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清新县第一中学2012届高三高考冲刺模拟试题(二)(文数)


2012 届清新县第一中学高考冲刺模拟试题(一)

数学(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每个小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的. 1.在复平面内,复数

1 ? i 3 对应的点位于( 1? i
B.第二象限

)

A.第

一象限

C.第三象限

D.第四象限
)

2.下列函数中既是奇函数,又在区间 ? ?1,1? 上是增函数的为(

A. y ? x

B. y ? sin x

C. y ? e x ? e ? x

D. y ? ? x 3
)

3.已知 S n 为等差数列 {an } 的前 n 项和,若 S1 ? 1,

S S4 ? 4 ,则 6 ? ( S4 S2

A.

9 4

B.

3 2

C.

4.若把函数 y ? f ( x) 的图象沿 x 轴向左平移

? 个单位,沿 y 轴向下平移 1 个单位,然后再 4

5 4

D. 4 .

把图象上每个点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标保持不变),得到函数 y ? sin x 的图象, 则 y ? f ( x) 的解析式为( )

A. y ? sin(2 x ?

?
4

) ?1 ) ?1
x

B. y ? sin(2 x ? D. y ? sin( x ?

?

C. y ? sin( x ?

1 2

?
4

1 2

?

2 2

) ?1 ) ?1
)

) 5.若函数 y ? f ( x) 是函数 y ? a(a ? 0,且a ? 1 的反函数, f (2) ? 1 , f ( x) ? ( 且 则
A. log 2 x B.

1 2x

C. log 1 x
2

D. 2 x? 2

6.如图,正四棱锥 (底面是正方形,顶点在底面的射影是底面的中心) P ? ABCD 的底面 边长为 6cm ,侧棱长为 5cm ,则它的正视图的面积等于( )

A. 3 7cm 2 C. 12cm2

B. 6 7cm 2 D. 24cm 2

P

A
C
0

D

B

7.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 B ? 60 , a ? 1, b ? 2 ,则角 A 所在

1

的区间是(

)

A. (0, )

?

6

B. ( ,

? ?
6 4

)

C. ( ,

? ?
4 3

)
)

D. ( ,

? ?
3 2

)

8.已知 a ? 0, b ? 0, a ? b ? 2 ,则 y ?

A.

7 2

B. 4
3

1 4 ? 的最小值是( a b 9 C. D. 5 2
2

9.设 p :" a ? 3" , q : “ f ( x) ? x ? ax ? 1在 (0, 2) 上有唯一零点” ,则 p 是 q 的(

)

A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

10.若函数 f ?x? 是定义在 R 上的偶函数,在 ?? ?,0? 上是减函数,且 f ?2? ? 0 ,则使得

f ?x ? ? 0 的 x 的取值范围是(
A. ?? ?,2?

)

? B. ?2, ? ?

C. ?? ?,?2? ? ?2,?? ?

D. ?- 2, 2?

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13) 11.某学校三个社团的人员分布如下表(每名同学只参加一个社团) 合唱社 45 15 粤曲社 30 10 书法社

高一 高二

a
20

学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查,按分层抽样的方法从社团成员中抽取 30 人,结果合唱社被抽出 12 人,则 a ? _______________.

1 ? x2 (其中 a 为常数)的定义域为 . x?a x2 2 2 13.已知抛物线 y ? 8 x 的准线 l 与双曲线 C : 2 ? y ? 1 相切,则双曲线 C 的离心率 a . e?
12.奇函数 f ( x) ? (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (几何证明选讲选做题)如图,直线 AB 经过⊙O 上的点 C ,并且 OA ? OB , CA ? CB ,直线 OB 交⊙O 于点 E,D ,连接 EC,CD .若
E O D A C B

1 tan E ? ,⊙0 的半径为 3,则 OA 的长为 2

.

15. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,由三条直线 ? ? 0 , ? ?

