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第一讲集合


第一讲:集合
一、知识点回顾
1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性” 。

如:集合A ? ?x| y ? lg x?,B ? ?y| y ? lg x?,C ? ?(x, y)| y ? lg x?,A、B、C
中元素各表示什么? 2. 集合的表示方法: ①列举法

?a, b, c, d ,?e

②描述法

? x x满足条件p? ,其中 x 是代表元素.

③文氏图法 用封闭曲线表示.

3. 进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集?的特殊情况。
注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。

如:集合A ? x| x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ,B ? ?x| ax ? 1?

?

?

若B ? A ,则实数 的值构成的集合为 a _____
1? ? (答: ??1, 0, ?) 3? ?
4. 注意下列性质:

(1)集合?a 1,a 2 ,??,a n ?的所有子集的个数是 2 n ;

(2) A? B = A ?
(3)德摩根定律: *

? A

B? = B ? A ? BU A ? CCU B

;

CU ?A ? B? ? ?CU A? ??CU B?,CU ?A ? B? ? ?CU A? ??CU B?
ax ? 5 ? 0的解集为M,若3 ? M且5 ? M,求实数a x2 ? a

5. 你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法)

如:已知关于x的不等式
的取值范围。

(∵3 ? M ,∴

a ·3?5 a ·5?5 ? 0∵5 ? M ,∴ 2 ?0 ? 5? 2 ? a ? ?1, ? ? ? 9, 25 ? ) 3 ?a 5 ?a ? 3?

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二、学习效果检验:
1. 设 a, b ? R, 集合 ?1,a+b,a? ? ?0, A. 1 B. -1 C.

? b ? , b ? , 则b ? a ? ? a ?
2 D.

; -2 ;

2. 设集合 P= ?1, 2,3, m? , Q ? m ,3 , 满足P ? Q=P,则m=
2

?

?

3. 设集合 ?1, a, b? ? a, a , ab 求实数a, b的值.
2

?

?

4. 设集合 A ? x , 2 x ? 1, ?4 , B ? ? x ? 5,1 ? x,9? , 若A ? B=?9?,求A ? B。
2

?

?

5. 用列举法写出集合: ? x ? Z ?

? ? ? ?

? ? x( x 2 ? 1) ? ? x ? 1? ? x 2 ? x ? 1? ? ? ?。 1 ? 2 x ? 3( x ? 9) ? ? ? ?

6. 设 A, B 是两个集合, 定义 A ? B ? x x ? A, 且x ? B , 若 M= x x ? 1 ? 2 , N ? x x ? x ? 0
2

?

?

?

?

?

?

则 M—N=( ) A. [—3,—1] B.
2

? ?3, 0 ?

C.

? 0,1?

D.

? ?3, 0?

7. 已知集合 A ? x x ? 8 x ? 15 ? 0 , B ? x ax ? 1 ? 0 , 若B ? A,求所有实数a的集合。

?

?

?

?

3,a ? 2a ? 3 , A ? 2, a ? 1 , 则CI A ? _______ 8. 设集合: I= 2,
2

?

?

?

?

9. 已知一元二次不等式 f (x)<0 的解集为 ? x |x <-1或x > (A) ? x |x <-1或x >lg2

1 2

? ,则 f (10x )>0 的解集为
(D) ? x |x <-lg2

?

(B) ? x |-1<x <lg2

? (C) ? x |x>-lg2 ?
)

?

10. 已知集合 A={-1,0,1},B={x|-1≤x<1},则 A∩B= ( A.{0} B.{-1,0} C.{0,1} D.{-1,0,1} 11. 已知集合 A ? ? x | 0 ? log 4 x ? 1? , B ? ? x | x ? 2?,则A ? B ?

1? A. ? 0,

2? B. ? 0,
2

C. ?1, 2 ?

2? D. ?1,

12. 若集合 A={x∈R|ax +ax+1=0}其中只有一个元素,则 a= 13. 设常数 a ? R ,集合 A ? {x | ( x ? 1)( x ? a) ? 0}, B ? {x | x ? a ? 1} ,若 A ? B ? R ,则 a 的取值范 围为( (A) (??, 2) ) (B) (??, 2] (C) (2, ??) (D) [2, ??) )

14. 已知集合 M ? x | ( x ? 1) ? 4), x ? R , N ? ?? 1,0,1,2,3?,则 M ? N ? (
2

?

?

(A){0,1,2} (B){-1,0,1,2}(C){-1,0,2,3} (D){0,1,2,3} 15. 已知集合 U ? {2,3,6,8}, A ? {2,3}, B ? {2,6,8} ,则 (C ? A) ? B ?
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16. 以集合 U= ?a,b,c,d ? 的子集中选出 2 个不同的子集,需同时满足以下两个条件: (1) ? , U 都要选出; (2)对选出的任意两个子集 A 和 B,必有 A ? B或B ? A ,那么共有 17. 若规定 E= ?a1 , a2 ,..., a10 ? 的子集 ak1 , ak2 ,..., akn 为 E 的第 k 个子集,其中 k=
(1)

种不同的选法。
,则

?

?

?a1 , a3? 是 E 的第

个子集;

(2)E 的第 211 个子集是_______

18. 设 S , T 是 R 的两个非空子集,如果存在一个从 S 到 T 的函数 y ? f ( x) 满足: (i ) T ? ? f ( x) x ? S ? ; ,以下集 (ii ) 对任意 x1 , x2 ? S ,当 x1 ? x2 时,恒有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,那么称这两个集合“保序同构” 合对不是“保序同构”的是( A. A ? N *, B ? N C. A ? ?x 0 ? x ? 1?, B ? R ) B.

A ? ?x ? 1 ? x ? 3?, B ? ?x x ? ?8或0 ? x ? 10?

D. A ? Z , B ? Q

19. 设集合 I={1,2,3,4,5}。 选择 I 的两个非空子集 A, B, 使 B 最小数大于 A 最大数, 选择方法有几种? 参考答案: 1. C 分析:由于a ? 0, 所以只有a ? b=0,得

b ? ?1, ?1? ?1, 0, a? , a ? ?b ? ?1, b ? 1,因此b ? a ? 2. a
2

2. 分析:由等价关系: A ? B=A ? A ? B=B ? A ? B ? CU A ? CU B,因此Q ? P,m ? 1, 2, m;

m ? ?1, ? 2, 0或1,根据互异性知m ? 1, ? m=0,-1,? 2
3. 分析: 根据互异性a ? 1,因此a ? 1, 或ab ? 1,由a ? 1和a ? 1得a ? ?1,
2 2

?1, ?1, b? ? ??1,1, ?b? , 所以b ? 0,由ab ? 1得b ? a 2 , a3 ? 1, a ? 1(舍去)
4. 11.D 5. 答案: 12. 4

?1, 2,3, 4,5?

? 1 1? ?0,, ? ?3? 或{5} 6. B 7. 答案: ? 5 3 ? 注意空集。8. ; 9.D
16. 36 17. 5,

10. B

13. B 14.A 15. {6,8}

?a1 , a2 , a5 , a7 , a8 ?

18.D

19. B 最小数是 5 时,B 有 1 种选法,A 有 2^4-1=15 种选法 B 最小数是 4 时,B 有 2 种选法,A 有 2^3-1=7 种选法 B 最小数是 3 时,B 有 2^2=4 种选法,A 有 2^2-1=3 种选法 B 最小数是 2 时,B 有 2^3=8 种选法,A 有 1 种选法 B 最小数是 1 时,B 有 2^4=16 种选法,A 有 0 种选法 共有 1×15+2×7+4×3+8×1=49 种

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