .下列命题中正确命题的个数是( ) (1) cos ? ? 0 是 ? ? 2k? ? (2)若 a ? 0, b ? 0, 且

?
2

(k ? Z ) 的充分必要条件;

2 1 ? ? 1 ,则 ab ? 4 ; a b 1 ? p. 2

(3)若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后,则样本的方差不变; (4)设随机变量 ? 服从正态分布 N(0,1),若 P (? ? 1) ? p ,则 P (?1 ? ? ? 0) ? A. 4 6 . ( x? A. 0 7. 过双曲线 B.3 C.2 D. 1

1 10 ) 的展开式中含有 x 的正整数幂的项的个数是( ) 3x
B. 2 C. 4 D. 6

x2 y2 a2 2 2 ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) x ? y ? 的左焦点 ,作圆 的 F ( ? c , 0 )( c ? 0 ) 4 a2 b2
1 (OF ? OP) ,则双曲线的离 2

切线,切点为 E ,延长 FE 交双曲线右支于点 P ,若 OE ?
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心率为( ) A. 10 B.

10 5

C.

10 2 ?

D. 2

8.在等比数列 ( ) A. 2

?a n ?中,a1 ? a 2 ? a3 ? a 4 ? a5 ? 8 , 1
B. -2 C.

a1

1 1 1 1 则 a3 = ? ? ? ? 2, a 2 a3 a 4 a5

?2

D. ? 4

9.已知某运动员每次投篮命中的概率低于 40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投 篮恰有两次命中的概率: 选由计算器产生 0 到 9 之间取整数值的随机数, 指定 1,2,3,4 表示 命中,5,6,7,8,9,0 表示不命中;再以每三个随机数为一组,代表三次投篮的结果.经随机 模拟产生了如下 20 组随机数: 907 569 730 965 191 925 271 932 812 458 683 431 257 393 027 556 488 113 537 989 )

据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( A.0.35 C.0.20 B . 0.25 D.0.15
2 2

10.若直线 2ax ? by ? 2 ? 0(a ? 0,b ? 0) 被圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 截得的弦长为 4, 则

1 1 ? 的最小值是 a b 1 1 (A) (B) 4 2
2

(C) 2

(D) 4

11. 直线 x ? t ( t ? 0 )与函数 f ( x) ? x ? 1 , g ( x) ? ln x 的图象分别交于 A 、 B 两点, 当 | AB | 最小时, t 值是( A. 1 B. ) C.

2 2

1 2

D.

3 3

12. 在平行四边形 ABCD 中, ?BAD ? 60 ? ,AD=2AB,若 P 是平面 ABCD 内一点,且满足

x AB ? y AD ? PA ? 0 ( x, y ? R ) ,则当点 P 在以 A 为圆心,
时,实数 x, y 应满足关系式为( A. 4 x ? y ? 2 xy ? 1
2 2

3 BD 为半径的圆上 3

) B. 4 x ? y ? 2 xy ? 1
2 2

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C. x ? 4 y ? 2 xy ? 1
2 2

D. x ? 4 y ? 2 xy ? 1
2 2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. 右图所示的程序是计算函数 f ( x) 函数值的程序, 若输出的 y 值为 4,则输入的 x 值是 14.由曲线 y 2 ? x与y ? x 2 所围成图形的面积 15. 四棱锥 P ? ABCD 的三视 图如右图所示,四棱锥 . .. INPUT x IF x ? 0 THEN y ? ( x ? 2)^2 ELSE IF
x ? 0 THEN y?4

P ? ABCD 的五个顶点都在
一个球面上, E 、 F 分别是 棱 AB 、 CD 的中点,直线

ELSE y ? ( x ? 2)^2 END IF END IF PRINT “ y ? ”; y END

EF 被球面所截得的线段长
为 2 2 ,则该球表面积为 .