? , 4

2

? cos? ? 2 ? sin ? ? 2 围成图形的面积等于



三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程和步骤. 16.(本小题满分 12 分) 某林场原有木材存有量为 a ,木材以每年 25% 的增长率生长,而每年年底要砍伐的木 材量为 x . (I)写出三年后木材存有量; (II)猜想出 n 年后的木材存有量 a n 与 n 的关系式; ( III )为 实现 经过 20 年 后 木 材 存有 量 翻两 番的 目标 , 每年 的 砍伐 量最 多是 多 少? ( lg 2 ? 0.3 )

17.(本小题满分 13 分) 某种电路开关闭合后,会出现红灯或绿灯闪动,已知开关第一次闭合后,出现红灯和出现

1 1 ;从开关第二次闭合起,若前次出现红灯,则下一次出现红灯的概率是 , 2 3 2 3 出现绿灯的概率是 ;若前次出现绿灯,则下一次出现红灯的概率是 ,出现绿灯的概率是 3 5 2 .问: 5
绿灯的概率都是 (I)第二次闭合后出现红灯的概率是多少? (II)三次发光中,出现一次红灯,两次绿灯的概率是多少?

18.(本小题满分 13 分) 设关于 x 的函数 y ? 2 cos x ? 2a cos x ? ?2a ? 1? 的最小值为 f ?a ? .
2

(I)试写出 f ?a ? 的表达式; (II)试确定能使 f ?a ? ? 19.(本小题满分 14 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 底面是直角梯形, AB / /CD , AB ? AD , ?PAB 和 ?PAD 是两个边长为 2 的正三角形, DC ? 4 , O 为 BD 中点, E 为 PA 中点. (I)求证: PO ? 平面 ABCD ; (II)求证: OE / / 平面 PDC .
E

1 的 a 的值,并对此时的 a ,求 y 的最大值. 2
P

A

B

O
D

C

3

20.(本小题满分 14 分) 如图,在 Rt?PAB 中, ?A 是直角, PA ? 4, AB ? 3 ,有 一个椭圆以 P 为一个焦点,另一个焦点 Q 在 AB 上,且椭圆经 过点 A 、 B . (I)求椭圆的离心率; (II)若以 PQ 所在直线为 x 轴,线段 PQ 的垂直平分线为 y 轴 建立直角坐标系,求椭圆的方程; (III)在(2)的条件下,若经过点 Q 的直线 l 将 Rt?PAB 的面积分为相等的两部分,求 直线 l 的方程. 21.(本小题满分 14 分)
2 设函数 f ? x ? ? ( x ? a ) ln x , a ∈R, e 为自然对数的底数, e ? 2.7182? .

B Q

P

A

(I)当 a ? 0 时,求 f ? x ? 的单调区间; (II)当 a ? 4 ,证明:存在 k ,使方程 f ( x) ? k 有三个根.

4

参考答案
一、选择题
题号 答案 1 D B 2 3 A 4 B 5 A 6 A 7 A 8 C 9 A 10 D

10:作出满足条件的图象: 偶函数的图象关于 y 轴对称, 而 y ? f ? x ? 在 ?? ?,0? 为减函数, 且 f ?? 2 ? ? f ?2 ? ? 0 , 由此易作出 y ? f ? x ? 的示意图, 由图象可知 f ?x ? ? 0 的解集为 ?- 2, ,故选 D. 2?

二、填空题
题号 答案 11 12 13 14 15

30

? ?1, 0 ? ? ? 0,1?

5 2

5

2 3

三、解答题
16.答案:

5 125 61 ?5? ?5? a? x. 解(I) :三年后木材存有量 a3 ? ? ? a ? ? ? x ? x ? x ? 4 64 16 ?4? ?4?
解(II) :猜想出 n 年后的木材存有量 an ? ? ? a ? ? ?

3

2

?5? ?4?

n

?5? ?4?

n ?1

?5? x?? ? ?4?

n?2

x ?? ? x ,

?5? 1? ? ? n n n 5? ? ? 4 ? x ? ? 5 ? a ? 4 x ?? 5 ? ? 1? . 即 an ? ? ? a ? ? ? ?? ? ? 5 ?4? ?4? ?? 4 ? ? ? ? 1? 4
解(III) :依题意 a 20 ? 4a ,即
20 ?? 5 ? 20 ? ?5? ? ? a ? 4 x ?? ? ? 1? ? 4a , ?4? ?? 4 ? ? ? ?

