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2015-2016学年高中数学 3.1.1方程的根与函数的零点课时作业 新人教A版必修1


第三章 §3.1 3.1.1

函数的应用 函数与方程

方程的根与函数的零点

课时目标 1.能够结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数,理 解二次函数的图象与 x 轴的交点和相应的一元二次方程根的关系.2.理解函数零点的概 念以及函数零点与方程根的联系.3.掌握函数零点的存在性定理.

/>1.函数 y=ax +bx+c(a≠0)的图象与 x 轴的交点和相应的 ax +bx+c=0(a≠0)的根 的关系

2

2

函数图象 判别式 Δ >0 Δ =0 Δ <0 与 x 轴交点个数 ____个 ____个 ____个 方程的根 ____个 ____个 无解 2.函数的零点 对于函数 y=f(x),我们把________________叫做函数 y=f(x)的零点. 3.方程、函数、图象之间的关系 方 程 f(x) = 0__________ ? 函 数 y = f(x) 的 图 象 ______________ ? 函 数 y = f(x)__________. 4.函数零点的存在性定理 如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上的图象是________的一条曲线, 并且有____________, 那么,函数 y=f(x)在区间(a,b)内________,即存在 c∈(a,b),使得__________, 这个 c 也就是方程 f(x)=0 的根.

一、选择题 2 1.二次函数 y=ax +bx+c 中,a·c<0,则函数的零点个数是( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.无法确定 2.若函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象为一条连续不断的曲线,则下列说法正确的 是( ) A.若 f(a)f(b)>0,不存在实数 c∈(a,b)使得 f(c)=0 B.若 f(a)f(b)<0,存在且只存在一个实数 c∈(a,b)使得 f(c)=0 C.若 f(a)f(b)>0,有可能存在实数 c∈(a,b)使得 f(c)=0 D.若 f(a)f(b)<0,有可能不存在实数 c∈(a,b)使得 f(c)=0 2 3. 若函数 f(x)=ax+b(a≠0)有一个零点为 2, 那么函数 g(x)=bx -ax 的零点是( ) 1 1 A.0,- B.0, 2 2 1 C.0,2 D.2,- 2 x 4.函数 f(x)=e +x-2 的零点所在的一个区间是( )
1

A.(-2,-1) C.(0,1)
2

B.(-1,0) D.(1,2)
零点的个数为( )

? ?x +2x-3, x≤0, 5.函数 f(x)=? ?-2+ln x, x>0 ?

A.0 C.2

B.1 D.3

6.已知函数 y=ax +bx +cx+d 的图象如图所示,则实数 b 的取值范围是( ) A.(-∞,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,+∞) 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7.已知函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数,-2 是它的一个零点,且在(0,+∞)上是增 函数,则该函数有______个零点,这几个零点的和等于______. 8.函数 f(x)=ln x-x+2 的零点个数为________. x 9. 根据表格中的数据, 可以判定方程 e -x-2=0 的一个实根所在的区间为(k, k+1)(k ∈N),则 k 的值为________.

3

2

x
e x+2
x

-1 0.37 1

0 1 2

1 2.72 3

2 7.39 4

3 20.09 5

三、解答题 4 10.证明:方程 x -4x-2=0 在区间[-1,2]内至少有两个实数解.

11.关于 x 的方程 mx +2(m+3)x+2m+14=0 有两实根,且一个大于 4,一个小于 4,
2

2

求 m 的取值范围.

能力提升
?x +bx+c,x≤0, ? 12. 设函数 f(x)=? 若 f(-4)=f(0), f(-2)=-2, 则方程 f(x) ? ?2, x>0, =x 的 解的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2 13.若方程 x +(k-2)x+2k-1=0 的两根中,一根在 0 和 1 之间,另一根在 1 和 2 之 间,求 k 的取值范围.
2

1.方程的根与方程所对应函数的零点的关系
3

(1)函数的零点是一个实数,当自变量取该值时,其函数值等于零. (2)根据函数零点定义可知,函数 f(x)的零点就是方程 f(x)=0 的根,因此判断一个函 数是否有零点,有几个零点,就是判断方程 f(x)=0 是否有实根,有几个实根. (3)函数 F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程 f(x)=g(x)的实数根, 也就是函数 y=f(x) 的图象与 y=g(x)的图象交点的横坐标. 1 2.并不是所有的函数都有零点,如函数 y= .