16. 设函数 f ( x) 的定义域为 D ,若存在非零实数 l 使得对于任意 x ? M ( M ? D ) ,有

x ? l ? D ,且 f ( x ? l ) ? f ( x) ,则称 f ( x) 为 M 上的 l 高调函数。
如果定义域为 R 的函数 f ( x) 是奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ?| x ? a | ? a ,且 f ( x) 为
2 2

R 上的 4 高调函数,那么实数 a 的取值范围是



三、解答题 17. 已知 A、B、C 是 △ABC 的三个内角,且满足 2sin B ? sin A ? sin C ,设 B 的最大值 为 B0 . (Ⅰ)求 B0 的大小; (Ⅱ)当 B ?

3B0 时,求 cos A ? cos C 的值. 4

18. 某品牌的汽车 4S 店, 对最近 100 位采用分期付款的购车者进行统计, 统计结果如下表 所示:已知分 3 期付款的频率为 0.2,4S 店经销一辆该品牌的汽车,顾客分 l 期付款,其 利润为 l 万元;分 2 期或 3 期付款其利润为 1.5 万元;分 4 期或 5 期付款,其利润为 2 万 元.用? 表示经销一辆汽车的利润,

(I)求上表中 a, b 的值; (II)若以频率作为概率,求事件 A:“购买该品牌汽车的 3 位顾客中,至多有 l 位采用 3 期付款”的概率; (III)求? 的分布列及数学期望 E? .
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19 .如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ⊥面 ABC , BC ? AC , BC ? AC ? 2 ,

AA1 ? 3 , D 为 AC 的中点.
(Ⅰ)求证: AB1 // 面BDC1 ; (Ⅱ)求二面角 x ? 0 的余弦值; (Ⅲ)在侧棱 AA1 上是否存在点 P ,使得 B1 11 1. 11 C1 D B

CP ? 面BDC1 ?请证明你的结论.

C

A1

20. (本小题满分 12 分)已知椭圆的焦点坐标为 F1 (-1,0) , ,过 F2 垂直于长轴 AF2 (1,0) 的直线交椭圆于 P、Q 两点,且|PQ|=3, (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)过 F2 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 M、N,则△ F1 MN 的内切圆的面积是否存在最 大值?若存在求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.

21.已知函数 f ( x) ? ax ? 1 ? ln x (a ? R ) . (Ⅰ)讨论函数 f ( x) 在定义域内的极值点的个数; (Ⅱ)若函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,对 ?x ? (0,??) , f ( x) ? bx ? 2 恒成立, 求实数 b 的取值范围; (Ⅲ)当 0 ? x ? y ? e 且 x ? e 时,试比较
2

y 1 ? ln y 的大小. 与 x 1 ? ln x
B

22.选修 4—1:几何证明选讲

⌒ 的中点,BD 交 AC 于 E. 如图, ⊙ O 是△ ABC 的外接圆,D 是AC
(Ⅰ)求证: DC 2 ? DE ? DB ; (Ⅱ)若 CD ? 2 3 ,O 到 AC 的距离为 1,求⊙O 的半径 r . 23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 A

O. C E D

? ?x ? t 平面直角坐标系中,直线 l 的参数方程是 ? ( t 为参数) , ? ? y ? 3t
以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,已知曲线

C 的极坐标方程为 ? 2 cos 2 ? ? ? 2 sin 2 ? ? 2 ? sin ? ? 3 ? 0 .
(Ⅰ)求直线 l 的极坐标方程;

第 4 页 共 10 页

(Ⅱ)若直线 l 与曲线 C 相交于 A 、 B 两点,求 | AB | . 24.(本小题满分 10 分) 选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? 2 x ? a ? a . (Ⅰ) 若不等式 f ( x) ? 6 的解集为 x ? 2 ? x ? 3 ,求实数 a 的值; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若存在实数 n 使 f ?n ? ? m ? f ?? n ? 成立,求实数 m 的取值范围.

?

?

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参考答案

17: (Ⅰ)由题设及正弦定理知, 2b ? a ? c ,即 b ?
2 2

a?c . 2
2

?a?c? a ?c ?? ? 2 2 2 a ?c ?b ? 2 ? ·········· 2 分 ? 由余弦定理知, cos B ? 2ac 2ac
? 3(a 2 ? c 2 ) ? 2ac 3(2ac) ? 2ac 1 ? ? . ················· 4 分 8ac 8ac 2

因为 y ? cos x 在 (0, ? ) 上单调递减,所以 B 的最大值为 B0 ?