n

?5? 设 N ? ? ? ,则 ?4?
5

20

5 ? 20?1 ? 3 lg 2? ? 20?1 ? 0.9? ? 2 , 4 所以, N ? 100 , 则 100 a ? 4 ? 99 x ? 4a , 8 解得 x ? a, 33 8 所以每年的砍伐量最多是 a. 33 lg N ? 20 lg

17.答案:

1 1 ? 2 3 1 3 如果第一次出现绿灯,则接着出现红灯的概率为 ? . 2 5 1 1 1 3 7 以上两种情况彼此互斥,所以,第二次出现红灯的概率为: ? ? ? ? . 2 3 2 5 15
解(I) :如果第一次出现红灯,则接着又出现红灯的概率是 解(II) :由题意,三次发光中,出现一次红灯、两次绿灯的情况共有如下三种方式:

1 2 3 ? ? ; 2 5 5 1 3 2 ②出现绿、红、绿时的概率为: ? ? ; 2 5 5 1 2 2 ③出现红、绿、绿时的概率为: ? ? . 2 3 5
①出现绿、绿、红时的概率为: 以上三种情况彼此互斥,所以三次发光中,出现一次红灯、两次绿灯的概率为:

1 2 3 1 3 2 1 2 2 34 . ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 5 5 2 5 5 2 3 5 75

18.答案:

o s 解(I) y ? 2 c :

2

x ? 2a c o s

? x ? ?2a ? 1? ? 2? c o s ?

a? a 2 ? 4a ? 2 x? ? ? 2? 2

2

?1 ?a ? ?2? ? 2 ? a ? f ?a ? ? ?? ? 2a ? 1 ?? 2 ? a ? 2? ? 2 ?1 ? 4a ?a ? 2? ?
解(II) : 令?

a2 1 ? 2a ? 1 ? ? a 2 ? 4a ? 3 ? 0 ? a ? ?1 或 a ? ?3 , 2 2

由于 ? 2 ? a ? 2 ,所以 a ? ?1 .

6

令 1 ? 4a ?

1 1 ? a ? ?a ? 2? ? 无解. 2 8
? ? 1? 1 ? ? ,当 cos x ? 1 时, ymax ? 5 . 2? 2
2

综上,当 a ? ?1 时, y ? 2? cos x ?

19.答案: 解(Ⅰ) :证明:设 F 为 DC 的中点,连接 BF ,则 DF ? AB ∵ AB ? AD , AB ? AD , AB // DC , ∴四边形 ABFD 为正方形, ∵ O 为 BD 的中点, ∴ O 为 AF , BD 的交点, ∵ PD ? PB ? 2 , ∴ PO ? BD , ∵ BD ? ∴ PO ?
A
O
2

P

E

B

AD ? AB ? 2 2 ,
2

D

F

C

1 BD ? 2 , 2 2 2 2 在三角形 PAO 中, PO ? AO ? PA ? 4 ,∴ PO ? AO , ∵ AO ? BD ? O ,∴ PO ? 平面 ABCD ;
PB 2 ? BO 2 ? 2 , AO ?
解(Ⅱ): 证明: 方法 1:连接 PF , ∵ O 为 AF 的中点, E 为 PA 中点, ∴ OE // PF , ∵ OE ? 平面 PDC , PF ? 平面 PDC , ∴ OE // 平面 PDC . 方法 2:由(Ⅰ)知 PO ? 平面 ABCD ,又 AB ? AD ,所 以过 O 分别做 AD, AB 的平行线,以它们做 x, y 轴,以 D OP 为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系, 由已知得: A(?1, ?1,0) , B(?1,1,0) , D(1, ?1,0) ,
P

E

A
O
x

B
y

F

C

1 1 2 F (1,1,0) , C (1,3,0) , P(0,0, 2) , E (? , ? , ) 2 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 1 2 ) , PF ? (1,1, ? 2) , PD ? (1, ?1, ? 2) , PC ? (1,3, ? 2) 则 OE ? (? , ? , 2 2 2 ??? ? ? 1 ??? ∴ OE ? ? PF 2 ∴ OE / / PF ∵ OE ? 平面 PDC , PF ? 平面 PDC ∴ OE // 平面 PDC

7

20.答案: 解(Ⅰ) :因为椭圆以 P 为一个焦点,另一个焦点 Q 在 AB 上,且椭圆经过点 A 、 B ,所以 由椭圆的定义知 AP ? AQ ? BP ? BQ , 因此 4 ? AQ ? 5 ? (3 ? AQ ) , 解得 AQ ? 2 . 因此,椭圆的长轴长 2a ? 4 ? 2 ? 6 ,焦距 2c ? PQ ? 心率 e ?