x

3.对于任意的一个函数,即使它的图象是连续不断的,当它通过零点时,函数值也不 2 一定变号.如函数 y=x 有零点 x0=0,但显然当它通过零点时函数值没有变号. 第三章 函数的应用 §3.1 函数与方程 3.1.1 方程的根与函数的零点 知识梳理 1.2 1 0 2 1 2.使 f(x)=0 的实数 x 3.有实数根 与 x 轴有交点 有零点 4. 连续不断 f(a)·f(b)<0 有零点 f(c)=0 作业设计 2 1.C [方程 ax +bx+c=0 中,∵ac<0,∴a≠0, 2 ∴Δ =b -4ac>0, 2 即方程 ax +bx+c=0 有 2 个不同实数根, 则对应函数的零点个数为 2 个.] 2.C [对于选项 A,可能存在根; 对于选项 B,必存在但不一定唯一; 选项 D 显然不成立.] 3.A [∵a≠0,2a+b=0, a 1 ∴b≠0, =- . b 2 a 1 2 令 bx -ax=0,得 x=0 或 x= =- .] b 2 x 4.C [∵f(x)=e +x-2, 0 f(0)=e -2=-1<0, 1 f(1)=e +1-2=e-1>0, ∴f(0)·f(1)<0, ∴f(x)在区间(0,1)上存在零点.] 2 5.C [x≤0 时,令 x +2x-3=0,解得 x=-3. x>0 时,f(x)=ln x-2 在(0,+∞)上递增, 3 3 f(1)=-2<0,f(e )=1>0,∵f(1)f(e )<0 ∴f(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点. 总之,f(x)在 R 上有 2 个零点.] 3 2 2 6.A [设 f(x)=ax +bx +cx+d,则由 f(0)=0 可得 d=0,f(x)=x(ax +bx+c)= ax(x-1)(x-2)? b=-3a,又由 x∈(0,1)时 f(x)>0,可得 a>0,∴b<0.] 7.3 0 解析 ∵f(x)是 R 上的奇函数,∴f(0)=0,又∵f(x)在(0,+∞)上是增函数,由奇函 数的对称性可知,f(x)在(-∞,0)上也单调递增,由 f(2)=-f(-2)=0.因此在(0, +∞)上只有一个零点,综上 f(x)在 R 上共有 3 个零点,其和为-2+0+2=0. 8.2 解析 该函数零点的个数就是函数 y=ln x 与 y=x-2 图象的交点个数. 在同一坐标系 中作出 y=ln x 与 y=x-2 的图象如下图:

4

由图象可知,两个函数图象有 2 个交点,即函数 f(x)=ln x-x+2 有 2 个零点. 9.1 2 解析 设 f(x)=e -(x+2),由题意知 f(-1)<0,f(0)<0,f(1)<0,f(2)>0,所以方 程的一个实根在区间(1,2)内,即 k=1. 4 10.证明 设 f(x)=x -4x-2,其图象是连续曲线. 因为 f(-1)=3>0,f(0)=-2<0,f(2)=6>0. 所以在(-1,0),(0,2)内都有实数解. 从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解. 2 11.解 令 f(x)=mx +2(m+3)x+2m+14. 依题意得?
? ?m>0 ?f?4?<0 ?

或?

? ?m<0 ?f?4?>0 ?



? ?m>0 即? ? ?26m+38<0

? ?m<0 或? ? ?26m+38>0 ?16-4b+c=c, ?

19 ,解得- <m<0. 13 得?
?b=4, ? ? ?c=2.

12.C [由已知?
2

? ?4-2b+c=-2,

?x +4x+2,x≤0, ? ∴f(x)=? ? ?2, x>0.

当 x≤0 时,方程为 x +4x+2=x, 2 即 x +3x+2=0, ∴x=-1 或 x=-2; 当 x>0 时,方程为 x=2, ∴方程 f(x)=x 有 3 个解.] 2 13.解 设 f(x)=x +(k-2)x+2k-1. ∵方程 f(x)=0 的两根中,一根在(0,1)内,一根在(1,2)内,

2

f?0?>0 ? ? ∴?f?1?<0 ? ?f?2?>0
1 2 ∴ <k< . 2 3

2k-1>0 ? ? ,即?1+k-2+2k-1<0 ? ?4+2k-4+2k-1>0

5


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