?
3

. ······· 6 分

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B1

z

B

C C1 D

y
A

x

A1

. 设 n ? ( x1 , y1 , z1 ) 是面 BDC1 的一个法向量, 则

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?n C1 B ? 0, ?3 y ? 2 z ? 0, ? 1 1 ? 即? , ? ? n C1 D ? 0 ? x1 ? 3 y1 ? 0 1 1 取 n ? (1, ? , ) . 易知 C1C ? (0,3, 0) 3 2 cos n , C1C ? 面 ABC 的一个法向量 2 ? ? .∴二面角 C —BD—C 的余弦值为 2 . 1 7 n ? C1C 7 n C1C

(III)假设侧棱 AA1 上存在一点 P 使得 CP⊥面 BDC1. 设 P(2,y,0) (0≤y≤3) ,则 CP ? (2, y ? 3, 0) ,

? y ? 3, ? ?CP C1 B ? 0, ? ? 3( y ? 3) ? 0, 7 ? 则? ,即 ? .解之 ? y ? ∴方程组无解. ? 3 ? ? CP C1 D ? 0 ?2 ? 3( y ? 3) ? 0
∴侧棱 AA1 上不存在点 P,使 CP⊥面 BDC1. 20. 解: (1) 设椭圆方程为 分

x2 y 2 =1(a>b>0),由焦点坐标可得 c=1???1 ? a 2 b2

2b 2 =3,?????????????????2 分 a 解得 a=2,b= 3 ,???????????????????3分 x2 y 2 ? =1?????????????????4 分 故椭圆方程为 4 3 (2) 设 M ( x1 , y1 ) ,N ( x2 , y2 ) ,不妨 y1 >0, y2 <0,设△ F1 MN 的内切圆的径 R, 1 则△ F1 MN 的周长=4a=8, S F1MN ? (MN+ F1 M+ F1 N)R=4R 2 因此 S F1MN 最大,R 就最大,???????????????6 分
由 PQ|=3,可得

S AMN ?

1 F1 F2 ( y1 ? y2 ) ? y1 ? y2 , 2

由题知,直线 l 的斜率不为零,可设直线 l 的方程为 x=my+1,

? x ? my ? 1 ? 2 2 由 ? x2 y 2 得 (3m ? 4) y +6my-9=0,?????????8分 ?1 ? ? 3 ?4
得 y1 ? 则S

?3m ? 6 m 2 ? 1 ?3m ? 6 m 2 ? 1 y ? , , 2 3m 2 ? 4 3m 2 ? 4

AMN

?

12 m 2 ? 1 1 AB( y1 ? y2 )= y1 ? y2 = ,?????9 分 3m 2 ? 4 2

令 t= m ? 1 ,则 t≥1,
2

则S

AMN

?

12 m 2 ? 1 12t 12 ? 2 ? ,?????????10 分 2 3m ? 4 3t ? 1 3t ? 1 t

第 8 页 共 10 页

1 ,当 t≥1 时,f′(t)≥0,f(t)在[1,+∞)上单调递增, t2 12 12 有 f(t) ≥ f(1)=4, S AMN ≤ =3, 即 当 t=1,m=0 时, S AMN ≤ =3, S AMN =4R , ∴ 3 3 3 9 Rmax = ,这时所求内切圆面积的最大值为 π .故直线 l:x=1,△AMN 内切圆面积的最大 4 16 9 值为 π ??????12 分 16
令 f(t)=3t+ ,则 f′(t) =3-

1 t

22 选修 4—1:几何证明选讲 解: (I)证明:∵ ?ABD ? ?CBD , ?ABD ? ?ECD ∴ ?CBD ? ?ECD ,又 ?CDB ? ?EDC , ∴△ BCD ~△ CED ,∴ ∴CD 2 =DE·DB;

DE DC ? , DC DB

??????(5 分)

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