4 2 ? 2 2 ? 2 5 ,故椭圆的离

2c 2 5 5 ? ? . 2a 6 3

解(II) :依题意,可设椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,由(1)知,有 a2 b2

a ? 3, c ? 5 ,∴ b ? a 2 ? c 2 ? 2 ,
∴椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1. 9 4

解(Ⅲ) :依题意,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 5 ) ,直线 l 与 PA 相交于点 C ,则

S ?QAC ?
故 AC ? 3, PC ? 1 ,从而 AC ? 3CP .

1 S ?PAB ? 3 , 2

设 A( x, y ) ,由 AP ? 4, AQ ? 2 ,得

?( x ? 5 ) 2 ? y 2 ? 16 ?3 5 4 5 ? ? ,解得 A ? . ? ? 5 ,? 5 ? ? ?( x ? 5 ) 2 ? y 2 ? 4 ? ? ?
设 C ( x, y ) ,由 AC ? 3CP ,得

? 3 5 ? 3( ? 5 ? x ) ?x ? ? 3 5 5? ? 5 ,解得 C ? ? ,? ?. ? ? 5 5 ? ? ? ? y ? 4 5 ? ?3 y ? 5 ?
∴k ?

1 1 ,∴直线 l 的方程为 y ? ( x ? 5 ) . 8 8

21.答案: 解(I) : 因为 a ? 0 ,所以 f ? x ? ? x ln x ,
2

求导 f ? x ? ? x ln x ,得 f ? ? x ? ? 2 x ln x ? x ,
2

8

解 f ? ? x ? ? 2 x ln x ? x ? 0 , 得x?

1 , e

x
1? ? f ? ? x ? ? 2 x ? ln x ? ? 2? ?
所以, a ? 0 时 f ? x ? 的在 ? 0,

? 1 ? ? 0, ? e? ?

? 1 ? ,?? ? ? ? e ?

?
? ?
? 1 ? 1 ? ? 单调递减,在 ? e ,?? ? 上单调递增. e? ? ?

?

解(II) : 由题设条件,当 a ? 4 ,有 f ? x ? ? ( x ? 4) ln x ;
2

求导 f ? x ? ? ( x ? 4) ln x ,得 f ? ? x ? ? 2( x ? 4) ln x ?
2

x?4? ( x ? 4) 2 ? ? ( x ? 4) ? 2 ln x ? ? x ? x ?

x?4 , x 1? 4 因为, h ?1? ? 2ln1 ? ? ?3 ? 0 , 1 e?4 4 4 5 h ? e ? ? 2ln e ? ? 2 ?1? ? 3 ? ? ? 0 , e e 3 3 x?4 4 而 h ? x ? ? 2ln x ? ? 2ln x ? 1 ? 在 ?0,?? ? 是单调递增函数, x x
令 h ? x ? ? 2 ln x ? 所以,存在唯一零点 x0 ,有 h ? x0 ? ? 0 , 所以, ?0,x0 ? 上,有 h ? x ? ? 0 ;在 ? x0 ,?? ? 上, h ? x ? ? 0 , 且 1 ? x0 ? e ;又由于单调递增函数 x ? 4 在区间 ?0,4 ? 上为负,在区间 ?4,?? ? 上为正

x
h ? x?

?0, x0 ?
负 负 正

?x0 ,4?
正 负 负

?4,?? ?
正 正 正

x?4
f ?( x) ? ( x ? 4)h( x)
所以,函数 f ? x ? 在 x0 取极大值,

9

又由于 f ?1? ? f ?4? ? 0 ;故, 在 ?1, x0 ? 上 f ? x ? ? 0 ,且单调递增; 在 ? x0 ,4 ? 上 f ? x ? ? 0 ,且单调递减; 在 ?4,?? ? 上 f ? x ? ? 0 ,且单调递增; 所以,当 0 ? k ? f ? x0 ? 时, f ( x) ? k 必有三个根. 画出草图

10


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